1、数与计算 一、整数数位顺序表： 相关知识点：1、要明确数级、数位和计数单位三者的含义：数级是指：每四个数位为一级。我们现在学到的有 3 个数级，分别是个级、万级、亿级。数位是指：个位、十位、百位、千位、万位。计数单位是指：个、十、百、千、万。三者一定要区分清楚，做题时才不会混淆。易错题目如：亿级中所包含的计数单位是（亿、十亿、百亿、千亿）。万级中所包含的数位是（万位、十万位、百万位、千万位）。2、每相邻的两个计数单位之间的进率是十，这种计数方法叫做“十进制计数法”。特别注意判断题，如：（1）每相邻的两个计数单位之间的进率是十。（）（2）每两个计数单位之间的进率是十。（）3、看数位表说一说数的组
2、成：如 10 个一千万是一亿；一千万是 10 个一百万，和家长练一练、说一说。4、举例说一说大数的组成。如：308 4000 0860 是由 3 个百亿、8 个亿、4 个千万、8 个百、6 个十组成的；也可以说是由 308个亿、4000 个万和 861 个一组成的。5、读大数时，遇到读作要写成大写的。0 的读法要特别注意，每级末尾 0 不读，每级开头与中间，不管几个都读零。具体步骤分三步：先分级再从高级写起，写完亿级，要加“亿” 字，写完万级要加“万”字最后读一遍对照检查。6、写大数时，要牢记两个数位第五位是万位、第九位是亿位。写数步骤分三步：先看分几级再对应数位分级写最后读一读、检查是否符合
3、题目要求。7、比大小时，按照儿歌步骤做题：比大小，先分级，数位多的数就大。数位相同从左比，数字大的数就大。数字相同往下比，直到比出大小来。8、用一些数字排列最大的数或最小的数：做题诀窍：（1）排列最大的和最小的数时，遵循的规律是：没有 0 时，最大的数直接把数字按照从大到小的顺序排列，最小的数直接从小到大排就行了。如果有 0 时，最大的数不受影响，0 肯定是最小的数，排在最后一位；但是排列最小的数时，就要注意 0 不能放在最高位，那么我们只需把除 0 以外的数字中最小的数放在最高位，紧接着排 0，后面的数再按照从小到大的顺序排列就能得出最小的数了。（2）如果遇到条件中有读几个 0 的要求,那就
4、需要在遵循大规律的前提下，适当调整 0 的位置，达到题目中的读零要求。9、大数的改写和求近似数。（1）改写以“万”或“亿”为单位的数的方法。以“万”为单位，就要把末尾的四个 0 去掉，再添上万字；以“亿”为单位，就要把末尾八个 0 去掉，再添上亿字。（2）改写的意义。为了读数、写数方便。（3） 、精确数与近似数的特点。精确数一般都以“一”为单位，近似数都是省略尾数，以“万”或“亿”为单位。（4）用四舍五入法保留近似数的方法。按照儿歌步骤做题：找准数位很重要，关键还看下一位，四舍五入要分清，不满 5 时就舍去，满了 5 后就进上。最后别忘加单位。注意“=”和“”的区别，如：7580000=758
5、 万 7584300758 万900000000=9 亿 8749000009 亿10、近似数中最大的数和最小的数：如：一个五位数，四舍五入之后是 5 万，这个数最大是（ ），最小是（ ）。做题诀窍：最大的数要考虑“四舍” 的情况，最小的数则要考虑 “五入”的情况。一个数四舍五入后是 5 万，那么这个数就有两种情况：一是“四舍”后是 5 万，二是“ 五入”后是 5 万。先想“四舍” 的情况（必须边想边在草稿本写出来）：万级上肯定是 5，个级千位上的数要保证“ 四舍”，最大只能是 4，那后面百位、十位和个位上的数都应该是最大的一位数 9，想到这，你的草稿本上应该出现了这个最大的数：54999。再
6、想“五入” 的情况（必须边想边在草稿本上写出来）：万级上肯定是 4，个级千位上的数要保证“ 五入”，最小只能是 5，那后面百位、十位和个位上的数都应该是最小的一位数 0，想到这，你的草稿本上应该出现了这个最小的数：45000。二、自然数的相关知识： 1、表示物体个数的 1、2 、3、4、5、6 、7、8、9、10、 11、都是自然数。一个物体也没有，用 0 表示，0 也是自然数。最小的自然数是 0,没有最大的自然数。自然数的个数是无限的。2、还要记住 0 不能作除数。如：50 不能得到商，因为没有一个数同 0 相乘是得 5 的；再如 00不可能得到一个确定的商，因为任何数同 0 相乘斗得 0。
