1、椭圆的性质椭圆的范围 椭圆上的点都位于直线 x=a 和 y=b 围成的矩形内，所以坐标满足|x|a，|y|b.椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作 。因为2ceaac0，所以 e 的取值范围是 0e1。e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而 越小，因此椭圆越扁；2ba反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2。椭圆 的图象中线段的几何特征（如下图）：（1） ， ，2byax 12PFa12|PFeM；（2） ， ， ；（3）
2、12|PMc12BFa12Oc221ABb, ， ；12AFa121AcaPF1椭圆标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac0，且 a2=b2+c2。椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y 2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。平面内点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点 M（x,y） ，若点 M
3、（x,y）在椭圆上，则有21xyab；若点 M（x,y）在椭圆内，则有 ；若点(0)ab21xyab(0)M（x,y）在椭圆外，则有 .21xyab(0)直线与椭圆的相交弦 设直线 交椭圆 于点 两点，则ykxb21xyab(0)a12(,)(,)Pxyy= = 同理可得221211|()()Pxy2211()()x212|kx这里 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12122|(0)kk12|,12|,y;121212|()4xx21212|()4y例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且，求椭圆的方程。cos3FA【解
4、析】 椭圆的长轴长为 6， ，所以点 A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，2cos3OF， ，所以 c=2，b 2=322 2=5，故椭圆的方程为 或222|AFOFba 2195xy。2159xy【变式 3】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 12,F在 x 轴上，离心率为2过点 1F的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 2F的周长为 16，那么 C 的方程为_ 【答案】2168y。例 2.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为 的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长3轴两端点的距离分别为 10 和 4，求其离心率。【解析】 （1）由题意
5、得 ，即 ，解得 。 （2）由题意得()ac 132e56e，解得 ，故离心率 。04ac73ac37e【变式 1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）【答案】D131.542ABCD【变式 2】椭圆 上一点到两焦点的距离分别为 ，焦距为 ，若 成等差数列，则椭21xyab12d、 c12d、 、圆的离心率为 【答案】例 3. 设 M 为椭圆 上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若MF 1F2=75，MF 2F1=15，求椭21(0)xyab圆的离心率。 【解析】 在MF 1F2中，由正弦定理得 121221|sinsinsinMc即 ，|2sin90i5sin7c|
6、i90i5i7i5i7ca。16ii3ea【变式 1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于。 【答案】 31【变式 2】已知椭圆 的左焦点为 F，右顶点 A，上顶点为 B，若 BFBA，求离心率21(0,)xyab_。【解析】 根据题意，|AB 2|=a2+b2，|BF|=a，|AF|=a+c，所以在 RtABF 中，有(a+c) 2=a2+b2+a2，化简得c2+aca 2=0，等式两边同除以 a2，得 e2+e1=0，解得 。又0e1， 。52e51e例 4已知椭圆 ，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点
7、P，使 ，求其离21(0)xyb 123F心率 的取值范围。 e【解析】F 1PF2中，已知 ，|F 1F2|=2c，|PF 1|+|PF2|=2a，由余弦定理：4c 2=|PF1|2+|PF2|2-123P2|PF1|PF2|cos120又|PF 1|+|PF2|=2a 联立 得 4c2=4a2-|PF1|PF2|， 2|PF|4ac2 212a|PF|()4aca4c03ea【变式】已知椭圆 ，以 ， ， 为系数的关于 的方程 无实根，求其21(0)xybbx20abxc离心率 的取值范围。e【答案】由已知， ，所以 ，即 ，不等式两边同除 可得24bac2()40ac2240c2a，解不
8、等式得 或 .由椭圆的离心率 ，所以所求椭圆离心率2410e5ee(,1)e.(5,)例 6. 已知椭圆 ，求过点 且被 平分的弦所在的直线方程12yx21，P【解析】解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 代入椭圆方程，并整理得k21xky由韦达定理得 是弦中点，0231221xkxk 221kP 故得 所以所求直线方程为 21 034yx解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得21，P1A， 2B，1.2212121yxyx， ，得 将、代入得 ，即直线的斜率为 所求直线方程为02211yx 211xy210342yx【变式 1】已知点 P（4，2）是直线 被椭圆 所截得线段的
