1、第 1 页 共 12 页二次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题例 1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（2，4 ） ，O（0，0 ） ，B（2，0 ）三点（1）求抛物线 y=ax2+bx+c 的解析式；（2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+OM 的最小值解析：（1）把 A（2 ，4 ） ，O（0，0） ，B（2 ，0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，得解这个方程组，得 a= ， b=1，c=0所以解析式为 y= x2+x（2）由 y= x2+x= （ x1 ） 2+ ，可得抛物线的对称轴为 x=1，并且对称轴垂直平分线段 O
2、BOM=BMOM+AM=BM+AM连接 AB 交直线 x=1 于 M 点，则此时 OM+AM 最小过点 A 作 ANx 轴于点 N，在 RtABN中，AB= = =4 ，因此 OM+AM 最小值为 方法提炼：已知一条直线上一动点 M 和直线同侧两个固定点 A、B ，求 AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点 A 关于这条直线的对称点 A，将点 B 与 A连接起来交直线与点 M，那么 AB 就是AM+BM 的最小值。同理，我们也可以做出点 B 关于这条直线的对称点 B，将点 A 与 B连接起来交直线与点 M，那么 AB就是 AM+BM 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。A AB BM
3、或者 MA B例 2：已知抛物线 的函数解析式为 ，若抛物线 经过点 ，方程1C23(0)yaxb1C(0,3)的两根为 ， ，且 。30axb114（1）求抛物线 的顶点坐标 .1（2）已知实数 ，请证明： ,并说明 为何值时才会有 .xx2x2x（3）若抛物线先向上平移 4 个单位，再向左平移 1 个单位后得到抛物线 ，设 ， 是C1(,)Amy2(,)Bn上的两个不同点，且满足： ， ， .请你用含有 的表达式表示出 的面2C09AOBm0nO积 ，并求出 的最小值及 取最小值时一次函数 的函数解析式。SSA解析：（1）抛物线过（,）点，3 a第 2 页 共 12 页 a x2 bx x
4、2 bx= 的两根为 x1,x2且 2- 且 b2114)(b x2 x（ x） 抛物线 的顶点坐标为（，） （2） x， 0)1(212x 显然当 x时，才有 ,（3）方法一：由平移知识易得 的解析式为：y x2 (m，m )， B（ n， n ）AOB 为 RtOA +OB =ABm m n n （ m n） （ m n ） 化简得： m n AOB= =OBA214242m n AOB 2211mn )(21 AOB的最小值为，此时 m, (,) 直线 OA 的一次函数解析式为 x 方法提炼：已知一元二次方程两个根 x1,x2,求|x 1-x2|。因为 |x1-x2|= 21214x)(
5、x可 得 到 ：根 公 式根 据 一 元 二 次 方 程 的 求 ;4acbacb.;2121acxbx ， 取 得 最 小 值 。时 ，当 21)(, mom例 3：如图，已知抛物线经过点 A（1，0） 、B （3，0） 、C （0 ，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MNy轴交抛物线于 N，若点 M 的横坐标为m，请用 m 的代数式表示 MN 的长（3）在（ 2）的条件下，连接 NB、NC，是否存在 m，使BNC 的面积最大？若存在，求 m 的值；若不存在，说明理由第 3 页 共 12 页解析：（1）设抛物线的解析式为：y
6、=a（x+1） （x3） ，则：a（0+1） （03）=3，a=1；抛物线的解析式：y=（x+1） （x3）=x 2+2x+3（2）设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，则有：，解得 ；故直线 BC 的解析式：y=x+3已知点 M 的横坐标为 m，则 M（m，m+3） 、N （m ， m 2+2m+3） ；故 MN=m 2+2m+3（m+3）=m 2+3m（0 m3 ） （3）如图；SBNC=SMNC+SMNB= MN（OD+DB）= MNOB，SBNC= （m 2+3m）3= （m ） 2+ （0m 3 ） ；当 m= 时，BNC 的面积最大，最大值为 方法提炼：因为BNC 的面积不好直接
7、求，将BNC 的面积分解为MNC 和MNB的面积和。然后将BNC 的面积表示出来，得到一个关于 m 的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例 4：如图，已知：直线 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax2+bx+c 经过3yA、B、 C（1，0 ）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点 D 的坐标为（-1 ， 0），在直线 上有一点 P,使 ABO与 ADP相似，求出点3xP 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在
