1、补充例题第四章 向量组的线性相关性41 向量组及其线性组合上页 下页 铃结束返回补充例题 首页补充例题或 aT(a1 a2 an) v向量n个有次序的数 a1 a2 an所组成的数组称为 n维向量 这 n个数称为该向量的 n个分量 第 i个数 ai称为第 i个分量 其中 a称为列向量 (即列矩阵 ) aT称为行向量 (即行矩阵 )由数组 a1 a2 an所组成的 n维向量 可记为下页补充例题说明 (1)列向量用黑体小写字母 a、 b、 、 等表示 行向量则用 aT、 bT、 T、 T等表示 所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时 都当作列向量 (2)分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数
2、的向量称为复向量 (3)规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算 补充例题v向量举例 (1) 线性方程 Amnx0的全体解当 R(A)n时是一个含无限多个 n维列向量的向量组 下页(2) 在空间直角坐标系中 点集P(x y z)|axbyczd是一个平面 (a b c不全为 0) 在三维向量空间中 向量集 r | r(x y z)T axbyczd也叫做向量空间 R3中的平面 并把 作为它的图形 补充例题v线性组合与线性表示设 A a1 a2 am是一 向量组 表达式k1a1k2a2 kmam称为向量组 A的一个线性组合 其中 k1 k2 km是 一组实数 称为这线性组合的系数 如果向量
3、b是向量组 A的线性组合b1a12a2 mam则称向量 b能由向量组 A线性表示 v定理 1 向量 b能由向量组 A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是矩阵 A(a1 a2 am)与矩阵 B(a1 a2 am b)的秩相等 即 R(A)R(B) 下页补充例题注 bj k1ja1k2ja1 kmjam(j1 2 l) v向量组的等价 若向量组 B b1 b2 bl中的每个向量都能由向量组 A a1 a2 am线性表示 则称向量组 B能由向量组 A线性表示 若向量组 B组能由向量组 A线性表示 则存在矩阵 K(kij) 使 矩阵 K称为这一线性表示的系数矩阵 若向量组 A与 B能相互表示 则
4、称这两个向量组等价 下页补充例题提示 若矩阵 A与 B行等价 则这两个矩阵的行向量组等价 v矩阵等价与向量组等价的关系这是因为 矩阵 A经初等行变换变成矩阵 B 则 B的每个行向量都是 A的行向量组的线性组合 反之 由初等变换的可逆 性 A的行向量组也能由 B的行向量组线性表示 下页若矩阵 A与 B列等价 则这两个矩阵的列向量组等价 补充例题v定理 2 向量组 B b1 b2 bl能由向量组 A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是 R(A)R(A B) 注 (A B)(a1 a2 am b1 b2 bl) 推论 向量组 A a1 a2 am与向量组 B b1 b2 bl等价的充分必要条件是 R(A)R(B)R(A B)下页补充例题例 1 设 a1(1 1 2 2)T a2(1 2 1 3)T a3(1 1 4 0)T b(1 0 3 1)T 证明向量 b能由向量组 a1 a2 a3线性表示 并求出表示式 设 A(a1 a2 a3) B(A b) (a1 a2 a3 b)因为 所以 R(A)R(B) 因此向量 b能由向量组 a1 a2 a3线性表示 由上列行最简形 可得方程(a1 a2 a3)xb的通解为 从而得表示式b(a1 a2 a3)x(3c2)a1(2c1)a2ca3其中 c可任意取值 解 下页