9、中点，求直线 的方程.l21369xyl【答案】直线 的方程为 x+2y8=0l【变式 2】若直线 与椭圆 恒有公共点，求实数 的取值范围。)(1Rkxy152myxm【答案】 时，直线 与椭圆 恒有公共点5m且 )(ky152yx 椭圆（2013 高考题）（2013新课标全国高考文科5）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是2:1xyCab(0)12,FP上的点， ， ，则 的离心率为（ ） A. B. C. D.C21PF1230F 3613【解析】选 D. 因为 ,所以 。又2112,30PF2 124tan0,PFccPFc，所以 ，即椭圆的离心率为 ，选 D.1263PFca3c(201
10、3大纲版全国卷高考理科T8)椭圆 C: 的左、右顶点分别为 , ,点 P 在 C 上且直线1342yx1A2斜率的取值范围是 ,那么直线 斜率的取值范围是 ( ) A. B. C. 2PA211PA34， 8， 12，D. 314，【解析】选 B.设 ，则 ， ，),(0yxP20143+=xy202xykPA201xykPA，故 .因为 ,所以1PAk2 20034-=-x1PAk24PA2PAk43,81PAk（2013大纲版全国卷高考文科8）已知 F1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆 C 的两个焦点,过 F2且垂直于 x 轴的直线交于 A,B 两点,且 =3,则 C 的方程为 ( )
11、A. B. C. D.21xy213xy2143xy2154xy【解析】选 C.设椭圆得方程为 ，由题意知 ，又 ，解得 或)0(2ba32ab122bac2a（舍去） ，而 ，故椭圆得方程为 .21a32b1342yx（2013四川高考文科9）从椭圆 上一点 向 轴作垂线，垂足恰为左焦点 ，2(0)abPx1F是椭圆与 轴正半轴的交点， 是椭圆与 轴正半轴的交点，且 （ 是坐标原点） ，则该椭圆的离心AxBy/ABO率是（ ）A. B. C. D. 24123【解析】选 C，根据题意可知点 P ，代入椭圆的方程可得 ，根据 ，可知0(,)cy 220bcya/ABP，即 ，解得 ，即 ，解得
12、 ，故选 C.1PFBOA0ybca0ba22cbae（2013广东高考文科9）已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 C 的方程是（ (1,0)F21） A B C D1432yx1342yx24yx342yx【解析】选 D.设 C 的方程为 ，则 ，C 的方程是20abab+=（ 1,2ceab.1342yx（2013辽宁高考文科11）已知椭圆 的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B2:1(0)xyCab两点,连接 AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cosABF= ,则 C 的离心率为 ( ) A. B. C. D.453574567【解析】选 B.
13、在三角形 中，由余弦定理得 ,又ABF22cosAFBABF解得 在三角形 中， ，故410,8,cos5AB6. 2221086BAF三角形 为直角三角形.设椭圆的右焦点为 ，连接 ,根据椭圆的对称性，四边形 为矩形， 则其对角线 且 ，即焦距 又据椭圆的定义，得 ，所以10,FAB 8FA210c 2a.故离心率2684a5.7cea(2013江苏高考数学科T12) 在平面直角坐标系 中，椭圆 的标准方程为 ，右xOyC)0,(12bayx焦点为 ，右准线为 ，短轴的一个端点为 ，设原点到直线 的距离为 ， 到 的距离为 ，若FlBBF1dFl2d，则椭圆 的离心率为 126dC【解析】由
14、原点到直线 的距离为 得 ，因 到 的距离为 故 ，又 所以BF1dbcal2d2ac126d又 解得2 2222666abcbcaec21e3（2013上海高考文科T12）与（2013上海高考理科T9）相同设 AB 是椭圆 的长轴，点 C 在 上，且 .若 AB=4，BC= ，则 的两个焦点之间的距离为 .4BA2【解析】 如图所示，以 AB 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系. )1,(3,1,45,2,4, CADBCBACABCDAB 上 ， 且在设 84,1)1(,42 222cbcaba代 入 椭 圆 标 准 方 程 得，把 64（2013福建高考理科14）相同 椭圆 :
15、 的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若2(0)xy直线 y= 与椭圆 的一个交点 M 满足MF 1F2=2MF 2F1,则该椭圆的离心率等于 .3xc【解析】MF 1F2是直线的倾斜角,所以MF 1F2=60,MF 2F1=30,所以MF 2F1是直角三角形,在 RtMF 2F1中,|F2F1|=2c,|MF1|=c,|MF2|= ,所以 .3c123|cea（2013辽宁高考理科15）已知椭圆 的左焦点为 ， 与过原点的直线相交于2:(0)xyCabFC两点，连接 若 ，则 的离心率,AB,.FB410,6,cos5AFAB_.e【解析】在三角形 中，由余弦定理得 ,又22cos
16、FBA，解得 在三角形 中， ，410,6,cos58. 2221086BFA故三角形 为直角三角形。ABF设椭圆的右焦点为 ，连接 ,根据椭圆的对称性，四边形 为矩形，则其对角线AFB AFB且 ，即焦距 又据椭圆的定义，得 ，所以10,8210,c2a.故离心率26814aAF25.7cea（2013陕西高考文科20）已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. 【解析】(1) 点
17、M(x,y)到直线 x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍，则.1341(2|4| 22yxyx所以，动点 M 的轨迹为椭圆，方程为 .(2) P(0, 3), 设2，121212(x,y)(,)x0y3AB由 题 意 知 ： ， 椭圆 经检验直线 m 不经过这 2 点，即直线 m 斜率 k 存在。),-()3,(和的 上 下 顶 点 坐 标 分 别 是.联立椭圆和直线方程，整理得：:kxym方 程 为设 直 线 221212 43,4304)43 kxkxk （所以，直线 m 的斜率 .39)(5)(1 22121 x 23k（2013四川高考理科20） 已知椭圆 ： 的两个焦