8、点 E，使 ADE的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）：由题意得，A（3，0） ，B （0，3）抛物线经过 A、B、C 三点，把 A（3，0），B（0，3），C（1，0 ）三点分别代入得方程组2yaxbc=+039c解得： 341cba第 4 页 共 12 页抛物线的解析式为 243yx=-+（2）由题意可得：ABO 为等腰三角形,如图所示，若ABOAP 1D，则 1POBADP1=AD=4 ,P1(,4)-若ABOADP 2 ，过点 P2作 P2 Mx 轴于 M，AD=4, ABO为等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三线合一可
9、得： DM=AM=2= P2M，即点 M 与点 C 重合 P2（1，2）（3）如图设点 E ，则 (,)xy|2yADS当 P1(-1,4)时，S 四边形 AP1CE=SACP1+SACE|24y= y+ 4=点 E 在 x 轴下方 y-代入得： ,即 23- 072x=(-4)2-47=-120此方程无解当 P2（1，2）时，S 四边形 AP2CE=S 三角形 ACP2+S 三角形 ACE = 2y+ y=+2y=点 E 在 x 轴下方 代入得：-243x-即 ，=(-4) 2-45=-400542此方程无解综上所述，在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点 E。方法提炼：求一点使两个三角形相
10、似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。例 5：如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过点 AO、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若
11、不存在，说明理由第 5 页 共 12 页解析：（1）如图，过 B 点作 BCx 轴，垂足为 C，则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC= OB= 4=2，BC=OBsin60=4 =2 ，点 B 的坐标为（2，2 ） ；（2）抛物线过原点 O 和点 AB，可设抛物线解析式为 y=ax2+bx，将 A（4 ，0） ， B（22 ）代入，得，解得 ，此抛物线的解析式为 y= x2+ x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2 ，y） ，若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y=2 ，当 y=2
12、时，在 RtPOD中，PDO=90，sinPOD= = ，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=180，即 P、O、B 三点在同一直线上，y=2 不符合题意，舍去，点 P 的坐标为（2 ，2 ）若 OB=PB，则 42+|y+2 |2=42，解得 y=2 ，故点 P 的坐标为（ 2，2 ） ，若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2 |2，解得 y=2 ，故点 P 的坐标为（ 2，2 ） ，综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（ 2，2 ） ，方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要
13、三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题第 6 页 共 12 页例 6：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x 2+2x+3 与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点（1）求直线 AC 的解析式及 B，D 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 lAC交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q，使以点 AP、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线 AC 上找一点 M，使
14、BDM 的周长最小，求出 M 点的坐标解析：（1）当 y=0 时，x 2+2x+3=0，解得 x1=1，x 2=3点 A 在点 B 的左侧，AB 的坐标分别为（1，0） ， （3，0） 当 x=0 时，y=3C点的坐标为（ 0，3）设直线 AC 的解析式为 y=k1x+b1（k 10） ，则 ，解得 ，直线 AC 的解析式为 y=3x+3y=x 2+2x+3= （x1 ） 2+4，顶点 D 的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点 Q，当点 Q 在 Q1位置时，Q 1的纵坐标为 3，代入抛物线可得点 Q1的坐标为（2 ，3） ；当点 Q 在点 Q2位置时，点 Q2的纵坐标为3，代入抛物