7、三、乘法中积变化的规律和除法中商变化的规律： 积变化的规律：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积也随着乘（或除以）几。【积和因数的变化是一致的】商变化的规律： 1、两数相除，被除数乘（或除以）几（0 除外），除数不变，商也随着乘（或除以）几。【商和被除数的变化是一致的】2、两数相除，被除数不变，除数乘（或除以）几（0 除外），商就除以（或乘）几。【商和除数的变化是相反的】四、乘法中积不变的规律和除法中商不变的规律： 积不变的规律：两数相乘，一个因数乘（或除以）几，另一个因数乘（或除以）几（0 除外），积不变。【两个因数的变化是一致的，积不变】商不变的规律：两数相除，
8、被除数和除数同时乘（或除以）几（0 除外），商不变。【被除数和除数的变化是一致的，商不变】五、判断除法中的商是几位数：先要明确三位数除以两位数的商有两种情况：一是前两位够除（即前两位除数），商的最高位就在十位上，这时的商就是两位数；二是前两位不够除（即前两位除数），那就需要用前三位去除以除数，商的最高位就在个位上，这时的商就是一位数。六、根据余数的大小求被除数：做题诀窍：在有余数的除法中，根据余数不同，被除数会有两种情况：一是最大的，二是最小的。余数中最小的数就是 1，当余数是 1 时，被除数最小。当余数是最大的数时（即比除数少 1 的数），被除数也是最大的。再根据商除数+余数，就能求出相应的
9、被除数了。同学们一定要分清这两种情况，再遇到这类题时，要好好审题，看看是求最大的，还是最小的。七、了解被除数、除数和商之间的关系。被除数除数=商余数；被除数=除数商+余数，被除数-余数=除数商，为验算做好准备。八、口算、估算、笔算和简算：1、口算做题诀窍：牢记确保口算全对的方法：做口算题时，一定要看清楚数和符号后再算，能口算的直接口算，要特别注意乘法和除法中末尾带 0 的情况；口算有困难的一定在草稿本上笔算一下，再把结果填到试卷中。2、估算做题诀窍：估算题中，乘法的估算要严格按照四舍五入的方法。估算时注意，要符合实际，接近精确值。除法的估算则要考虑能不能整除的问题。先按四舍五入的方法，如果不能
10、整除，就需要上下浮动一下，找出最接近的能整除的数就行了。解决实际问题中的估算要注意：3、笔算做题诀窍：笔算题中，做完每一个题都要按照“ 三步检查法”检查每一步，才能确保准确无误。此外审题时要注意题中是否有需要验算的题目，千万别漏下。【三步检查法】：第一步看数有没有抄错；第二步检查计算过程有没有错误，有验算的是否验算了；第三步检查横式得数写的对不对。三位数乘两位数的方法：先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满十就向前一位进“ 1”，再把两次相乘的积加起来。末尾有 0 时，把两个因数 0 前面的数
11、对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的利用竖式计算三位数乘两位数。注意，第二步的乘积末尾写在十位上。几个 0。中间有 0 时，这个 0 要参加运算。三位数除以两位数笔算除法的方法：（1）、从被除数的最高位除起。除数有几位，就看被除数的前几位，如果被除数比除数小，就要多看前一位。（2）、除到被除数哪一位，就把商写在哪一位的上面。（3）、除到被除数的哪一位不够商 1，就在哪一位的上面写 0。（4）、每次除得的余数必须比除数小。 体验改商的过程，掌握改商的方法。在试商的时候，如果把除数变大了（五入法），商就可能变小；如果把除数变小了（四舍法），商就可能变大。（或者当所得的余数大于等于除数
