1、1普通高中选课与学习指南数学王尚志、张饴慈、马芳华编著北京大学出版社2目 录序 .3一、 高中数学课程的总体介绍 .41课程结构 .42内容结构 .53 内容主线 .84 课程顺序 .95 课程变化 .9二、 如何选择课程 .141、课程功能 .152、课程选择 建议 .163、课程调整 .16三、数学课程的选择性 .171. 选择性与系统性 .172. 选择性 “选择选修课” .18四、高中课程的整体把握 .19五、数学课程内容定位 必修与选修系列 1、2 .27六、高中数学课程内容定位 选修系列 3、4 .34选修 3-2 信息安全与密码 .34选修 3-3 球面几何 .36选修 3-4
2、对称与群 .36选修 3-5 欧拉公式与闭曲面分类 .37选修 3-6 三等分角与数域扩充 .38选修 4-2 矩阵与变换 .39选修 4-4 坐标系与参数方程 .40选修 4-7 试验设计与优选法 .41选修 4-8 统筹法与图论初步 .43选修 4-10 开关电路与布尔代数 .45选修 4-5 不等式选讲 .46选修 4-6 初等数论初步 .47选修 3-1 数学史选讲 .48选修 4-1 几何证明选讲 .49选修 4-3 数列与差分 .50选修 4-9 风险与决策 .50七、数学建模与数学探究 .51八、如何学好数学？ .54九、评价 .57主要参考文献 .603序为了配合高中新课程的推
3、进，北京大学出版社推出一套丛书，拟帮助同学们理解高中新课程，理解如何进行选课，理解课程的定位，包括必修课程、选修1、2、选修 3、4 内容的定位。我们有幸参加了高中课程标准的研制，参加了北师大版高中数学课程教材的编写，也参与一些推进高中课程的实验工作，参与了国家级高中数学骨干教师培训，参加了高中课程实验调研。对高中新课程有一定的了解，我们把一些感受和体会介绍给同学们，希望有助于同学们理解新课程，有助于同学们对选择性的思考，有助于同学们提高学习效果。同学们在使用这本书时，最好能取得教师的指导，一定会有更好的效率。全书共分为十个专题。其中前四个专题是对高中数学课程的总体介绍，包括如何选择高中课程、
4、高中课程的变化和高中课程的选择性；第五、六、七、八专题是本书的重点，从几个不同的视角来介绍高中数学课程的整体性、高中数学课程必修和选修内容的定位和数学建模与数学探究等等；第九专题，我们就数学的学习，提了的一些建议，希望能使学生受益；最后一个专题，我们抛砖引玉的谈了一下大家都非常关注的评价问题，希望引起深入地思考。本书的基本想法之一是强调整体的把握高中数学课程。这应该是我们打好基础的重要组成部分。函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线，它们彼此之间又有着密切的联系，是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想，从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。这些主线可
5、以把高中数学知识编织在一起，构成了一张无形的网，把整个高中数学课程的知识融会贯通。我们应该不断加深对这个网的认识，从不同的角度认识高中数学课程，从局部到整体，从整体到局部，整体的把握高中数学课程。最近，我们比较忙，北京大学出版社再三邀请。盛情难却。我们都是北京大学的毕业生，希望能为培养我们的母校做一点有益的事，尽力而为。但是，我们不是数学教育的科班出身，又由于水平有限，在书中一定有很多不妥和错误，恳请教师和同学们批评指正，书中的内容仅供参考。王尚志 张饴慈2005 年 8 月 22 日.4一、 高中数学课程的总体介绍1课程结构同学们进入高中的学习，应该做一些准备，首先，应该了解一下，整个高中课
6、程的框架和结构，对高中课程有一个比较全面地了解。然后，我们再由粗到细，由简到繁，逐步的向同学们展开对高中课程的介绍。首先，我们应该了解，高中课程由三部分组成。一是必修部分，由五个模块组成，每个模块要学习 36 个课时，这是每个同学都要学习的内容。第二部分，由选修 1、2 组成，这部分内容可以选择，简单地说，如果感觉自己适合在人文社科方面发展，可以选择选修 1 系列课程，两个模块，72 个课时；如果感觉自己适合在理工等方面发展，可以选择选修 2 系列课程。三个模块，108 个课时。第三部分，根据学生兴趣的需求，设计了选修 3 和选修 4 系列课程，其功能在第六章具体介绍。为了有个直观的了解，可以
