1、绝密启用前2015 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷 2）理 科 数 学注意事项：1本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。2回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 已知集合 A=-2，-1,0，1,2
2、 ，B=x| （X-1 ） （x+2）0,则 AB=（ ）（A） -1,0 （B ） 0,1 （C） -1,0,1 （D ） ,0,，1，2（2）若 a 为实数且（2+ai ） （a-2i）=-4i,则 a=（ ）（A）-1 （B） 0 （C）1 （D）2（3）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )（A） 逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著（B） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现（C） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关（4）等比数列a
3、 n满足 a1=3， 35a =21，则 357a ( )（A）21 （B）42 （C）63 （D）84（5）设函数 21log(),(),xxf, 2()log1)ff( )（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（A） 81 （B） 71 （C ） 61 （D ） 51（7）过三点 A（1,3） ，B（4,2） ，C （1,-7 ）的圆交于 y 轴于 M、N 两点，则 =（A）2 6 （B）8 （C）4 （D）10（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执
4、行该程序框图，若输入 a,b 分别为 14,18，则输出的 a=A.0 B.2 C.4 D.14（9）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为A36 B.64 C.144 D.25610.如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1 ，O 是 AB 的中点，点P 沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记BOP=x将动点 P 到 A、B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x） ，则 f（x）的图像大致为（11）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，且
5、顶角为 120，则 E 的离心率为（A） （B）2 （C） （D）532（12）设函数 f(x)是奇函数 ()fxR的导函数，f（-1）=0，当 0x时， ()0fxf，则使得 ()0fx成立的 x 的取值范围是A B,1(,)(1,0),)C D(,0,二、填空题（13）设向量 a， b不平行，向量 ab与 2平行，则实数 _（14）若 x，y 满足约束条件10,xy，则 zxy的最大值为_（15） 4()1a的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_（16）设 nS是数列 n的前 n 项和，且 1a， 11nnS，则 n_三解答题（17）ABC 中，D 是 BC 上的点，AD
6、 平分BAC，ABD 是ADC 面积的 2 倍。()求 ;CBsin() 若 =1， = 求 和 的长.ADC2BDAC(18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要
7、求计算出具体值，得出结论即可） ；（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率19 （本小题满分 12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB = 16，BC = 10， AA1 = 8，点 E，F 分别在 A1B1，D 1C1 上，A 1E = D1F = 4，过点 E，F 的平面 与此长方
8、体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） ；（2）求直线 AF 与平面 所成的角的正弦值。20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点229(0)xymA，B ，线段 AB 的中点为 M。（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；（2）若 l 过点 ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，(,)3m求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。21 （本小题满分 12 分）设函数 。2()mxfe（1）证明： 在 单调递减，在 单调递增；f
9、(,0)(0,)（2）若对于任意 ，都有 ，求 m 的取值范围。12,x12|1fxfe请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号22 （本小题满分 10 分）选修 4 - 1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与 ABC 的底边 BC交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB， AC 分别相切于 E， F 两点。（1）证明：EF BC；（2）若 AG 等于O 的半径，且 ，求四边形 EBCF 的面积。23AEMN23 （本小题满分 10 分）选修 4 - 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy
10、中，曲线 C1： （t 为参数，t 0） ，其中 0 cd；则 ；（2） 是 的充要条件。abcd|abcd参考答案一选择题（1）A （2）B （3）D （4）B （5）C （6）D（7）C （8）B （9）C （10）B （11）D （12）A二填空题（13） （14） （15）3 （16）1221n三解答题（17）解：（） 1sin2ABDSBADCC因为 ， ，所以ABD2ABC由正弦定理可得 sin12C（）因为 ，所以:ABDSC2BD在 和 中，由余弦定理知，22cosAACC故 222236BADB由（）知 ，所以1（18）解：（）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看
11、出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中， B 地区用户满意度评分比较分散。（）记 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意” ；1C表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意 ”；2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意 ”；1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意 ”，2C则 与 独立， 与 独立， 与 互斥， ，1A2ABC1B212BAC1()BP2)(ABAP12()(BCC由所给数据得 发生的频率分别为 ，故21,AB16408,21640()()(),()02A BPP8.22C（19）解：（
12、）交线围成的正方形 如图：EHGF（）作 ，垂足为 ，则EMAB114,8AMEA因为 为正方形，所以HGF0HFBC于是 ，所以26E以 D 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系 ，Ax Dxyz则 (10,)(,10)(,48)(0,)(10,)(0,68)AHEFEH设 是平面 的法向量，则nxyzG即,0FEA,680xyz所以可取 (,43)n又 ，故10,8F |45|cos, 1nAF所以 AF 与平面 所成角的正弦值为EHG5（20）解：（）设直线 12:(0,),(),(),(,)MlykxbAxyBxy将 代入 得 ，故229ym290kkbm12
13、2,MMxxk于是直线 的斜率 ，即OOyk9OMA所以直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值l（）四边形 能为平行四边形APB因为直线 过点 ，所以 不过原点且与 有两个交点的充要条件是l(,)3mlC0,3k由（）得 的方程为OM9yxk设点 的横坐标为PPx由 得 ，即229,ykxm2981Pk239Pkmx将点 的坐标代入 的方程得 ，因此(,)3l()b2(3)9Mkx四变现 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即OAPBABOPPMx于是 ，解得22(3)939kmk1247,kk因为 ，所以当 的斜率为 或 时，四边形 为平行0,1,iil OAB四边形（21）解：（） ()1)2mxfe若 ，则当 时， ；当 时， ，0(,0)10,()mxefx(0,)10mxe()fx若 ，则当 时， ；当 时， ，m(,)x,()mxefx(,)mxe()0fx所以， 在 单调递减，在 单调递增()fx,0)(0,)（）由（）知，对任意的 在-1，0 单调递减，在0,1单调递增，故 在 处取(mfx ()fx0得最小值，所以对于任意 的充要条件是1212,|)(|1ffxe()0,fef即1,me