12、时，商小了需要调大；当试的商与除数的乘积大于被除数的时候，则商要调小。）4、简算：（1）根据商不变的性质计算 15025 80025 2000125 因为 25 乘 4 能得到 100，125 乘 8 能得到1000，所以将被除数和除数同时乘 4、8。（2）根据一个数除以两个数的积等于连续除以这两个数的性质简算。九、计算工具的认识：算盘，计算器1、2000 多年前，中国人用算筹；1000 多年前，中国人发明了算盘；17 世纪初，英国人发明了计算尺；17 世纪中期，欧洲人发明了机械计算器；20 世纪 40 年代，诞生了第一台电子计算机；20 世纪 70 年代，发明了电子计算器。2、目前，速度最快
13、的计算机 1 秒钟能计算几百万亿次。3、算盘1 颗上珠表示 5；1 颗下珠表示 1。算盘各部分：框、樑、档、上珠、下珠、定位点。4、计算器（目前人们广泛使用的计算工具）ON/C（开关及清除屏键） AC(清除键) OFF（关） M+（存） MR（提取）MC（清除） MRC（按第一下提取，按第二下清除）十、1 亿有多大？ 100 张纸的厚度是 1 厘米，一亿一百万个 100, 1 厘米一百万=1000000 厘米=1万米 1 亿个小学生手拉手可绕地球 3 圈半空间与图形一、直线、射线和线段：1、认识直线、线段与射线，会用字母正确读出直线、线段和射线。直线：可以向两端无限延伸；没有端点。读作 ：直线
14、 AB 或直线 BA。线段:不能向两端无限延伸；有两个端点。读作：线段 AB 或线段 BA。射线：可以向一端无限延伸；有一个端点。读作：射线 AB（只有一种读法，从端点读起。）2、画直线。过一点可画无数条直线；过两个能画一条直线；过三点，如果三点在一条线上，经过三点只能画一条直线，如果这三点不在一条线上，那么经过三点不能画出直线。3、明确两点之间的距离，线段比曲线、折线要短。4、直线、射线可以无限延长。因为直线没有端点，射线只有一个端点，所以不可以测量，没有具体的长度。如：直线长 4 厘米。是错误的。只有线段才能有具体的长度。二、角的定义与相关知识：1、从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。2
15、、量角的大小，要用量角器。量角器是把半圆分成 180 等份，每一份所对的角的大小是 1 度。量角器上有中心点、0 刻度线、内刻度线、外刻度线。角的计量单位是“度”，用符号“”表示。将圆平均分成 360 份，把其中的 1 份所对的角叫做 1 度，记作1，通常用 1作为度量角的单位。3、角的大小与两条边的长短没有关系，与两条边张开的大小 有关系。开口大，角就大；开口小，角就小。4、量角器的使用方法。“两合一看”,“两合”是指中心点与角的顶点重合；0 刻度线与角的一边重合。“一看”就是要看角的另一边所对的量角器的刻度。看角的度数时要注意是看外刻度还是内刻度。角的开口向左看外刻度线，角的开口向右看内刻
16、度线。5、角的种类：锐角：小于 90 钝角：大于 90而小于 180 直角：90 平角：180 （角的两边在同一直线上，像一条直线） 周角：360 （角的两边重合，像一条射线）从小到大排：锐角直角钝角平角周角从大到小排：周角平角钝角直角锐角6、周角、平角和直角之间的关系：1 个周角=2 个平角=4 个直角7、角的画法：操作时根据儿歌步骤进行。儿歌：先画顶点再画边，量角器转过来，点对点、线对边（两合），从 0 开始找度数，铅笔尖、点上去(一看)，从顶点、开始画，两点成线就是边。画完后、标度数，量一量、不出错。因为角是由两条射线和一个顶点组成的，所以在画角连线时，不能两点相连，而要冲过一点或不连到
17、那一点。8、两个锐角的和有三种情况：第一种：两个较小锐角的和还是锐角，如 20+ 20=40；第二种：两个锐角的和如果是 90，那就是直角，如 30+ 60=90、45+ 45=90；第三种：两个较大锐角的和是钝角，如 60+ 60=120；【如图】9、三角尺上的角：三角尺中有四种度数的角：30、45、60和 90，用一副三角尺能画出十一种不同度数的角：30、45、60 、90 、75、105 、120、135 、150、180、15。三、平行与垂直：1、在同一平面内不相交的两条直线叫做 平行线 ，也可以说这两条直线互相平行。用数学符号表示两条直线的平行关系。如：ABCD。2、如果两条直线相交