7、参考以下框图，一目了然。从数学课程内容来说，理解选择性是非常重要的，理解了选择性才能搞清楚课程结构。2内容结构为了使同学们对课程有一个大致的了解，这里对内容先作粗略介绍，由简到繁，由粗到细，一步一步细化。用框图的形式对内容给予简单的描述是一种好方法，同学们可以不断地修改这个框图，如果能把这样的框图印在自己的头脑中就更好了，我们在中学时，遇到了一些好老师，他们要求我们对学过的东西有个整体认识，还要求能“背着”讲出来。把东西放在头脑中，这样一个好的方法就使得思考的机会大大增加了。必修内容体系的框图：5必修与选修 1（选修 2）的体系框图：6选修 3选修 3 由六个专题组成：数学史选讲，球面上的几何
8、，对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，信息安全与密码，三等分角与数域扩充。选修 3 的内容是以前的高中没有正式开设的，一些学校以选课的形式开设过，对同学们来说，必修、选修 1、2 没有太大的区别，选修 3 就内容来说也并不难，但是，需要认真深入地体会其中蕴涵的思想。同样，先做一个概述，随后再不断的深人。数学史选讲是要告诉同学们数学发展的一个基本的脉络，选择一些数学历史发展中一些重要的事件、成果作为线索，介绍一些伟大的数学家的贡献和奋斗人生，这些是非常有趣的。对球面上的几何，顾名思义，讨论“球面上图形的性质” ，我们学过平面几何，它们有什么相同，有什么不同？有什么用处？相信很多同学希望搞清楚。“对称
9、”是日常生活中常用的词，特别是图形，在生活中有很多“对称得很漂亮”的图形，这些对称图形不相同，如何对它们加以区别？这些对称图形中蕴涵什么数学？“对称”有什么用处？“对称与群”将使同学们对“对称”有个初步了解。7很多同学都知道欧拉，他是最伟大的数学家之一，他的成就非常丰富，多面体的欧拉公式就是其中之一，四面体、长方体等都是多面体，欧拉发现了：这些图形的“面数减去棱数再加上顶点数是 2”，并且他给出了很好的证明。这是很有趣的，反映了这些图形曲面的性质，同学们一定会问：是否还有其他图形也有这样的性质？是否所有多面体的曲面都有这样的性质？等等。 “欧拉定理与闭曲面分类”这个专题将回答这些问题。在“信息
10、时代” ，传送信息时保密的需求越来越大。在“信息安全与密码”中，将告诉同学们一些基本的数学原理，同学们可以通过操作，认识和使用，进一步的了解和熟悉常用的信息安全保密的方法。“用尺规可以三等分角吗？”这是同学们都想了解的一个问题。在“三等分角与数域扩充”这个专题中，我们将引导同学们一步一步地解决这个问题，同学们会发现，解决这样问题与做习题不大一样，我们应该学习这样一种思考方法，不论是否专门学习数学，这种思考问题的方法都是很有用的。我们希望同学们喜欢这些选题，选几个学一下，会对数学有一些新的感觉。当我们是高中生的时候，中国一些著名数学家，像华罗庚、段学复、熊庆来等，就开设了许多类似的讲座，对当时年
11、轻人的成长起了很大作用。选修 4选修 4 包括十个专题，可以分为三类，一类是与中学数学内容密切联系的，例如，几何证明选讲，不等式选讲，坐标系与参数方程。一类是中小学数学课程内容拓展的，例如，矩阵与变换，数列与差分，初等数论初步。另一类是数学应用方面的选题，例如，风险决策，优选法与实验设计，统筹法与图论初步，开关电路与布尔代数。这样的分类并不严格，仅仅是提供思考的背景。选修 4 与选修 3 一样，就内容来说并不难，但是，需要认真深入地体会其中蕴涵的思想，这些思想在今后学习和工作中会对我们有很大帮助。在随后的内容中，我们再进一步地介绍这些选题的内容定位，不断的深人。3 内容主线整体地把握高中数学课
