1、小康老师中考数学专题复习- 新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力。近几年日照命题情况来看，该类题型为必考型，一般一道选择或填空再加一道答题，占12到18分。二、解题策略和解法精讲“新定义型专题” 关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移三、中考典例剖析考
2、点一：规律题型中的新定义例 1 （2013湛江）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30= ，cos30= ，则 sin230+cos230= ；23sin45= ，cos45= ，则 sin245+cos245= ；sin60= ，cos60= ，则 sin260+cos260= 321观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A= （1）如图，在锐角三角形 ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对A 证明你的猜想；（2）已知：A 为锐角（cosA0）且 sinA= ，求 cosA35思路分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；由前面的结论，即可
3、猜想出：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=1；（1）如图，过点 B 作 BDAC 于 D，则ADB=90利用锐角三角函数的定义得出 sinA= ，cosA= ，则 sin2A+cos2A= ，BDA2BDA再根据勾股定理得到 BD2+AD2=AB2，从而证明 sin2A+cos2A=1；（2）利用关系式 sin2A+cos2A=1，结合已知条件 cosA0 且 sinA= ，进行求解35解：sin30= ，cos30= ，13sin 230+cos230=（ ） 2+（ ） 2= + =1；143sin45= ，cos45= ，sin 245+cos245=（ ） 2+（ ） 2=
4、 + =1；1sin60= ，cos60= ，31sin 260+cos260=（ ） 2+（ ） 2= + =1341观察上述等式，猜想：对任意锐角 A，都有 sin2A+cos2A=1（1）如图，过点 B 作 BDAC 于 D，则ADB=90sinA= ， cosA= ，BDAsin 2A+cos2A=（ ） 2+（ ） 2= ，AD2ADB=90，BD 2+AD2=AB2，sin 2A+cos2A=1（2）sinA= ，sin 2A+cos2A=1，A 为锐角，35cosA= 2341()5点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单对应训练1 （2013绵
5、阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性质，如关于线段比面积比就有一些“漂亮” 结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若 O 是ABC 的重心（如图 1） ，连结 AO 并延长交 BC 于 D，证明： ；23AO（2）若 AD 是 ABC 的一条中线（如图 2） ，O 是 AD 上一点，且满足 ，试判断O 是ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若 O 是ABC 的重心，过 O 的一条直线分别与 AB、AC 相交于 G、H（均不与ABC 的顶点重合） （如图 3） ，S 四边形
6、BCHG，S AGH 分别表示四边形 BCHG 和AGH 的面积，试探究 的最大值BCHGASV四 边 形2.（1）证明：如答图 1 所示，连接 CO 并延长，交 AB 于点 E点 O 是ABC 的重心，CE 是中线，点 E 是 AB 的中点DE 是中位线，DEAC ，且 DE= AC12DEAC ，AOCDOE， =2，AOCDEAD=AO+OD ， = 23（2）答：点 O 是ABC 的重心证明：如答图 2，作ABC 的中线 CE，与 AD 交于点 Q，则点 Q 为ABC 的重心由（1）可知， = ，AOD23而 = ，点 Q 与点 O 重合（是同一个点） ，点 O 是ABC 的重心（3）
7、解：如答图 3 所示，连接 DG设 SGOD =S，由（1 ）知 = ，即 OA=2OD，AOD23S AOG =2S，S AGD =SGOD +SAGO =3S为简便起见，不妨设 AG=1，BG=x，则 SBGD =3xSS ABD =SAGD +SBGD =3S+3xS=（3x+3）S ，S ABC =2SABD =（6x+6）S设 OH=kOG，由 SAGO =2S，得 SAOH =2kS，S AGH =SAGO +SAOH =（2k+2）S S 四边形 BCHG=SABC -SAGH =（6x+6）S-（2k+2 ）S= （6x-2k+4）S = = BCHGASV四 边 形 (6-2
8、4)xkS3-21xk如答图 3，过点 O 作 OFBC 交 AC 于点 F，过点 G 作 GEBC 交 AC 于点 E，则OF GEOF BC， ，2FCDAOF= CD= BC；31GE BC， ，GEBxGE= ；1C = ，3OFGEx = 13()2xOF GE， ，OHFGE ，1-2-xk= ，代入 式得：12x= =-x2+x+1=-（x- ） 2+ ，BCHGASV四 边 形3-1xk154当 x= 时， 有最大值，最大值为 12BCHGASV四 边 形 54考点二：运算题型中的新定义例 2 （2013河北）定义新运算：对于任意实数 a，b，都有 ab=a（a-b）+1，等式
9、右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：25=2 （2-5）+1=2 （-3）+1=-6+1=-5。（1）求（-2 ） 3 的值；（2）若 3x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来思路分析：（1）按照定义新运算 ab=a（a-b ）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算 ab=a（a-b ）+1，得出 3x，再令其小于 13，得到一元一次不等式，解不等式求出 x 的取值范围，即可在数轴上表示解：（1）ab=a（a-b） +1，（-2）3=-2（-2-3 ）+1=10+1=11；（2）3x13，3（3-x ）+113 ，9-3x+113，-3x3，x-1在数轴上表示如