18、成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做 垂足会用数学符号表示两条直线互相垂直的关系。如：OAOB。3、同一平面内两条直线不是平行就是相交。4、垂直于同一条直线的几条直线互相平行；平行于同一条直线的几条直线互相平行。5、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。6、平行线之间的距离处处相等。平行线间的垂直线段是平行且相等的。7、画垂线和平行线的窍门和方法：画垂线时，先要审清题意，看看过不过点，如果是画已知直线的垂线都是过点的；一般遇到实际情况像修路、修水渠等，都是不过点的；要区分清楚。然后再按照儿歌步骤操作：边对线、边
19、对点，直角符号别漏下。画平行线时，先要审清题意，看看是画谁的平行线，然后再按照儿歌步骤操作：边对线（画谁的平行线就把三角尺的一条直角边对准这条线）、直尺上，三角尺、要平移，平行线、画出来。8、画已知直线的平行线有两种情况：第一种没有点的限制，随意画已知直线的平行线，答案是：无数条。第二种有点的限制，如下图过直线外一点画已知直线的平行线，答案是：只能画 1 条。9、画已知直线的垂线也有两种情况：第一种没有点的限制，随意画已知直线的垂线，无数条。第二种有点的限制，过直线外一点或过直线上一点画已知直线的垂线，只能画 1 条。四、平行四边形和梯形： 1、平行四边形和梯形的定义：有四条线段围成的封闭图形
20、叫做四边形。四边形的内角和是 360。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形和正方形属于特殊的平行四边形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、四边形之间的关系图：（略）3、普通的平行四边形、长方形和正方形的特点：平行四边形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；对角相等。长方形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；有 4 个直角。正方形：两组对边分别平行；两组对边分别相等；四边相等；有 4 个直角。4、高的定义与相关知识：从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。梯形中从上底到下底引的
21、垂线叫做梯形的高。平行四边形和梯形都有无数条高。平行四边形有两种不同长度的高，梯形只有一种不同长度的高。 5、动手操作画平行四边形或梯形的高。边背儿歌边画高就不会出错了：边对底、边对点，虚线高、画出来，直角符号要标上，还有“高” 字别漏下。6、四边形的拼组：做题诀窍：因为平行四边形可以分成两个完全一样的梯形、可以分成两个完全一样的三角形，还可以分成两个完全一样的小平行四边形，所以我们就能推出下面三句话：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的平行四边形可以拼成一个大的平行四边形。（普通的平行四边形、特殊的平行四边形长方形和正方形）7
22、、对称图形：长方形、正方形和等腰梯形都是对称图形。长方形有 2 条对称轴，正方形有 4 条对称轴，等腰梯形只有 1 条对称轴。普通的平行四边形不是对称图形。8、平行四边形具有易变形性（不稳定性）；三角形的特性：稳定性。人们利用平行四边形的易变形性制作了电动门。9、捏住长方形的两个对角向相反方向拉动得到平行四边形，平行四边形和长方形的周长相等，平行四边形的高小于长方形的宽。熟记数量关系1、路程、时间和速度之间的关系速度 时间 = 路程 路程 速度 = 时间 路程 时间 = 速度2、总价 、单价、数量之间的关系单价 数量 = 总价 总价 单价 = 数量 总价 数量 = 单价3、利用上面关系式解决生