18、点分别为 ，C21,(0)xyab1(,0)(,F且椭圆 经过点 C4(,)3P（1）求椭圆 的离心率； 2）设过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是线段(0,2)AlCMNQ上的点，且 ，求点 的轨迹方程MN221|AQMANQ【解析】(1)由椭圆定义知,2 a=|PF1|+|PF2|= + =2 ,2所以 a= ,又由已知, c=1,所以椭圆的离心率 e= = = . (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y2=1, 设点 Q 的坐标2ca 12 22 x22为( x,y).() 当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与椭圆 C 交于(0,1),(0,-1)两点,此时点 Q 的坐
19、标为(0,2 ).3 55() 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,因为 M,N 在直线 l 上，可设点 M,N 的坐标分别为则12（ ， k+） ， （ ， k+）|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, 又| AQ|2=(1+k2)x2,由 = + ,得 = + ,即 = + = , 将2|AQ|2 1|AM|2 1|AN|2 2(1+k2)x2 1(1+k2)x12 1(1+k2)x22 2x2 1x12 1x22(x1+x2)22 x1x2x12x12y=kx+2 代入 +y2=1 中,得(2 k2+1)x2+8kx+6=0.
20、由=(8 k)24(2k2+1)60,得 k2 .由可知,x22 32x1+x2= ,x1x2= , 代入并化简得 x2= . 因为点 Q 在直线 y=kx+2 上, 所以 k= , 代8k2k2+1 62k2+1 180k3 y2x入并化简,得 10(y2)23x2=18.由及 k2 ,可知 0b0)的两焦点为 F1（0，-c） ，F 2（0，c）(c0)，离心率 e= ，焦点到椭圆上点的最短12bay 23距离为 2- ，求椭圆的方程.313已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 ，x1F3A两点，求弦 的长 BA14.设 F1、F
21、2为椭圆 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知 P、F 1、F 2是一个直角三角形的 3 个顶点，1492yx且|PF 1|PF2|，求 的值.|2115.已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一点，02bayx 1A21F2P求： 的面积（用 、 、 表示） 21PF1PF【答案与解析】1答案： C 由题意， a=5,c=3, b2=a2 c2=259=16,椭圆的标准方程为 1 或 =1.25x6y2516x2答案：D 由已知 2a=12， ，得 a=6，c=2， ，椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，13e24bac所以椭圆的方程是 。236xy3答案：D 直线 y=
22、kx+1 过定点（0，1） ，定点在椭圆的内部或椭圆上时直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆总有公共点， ，得 m1，m 的取值范围是 1m5。215xym25m4答案：C 由椭圆定义可知小球经过路程为 4a，所以最短路程为 16，故选 C5.答案：C 而 ，12|4,PF21|bPFa217|4PF6答案：D 设与直线 平行的直线方程为 x+2y+m=0，由 ，得0xy21640xym8y2+4my+m216=0，=0 得 ，显然 时距离最大42m42|2()|5d7答案：3 或方程中 4 和 m 哪个大哪个就是 a2，因此要讨论：（1）若 0m4 则 a2=4，b 2=m，163，
23、 ，得 m=3。 （2）m4，则 b2=4，a 2=m， ， ，得4c412e c1e。163m8答案：2，3 根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径 a 的取值范围为2，39.答案：由题意得201cos62a10答案：解析：由题设椭圆 C 的标准方程为 ，由已知得2143xy 21(0)xyab ，椭圆的方程为,ac2,ac223bac2143xy11. 解析：方程变形为 因为焦点在 轴上，所以 ，解得 又 ，所以162myx 6m32c， 适合故 26m5512解析：椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，a-c=2- .又 e= = ，a=2.故 b=1.椭圆的方3ac2程为
24、 +x2=1.4y13. 解析：利用直线与椭圆相交的弦长公式 求解因为21xkAB 4)(21212xxk， ，所以 又因为焦点在 轴上，所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而6a3b3cx936y)0,3(F直线方程为 由直线方程与椭圆方程联立得 设 ， 为方程两根，所9xy 08721x1x2以 ， ， ，从而 13721x13862k 1348)(221221 kkAB14. 答案： 或 2. 解析：|PF 1|+|PF2|=6，|F 1F2| . 若PF 2F1为直角，则|PF 1|2=|PF2|2+|F1F2|2，由此可5得 ；若F 1PF2为直角，则|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由此可得|PF 1|=4，|PF 2|=2.34|,|21PF或2|7,12|,15.解析：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，yxP， yxP，不妨设 在第一象限由余弦定理知： 21F2211PF由椭圆定义知： 则 得224cosPFa2 故 s121bsin2121PSPF
