1、全等三角形典型例题：例 1：把两个含有 45角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连结 BE，AD，AD 的延长线交 BE 于点F求证：AF BE 练习 1：如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过点 A 的直线，BDAE，CEAE，如果 CE=3，BD=7，请你求出 DE 的长度。例 2： DAC, EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与 CD,CE 交于点 M,N,求证：（1）AE=BD； (2)CM=CN； (3) CMN 为等边三角形；（4）MNBC。DA C BNM例 3：（10 分）已知，ABC 中，BAC = 90，AB = AC，过 A 任作一
2、直线 l，作 BDl 于 D，CE l 于 E，观察三条线段 BD，CE，DE 之间的数量关系如图 1，当 l 经过 BC 中点时，DE = （1 分） ，此时 BD CE（1 分） 如图 2，当 l 不与线段 BC 相交时，BD，CE ，DE 三者的数量关系为 ，并证明你的结论 （3 分）如图 3，当 l 与线段 BC 相交，交点靠近 B 点时，BD，CE，DE 三者的数量关系为 证明你的结论（4 分） ，并画图直接写出交点靠近 C 点时，BD，CE，DE 三者的数量关系为 （1 分）AFBCED EDACBAlB CAB CDE lAB ClEDEE图 1 图 2 图 3练习 1：以直角三
3、角形 ABC 的两直角边 AB、BC 为一边，分别向外作等边三角形ABE 和等边BCF，连结EF、EC。试说明：（1）EFEC；（2）EBCFCBAFE练习 2：如图（1）A、E、F、C 在同一直线上，AE=CF，过 E、F 分别作 DEAC，BFAC 若 AB=CD，G 是 EF 的中点吗？请证明你的结论。若将 ABC 的边 EC 经 AC 方向移动变为图（2）时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？例四：如图 1，已知，ACCE，AC=CE， ABC=CDE=90 ，问 BD=AB+ED 吗?分析 ：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组 90角，得到一组等量关系；（2）出现 3 个垂
4、直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图 6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到 AC=BD。解答过程：得到ABCCDE 之后，可得到 BC=DE，AB=CD BC+CD=DE+AB （等式性质）即：BD=AB+DE变形 1：如图 7， 如果ABC CDE，请说明 AC 与 CE 的关系。注意：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）位置关系（垂直，平行之类）变形 2：如图，E 是正方形 ABCD 的边 DC 上的一点，过点 A 作 FAAE 交 CB 的延长线于点 F，求证
5、：DE=BF分析：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。图 6OABCDB DECA图 5B DECA图 7FABDCE变形 3：如图 8，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，AE 是过点 A 的直线，BDAE，CEAE，如果 CE=3，BD=7，请你求出 DE 的长度。分析 ：说明相等的边所在的三角形全等，题中“AB=AC” ，发现：AB 在 RtABD 中，AC 在 Rt CAE 中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个 Rt全等（如图 9）于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角= 直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。解：
6、由题意可得：在 RtABD 中，1+ABD=90（直角三角形的两个锐角互余）又 BAC=90（已知） ， 即1+CAE=90 ABD=CAE（等角的余角相等）故在ABD 与CAE 中，BDA=AEC=90（垂直定义）ABD=CAE（已求）AB=AC（已知） ABDCAE（AAS ） AE=BD=7， AD=EC=3 （全等三角形的对应边相等） DE=AE AD=7 3=4变形 4：在ABC 中，ACB= 90 0，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E。（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 9 的位置时，ADCCEB，且 DE=AD+BE。你能说出其中的道
7、理吗？（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 10 的位置时， DE =AD-BE。说说你的理由。（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 11 的位置时，试问 DE，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。EDACB图 81EDACB图 9图 11EDCBANM图 12EDCBANM EDCBA NM图 10等腰三角形、等边三角形的全等问题：必备知识 ：如右图，由1=2，可得CBE=DBA；反之，也成立。例五：已知在ABC 中，AB=AC ，在ADE 中，AD=AE ，且1= 2，请问 BD=CE 吗？分析这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放
8、入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边， 题目中所给的ABC 与ADE 是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的“BD=CE” ，你会发现 BD 在ABD 中，CE 在ACE 中，这样一来， “AB=AC”可以理解为：AB 在ABD 中，AC 在ACE 中，它们是一组对应边；“AD=AE”可以理解为：AD 在ABD 中，AE 在ACE 中，它们是一组对应边；所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等”解： 1=2（已知） 1+CAD=2+CAD（等式性质）即： BAD=CAE 在ABD 与ACE 中，AB=AC（已知）B
9、AD=CAE（已求）AD=AE ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的对应边相等）变形 1：如图 14，已知BAC=DAE，1=2，BD=CE，请说明ABDACE.吗？为什么？ 21ADCBE图 142ACB ED1图 131 2BCAED分析：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用 SAS 说明全等，此题是两组角相等，那么该如何做呢?变形 2：过点 A 分别作两个大小不一样的等边三角形，连接 BD，CE，请说明它们相等。分析：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把 BD 看成在ABD 的一边，CE 看成ACE 的一边，自然就得到了证明的
10、方向。解：ABC 与ADE 是等边三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60 BAC+CAD=DAE+CAD（等式性质）即： BAD=CAE变形 3：如图 1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化， ，连接 BD，CE ，请说明它们相等这里仅以图 17 进行说明解： ABC 与ADE 是等边三角形， AB=AC， AD=AE BAC=DAE=60BAC CAD=DAE CAD【仅这步有差别】即：BAD=BAD= CAE 在ABD 与ACE 中，AB=AC（已知）BAD=CAE（已求）AD=AE ABDACE（SAS） BD=CE（全等三角形的对应边相等）图 16
11、，图 18 的类型，请同学们自己去完成DCBAE图 15DCB AE图 18接下来的过程与例三完全一致，不予描述！DCB AEDCB AEDCBAE DCBAE图 16 DCB AE图 17变形 4：如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG，AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N求证： ；CGAE分析：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60 换成直角了，思路一样例六： 如图，ABC 中，C=90 ，AB=2AC ，M 是 AB 的中点，点 N 在 BC 上，MNAB.求证：AN 平分BAC.分析：要说明 AN 平分BAC，必须说明两角相等， 可以说明AMN CAN，而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用 HL 定理得到全等。变形 1：在 RtABC 中，已知A=90，DEBC 于 E 点，如果 AD=DE，BD=CD ，求C 的度数ABGDFECDEBACB CNMA