10、下：点评：本题考查了有理数的混合运算及一元一次不等式的解法，属于基础题，理解新定义法则是解题的关键对应训练2 （2013十堰）定义：对于实数 a，符号a 表示不大于 a 的最大整数例如：5.7=5，5=5，-=-4（1）如果a=-2，那么 a 的取值范围是 （2）如果 =3，求满足条件的所有正整数 x1x2解：（1）a=-2，a 的取值范围是-2a-1；（2）根据题意得：3 4，x解得：5x 7，则满足条件的所有正整数为 5，6考点三：探索题型中的新定义例 3 （2013钦州）定义：直线 l1 与 l2 相交于点 O，对于平面内任意一点 M，点 M 到直线 l1、l 2 的距离分别为 p、q，
11、则称有序实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义， “距离坐标”是（1，2 ）的点的个数是（ ）A2 B3 C4 D5思路分析： “距离坐标”是（ 1，2）的点表示的含义是该点到直线 l1、l 2 的距离分别为1、2由于到直线 l1 的距离是 1 的点在与直线 l1 平行且与 l1 的距离是 1 的两条平行线a1、a 2 上，到直线 l2 的距离是 2 的点在与直线 l2 平行且与 l2 的距离是 2 的两条平行线b1、b 2 上，它们有 4 个交点，即为所求解：如图，到直线 l1 的距离是 1 的点在与直线 l1 平行且与 l1 的距离是 1 的两条平行线 a1、a 2 上，到
12、直线 l2 的距离是 2 的点在与直线 l2 平行且与 l2 的距离是 2 的两条平行线 b1、b 2 上，“距离坐标” 是（1，2 ）的点是 M1、M 2、M 3、M 4，一共 4 个故选 C点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长 k 的点在与已知直线相距 k 的两条平行线上是解题的关键对应训练3.（2013台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形” （1）请用直尺和圆规画一个“ 好玩三角形”；（2）如图在 RtABC 中，C=90，tanA= ，求证： ABC 是“好玩三角形”；32（3）
13、）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC=2，点 P，Q 从点 A 同时出发，以相同速度分别沿折线 AB-BC 和 AD-DC 向终点 C 运动，记点 P 经过的路程为 s当 =45时，若APQ 是“好玩三角形” ，试求 的值；s当 tan的取值在什么范围内，点 P，Q 在运动过程中，有且只有一个APQ 能成为“ 好玩三角形”请直接写出 tan的取值范围（4） （本小题为选做题，作对另加 2 分，但全卷满分不超过 150 分）依据（3）的条件，提出一个关于“ 在点 P，Q 的运动过程中， tan的取值范围与APQ 是好玩三角形的个数关系”的真命题（“ 好玩三角形”的个数限定不能为
14、1）3解：（1）如图 1，作一条线段 AB，作线段 AB 的中点 O，作线段 OC，使 OC=AB，连接 AC、BC，ABC 是所求作的三角形（2）如图 2，取 AC 的中点 D，连接 BDC=90 ，tanA= ，3 = ，BCA2设 BC= x，则 AC=2x，3D 是 AC 的中点，CD= AC=x12BD= =2x，223CBxAC=BDABC 是“好玩三角形 ”；（3）如图 3，当 =45，点 P 在 AB 上时，ABC=2=90，APQ 是等腰直角三角形，不可能是“ 好玩三角形”，当 P 在 BC 上时，连接 AC 交 PQ 于点 E，延长 AB 交 QP 的延长线于点 F，PC=
15、CQ，CAB=ACP ，AEF= CEP，AEF CEP， 2AEFBPsCaPE=CE， 2AEsPa当底边 PQ 与它的中线 AE 相等时，即 AE=PQ 时，=2，s = ，34当腰 AP 与它的中线 QM 相等，即 AP=QM 时，作 QNAP 于 N，如图 4MN=AN= MP12QN= MN，5tanAPQ= = ，13QNMP5tanAPE= = ，2AEsa = + 。as150由可知，当 AE=PQ 和 AP=QM 时，有且只有一个APQ 能成为“好玩三角形” ， tan2 时，有且只有一个APQ 能成为“好玩三角形”3（4）由（3）可以知道 0tan ，153则在 P、Q
16、的运动过程中，使得APQ 成为“ 好玩三角形”的个数为 2考点四：开放题型中的新定义例 4 （2013 宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形（1）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=120，C=75，BD 平分ABC求证：BD 是梯形 ABCD 的和谐线；（2）如图 2，在 1216 的网格图上（每个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC，点ABC 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以A、B、C、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的
17、和谐四边形；（3）四边形 ABCD 中，AB=AD=BC，BAD=90，AC 是四边形 ABCD 的和谐线，求BCD 的度数思路分析：（1）要证明 BD 是四边形 ABCD 的和谐线，只需要证明 ABD 和BDC 是等腰三角形就可以；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要 D 在 上任意一点构成的四边BC形 ABDC 就是和谐四边形；连接 BC，在BAC 外作一个以 AC 为腰的等腰三角形 ACD，构成的四边形 ABCD 就是和谐四边形，（3）由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线，可以得出ACD 是等腰三角形，从图 4，图 5，图 6 三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和 30的直角三角形性质就可以求出BCD 的度数解：（1）ADBC，ABC+BAD=180，ADB= DBCBAD=120 ，ABC=60BD 平分ABC ，ABD=DBC=30，ABD=ADB ，ADB 是等腰三角形在BCD 中，C=75，DBC=30 ，BDC= C=75，BCD 为等腰三角形，BD 是梯形 ABCD 的和谐线；（2）由题意作图为：图 2，图 3