15、线可得点 Q2坐标为（1+ ，3 ） ；当点 Q 在 Q3位置时，点 Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点 Q3的坐标为（1 ，3） ；综上可得满足题意的点 Q 有三个，分别为：Q1（ 2，3） ，Q 2（1+ ，3） ，Q 3（1 ，3） （3）点 B 作 BBAC 于点 F，使 BF=BF，则 B为点 B 关于直线 AC 的对称点连接 BD交直线 AC 与点 M，则点 M 为所求，过点 B作 BEx 轴于点 E1和2 都是3 的余角，1=2RtAOCRtAFB ， ，由 A（1，0 ） ，B（3，0） ，C（0，3）得 OA=1，OB=3，OC=3，AC= ，AB=4第 7 页 共
16、12 页 ，BF= ，BB=2BF= ，由1=2 可得 RtAOCRtBEB， ， ，即 BE= ，BE= ，OE=BEOB= 3= B点的坐标为（ ， ） 设直线 BD的解析式为 y=k2x+b2（k 20） ，解得 ，直线 BD 的解析式为：y= x+ ，联立 BD 与 AC 的直线解析式可得： ，解得 ，M点的坐标为（ ， ） 方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。题型四：二次函数与圆的综合问题例 7：如图，半径为 2 的C 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B，点 C 的坐标为（1，0） 若抛物线
17、 过 A、B 两点23ybc第 8 页 共 12 页（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点 P，使得PBO=POB ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点 M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点， MAB的面积为 S，求 S 的最大（小）值解析：（1）如答图 1，连接 OBBC=2，OC=1OB= 43B（0， ）将 A（3 ，0） ， B（0， ）代入二次函数的表达式得 ，解得： ，9bcc23bc 233yx（2）存在如答图 2，作线段 OB 的垂直平分线 l，与抛物线的交点即为点 PB（0， ） ，O（0，0 ） ，3直线 l 的表达式为 代入抛物线的表
18、达式，32y得 ；23yx解得 ，10P（ ） 2，（3）如答图 3，作 MHx 轴于点 H设 M（ ） ，mxy，则 SMAB=S 梯形 MBOH+SMHAS OAB= （MH+OB）OH+ HAMH OAOB1212= 11(3)()322mmxy= xy第 9 页 共 12 页 ，233mmyx 2MAB 3()2mSx= 239)8mx当 时， 取得最大值，最大值为 MABS3题型五：二次函数中的证明问题例 8：如图 11，已知二次函数 的图像过点 A(-4，3 ），B(4，4).)(2481baxy（1）求二次函数的解析式：（2）求证： ACB是直角三角形；（3）若点 P 在第二象限
19、，且是抛物线上的一动点，过点 P 作 PH 垂直 x 轴于点 H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）将 A(-4，3），B(4，4)代人 中，整理得：)(2481baxy解得247-ba0-3ba二次函数的解析式为： ，)2-1)(48xy整理得： （2）由 整理 04-6132x1320,1xC （-2 ，0 ） D ），（从而有：AC 2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65AB2=64+1=65 AC2+ BC2=AB2 故ACB 是直角三角形（3）设 （X0 ）)65-8143(xx
20、p，PH= HD= AC= BC=2x-30132当PHDACB 时有： BCHDAP即： 整理 132-1365-842xx 039125-42x （舍去）此时，0-1x 1y65-132x842x第 10 页 共 12 页 ）， 1350(-p当DHPACB 时有： BCPHAD即： 整理 1326-8413-2xx 07835-1482x （舍去）此时，-041y ）， 1384(2p综上所述，满足条件的点有两个即 ）， 135(-p）， 13284(-2p例 9： 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是抛物线：y=x 2上的动点（点在第一象限内） 连接 OP，过点0 作 OP 的垂线
21、交抛物线于另一点 Q连接 PQ，交 y 轴于点 M作 PA 丄 x 轴于点 A，QB 丄 x 轴于点B设点 P 的横坐标为 m（1）如图 1，当 m= 时，求线段 OP 的长和 tanPOM的值；在 y 轴上找一点 C，使OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形，求点 C 的坐标；（2）如图 2，连接 AM、BM，分别与 OP、OQ 相交于点 D、E用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标；求证：四边形 ODME 是矩形解析：（1）把 x= 代入 y=x2，得 y=2，P（ ，2） ，OP=PA丄 x 轴，PAMO tanP0M=tan0PA= = 设 Q（n，n 2） ，tanQOB=tanPOM， n=Q（ ， ） ，OQ= 当 OQ=OC 时，则 C1（0， ） ，C 2（0， ） ；当 OQ=CQ 时，则 C3（0，1） （2）P （m，m 2） ，设 Q（n，n 2） ，APOBOQ， ，得 n= ，Q（ ， ） 设直线 PO 的解析式为：y=kx+b ，把 P（m ，m 2） 、Q（ ， ）代入，得：解得 b=1，M （0 ，1）