12、程，这是我们在这本书中给各位同学最基本的建议。在学习高中数学时，我们希望同学们思考一些问题，其中之一是：是否有贯穿高中数学课程的“主线”？或说基本脉络。这些“主线”是什么？根据我们在研制高中数学课程标准过程中的思考，我们感到“主线”还是有的。在这里，我们提供一些建议，供同学们参考。在高中数学课程中，函数思想，运算思想，几何思想（把握图形的能力） ，算法思想，统计和随机思想，等等，这些都是贯穿在高中数学课程始终的东西，构成高中数学的基本脉络。另一方面，这些思想之间联系密切。它们像一张无形的网，把高中数学课程的所有内容有机地联系起来，抓住了这张网，就可以更好地掌握数学课程，了解实质，提高学习的效率
13、，当然，也会提高解题能力，考试能力，学习高中课程应该这样，以后，在大学学习、在工作中学习，也应该这样。著名数学家华罗庚先生常常说“既要能把书读厚，又能把书读薄” 。读8厚，就是要把每一逻辑关系，每一个细节搞清楚，想清楚；读薄，就是能抓住课程的主线，基本脉络，抓住课程的内在联系，形成整体认识。现在，我们的中学教师非常重视细节，这是好的传统，希望同学们保持，整体是另一方面，也必须重视，在一定程度上，更为重要。在“高中课程整体把握”这部分内容中，我们将一起来分析为什么它们是“主线” 。4 课程顺序学习数学课程的内容，总是有前有后。什么在前，什么在后，我们必须清楚。首先，必修课程在选修 1、2 之前开
14、设，选修 3、4 和必修课程是可以同时开设的。在必修中，必修 1 又是所有必修课程的基础，先开设必修 1，才能开设其他必修课，不同学校可以根据自己的实际情况确定必修 2、必修 3、必修4、必修 5 的开设顺序。选修 3、4 的开设会因校而异，我们希望学校能有计划、有组织地多开设一些选修课，同学们可以根据自己的兴趣，学校的实际，加以选择，选择能力对一个人来说是非常重要的，希望同学们有意识地锻炼自己的选择能力，在下一部分，我们专门讨论如何选择课程。5 课程变化高中课程改革，使高中数学课程有一些变化，有内容上的变化，这对同学们来说是平等的，还有一些指导思想方面的变化，或理念上的变化，了解这些变化，形
15、成科学的学习习惯，有效率的学习方法，对同学们是有益的， “人无远虑，必有近忧” 。希望同学们看得远一些。(1) 数学课程目标的变化1）三维目标在这一轮课程改革中，根据教育部课程改革纲要，在课程改革目标中，提出了三维课程目标的精神。把课程目标分为三个维度，知识与技能的目标，过程与方法的目标，情感、态度、价值观的目标。三维目标有各自的独立内涵，但是它们之间又存在着密切的联系。同学们，有这样一个问题是值得我们一起来思考的，小学、初中学习了很多数学，仔细地回忆，哪些东西是留在我们头脑里的呢？熟练地进行数与代数式的四则运算，了解了许多几何定理，例如，勾股定理，等等。就是说你们已经掌握了一些数学的知识和技
16、能。除此而外，还有另外一个重要方面，形成了一些学习数学的习惯，学会了数学思考问题的方法，等等，还可以用这些“东西”思考和解决一些实际问题，例如，与别人讨论问题时，希望大家有同样的出发点，不然，讨论一通，不可能达成共识，这就是数学教给我们的思维习惯。这一方面是属于“过程性” 、 “方法性”的东西，它们与知识技能的重要性是一样的。我们认为把“过程与方法”作为目标是一个很大的变化。在以前的教学大纲中，在不同程度上都强调了“过程与方法”的重要性，但是，这次课程改9革把“过程与方法”作为目标，这样， “过程与方法”不是可有可无的东西，而是必须实现的基本目标，我们必须认识这种变化不仅力度大，而且有非常重要
17、的意义。实际上，在长期的教学活动中，优秀的教师不仅关注学生对知识技能的掌握，而且特别关注掌握知识技能的过程，包括知识的来龙去脉，结论的背景、产生过程和意义，获取知识的能力和方法，等等。以数学学科为例，我们都知道在知识技能中，蕴涵着一些重要的数学思想和方法，学习的目的，不仅在于掌握知识技能和结果，更重要的是经历形成这些知识技能的过程，体会其中所蕴含的思想和方法，学会运用这些思想和方法去学习其他的知识，并能从中感悟数学的作用和价值，提高学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心。“过程与方法”是课程的目标，如何实现这个目标呢?这个问题就成为我们要认真探索的问题。我们不仅需要总结优秀教师在这方面的经