23、活中的实际问题。4、讲出意义并能掌握速度的两种表示方法。如：列车每小时行驶 160 千米，叫做速度，可以写成 160 千米/时。小林步行的速度是 60 米/分，就是说小林每分钟走 60 米。面积单位1、长度单位与面积单位的区别：用长度单位表示物体的长短或封闭图形一周的长度，用面积单位表示物体表面或封闭图形的大小。注：面积和周长是不能相比较的；分清楚什么时候填长度单位，什么时候填面积单位。2、比较两个图形面积的大小，要用统一的面积单位来测量和比较。 3、常用的面积单位有：平方厘米（cm 2） ；平方分米（dm 2） ；平方米（m 2） 。测量土地的面积，用公顷作单位；计量比较大的土地面积，常用平
24、方千米（km 2） 作单位。 边长 1 厘米的正方形面积是 1 平方厘米。 边长 1 分米的正方形面积是 1 平方分米。 1 平方分米=100 平方厘米边长 1 米的正方形面积是 1 平方米。 1 平方米 = 100 平方分米边长 100 米的正方形面积是 1 公顷。 1 公顷 = 10000 平方米1 平方千米=100 公顷=1000000 平方米 1 亩667 平方米4、面积单位间的换算关系：大单位化成小单位，用大单位前面的数乘进率；（根据进率增加 0）小单位化成大单位，用小单位前面的数除以进率。 （根据进率去掉 0）5、使用面积单位时：应根据实际情况选择合适的面积单位。6、鸟巢占地面积约
25、 20 公顷；天安门广场月 40 公顷；故宫 72 公顷；水立方约 6 公顷；香港约 1100 平方千米；中国约 960 万平方千米；四川 485000 平方千米；亚洲约 4400 万平方千米。统计和数学广角的相关知识一、统计图：做题诀窍：看图例认真画，数量一定要找准，画完后标上数，后面的问题更重要，认真审题看表格，选对数不出错。二、烙饼问题：1、在每次只能烙两张饼，两面都要烙的情况下：烙 3 张饼：先烙 1，2 号饼的正面，接着烙 1 号饼的反面和 3 号饼的正面，最后烙 2，3 号饼的反面。烙多张饼：如果要烙的饼的张数是双数，2 张 2 张的烙就可以了，如果要烙的饼的张数是单数，可以先 2
26、 个 2 个的烙，最后 3 张饼按上面的最优方法烙，最节省时间。如：妈妈用平底锅烙饼，烙一个饼的一面用 3 分钟，锅中每次最多能放 2 张饼，要烙 7 张饼，至少需要多少分钟？解题思路：第一步先明确烙饼问题计算最短时间的公式：最短时间=张数（1 张除外）每面所需时间第二步然后分析题意：张数是 7 张，锅里最多放 2 张饼得出每次烙的面数就是 2 面，烙一个饼的一面需要 3 分钟得出每次需要的时间就是 3 分钟。第三步最后套公式计算：73=21（分钟）2、若每次不是烙 2 张，每面时间不同，解题思路与上同，但不能套用以上公式。三、合理安排事情、节省时间的问题：儿歌应用：先后顺序要分清，同时做的要
27、找全。如：小明给客人沏茶，接水 1 分钟，烧水 6 分钟，洗茶杯 2 分钟，拿茶叶 1 分钟，沏茶 1 分钟。小明合理安排以上事情，最少要（ ）分钟。解题思路：一定要在卷子中画出流程图，然后列式计算。儿歌应用：如果不能同时做，从小到大省时间。如：四（1）班的 3 个同学甲、乙、丙各拿一只水桶去接水，水龙头给 3 只桶注满水所需的时间分别是 4 分钟、 3 分钟、1 分钟，现在只有 1 个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？解题思路，分两步：第一步先要画出排列顺序和他们每个人等待的时间 【如图】第二步 在列式计算：13 234=13（分钟）做题诀窍：做这种题时，窍门是：从小到大排列最省时间。最短的时间需要等待 3 个，中间的时间需要等待 2 个，最长得时间只需要等待 1 个。最后套公式（前提是三个时间）：四、“田忌赛马”问题策略：田忌用下等马对齐王的上等马，用上等马对齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马。三场两胜，田忌胜出。五、报数游戏。“数学游戏”，让两人轮流报数，每次只能报 1 或 2，把每人报的数连续相加起来，最后一个报数使和为 10 的人就是获胜者。策略：10（1+2）=3.1有余数 1，先报 1，然后每次报 3-对方报的数，肯定赢。若无余数，让对方先报，自己后报每次报 3-对方报的数，肯定赢。