18、验，还需要探索一些新的课题，例如，如何理解过程性目标的问题，如何实现过程性目标的问题，如何评价过程性目标的问题，如何把知识技能目标与过程性目标有机结合的问题，如何把过程性目标与情感、态度、价值观的目标有机结合的问题。这些问题是极具挑战性的，是值得广大教师和同学们一起来探索和解决的。2）三维目标与数学课程目标在过去，只有老师才关心课程目标，这次课改，有一点变化，希望同学们也来了解和关心课程目标，了解数学课程的目标。这是合乎逻辑的，高中生是大人了，理应关注自己的未来发展，关注自己应该学到什么，关注自己应该获得哪些本领。在标准中，如何把三维目标与数学课程目标有机结合？这是在标准的研制过程中讨论的最基
19、本的问题。 标准设置了六个具体的目标: 1.获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。2.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。3.提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。4.发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。5.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和
20、科学态度。6.具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。从上面的具体目标可以看出， 标准的研制者没有机械的把数学课程目标分为：知识与技能的目标，过程与方法的目标，情感、态度、价值观的目标。而是采取了整体融合的方式来表述课程目标。10(2) 数学课程目标变化的意义1)打好基础在学习数学中，打好基础是非常重要的，中国的数学教育一直很重视这一点，这是一个好的传统。近年来，由于“应试教育”的影响，在强调打好基础时，有一种异化的倾向，以考试为目标的“题型教学” ，不加分析追
21、求难题、偏题，等等。都是这种异化的体现。实际上，这些做法都冲击我们的好传统，冲击了“基础” ，偏离了数学教育的目标。在这里，我们不想全面论述基础，仅就整体的把握高中数学课程谈一些我们的看法。高中的数学课程是一个整体，打好基础，首先要抓住贯穿高中数学课程的一些主要的东西，即主线。函数思想、几何思想、算法思想、运算思想、随机思想等都是高中数学课程的主线，我们将在后面展开对它们的分析。它们是贯穿整个高中数学课程最基本最重要的数学思想，从多个角度链接起了高中数学课程的许多内容。这些主线可以把高中数学知识编织在一起，构成了一张无形的网，把整个高中数学课程的知识点融会贯通。我们学习数学是线性序，但数学本身
22、不是线性的。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部与所学的知识进行呼应。2) 强调五个基本能力高中阶段学习数学，应该获得那些本领？这是同学们十分关心的问题。从 1963 年全日制中学数学教学大纲 （草案）中明确提出三个基本能力：计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力。这三大能力是中国最著名前辈数学家华罗庚先生首先提出的。明确这些说法，这对中小学数学教育起了很大的推动作用。标准中提出了五个基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。为什
23、么增加的两大基本能力：抽象概括能力和数据处理能力呢？抽象概括能力我们知道，数学有三个基本特征，抽象性，严密性，应用的广泛性。数学是严密的，对每一个正确的数学结果，它都是从一些定义、公理、定理出发，经过严密的逻辑推理得到的。例如，一元二次方程的求根公式，就是通过“配方思想” ，反复使用代数运算的基本规律：结合律、交换律、分配律，最后得到的一个公式。我们学习的数学课程都有一个比较严密的体系。在数学的严密性中，逻辑推理能力，特别是演绎推理能力发挥着重要的作用。演绎推理强调从一般到特殊、从抽象到具体。这是数学一种重要的思维方式。这种思维渗透到每一门数学课程中，也渗透到数学学习的每一个环节中。在高中数学课程中，无论是代数的内容、几何的内容、函数的内容，还是其他
