1、通信原理 习题第一章 1 第一章 习题 习题 1.1 在英文字母中 E 出现的概率最大，等于 0.105，试求其信息量。 解 ： E 的信息量： b25.3105.0l o gEl o gE1l o g 222E PPI习题 1.2 某信息源由 A， B， C， D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为 1/4， 1/4， 3/16， 5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。 解 ： bAPAPI A 241lo g)(lo g)(1lo g 222 bI B 4 1 5.2163lo g 2 bI C 4 1 5.2163lo g 2 bI D 678.1165lo g 2
2、 习题 1.3 某信息源由 A， B， C， D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00， 01， 10， 11 表示。若每个二进制码元用宽度为 5ms 的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。 （ 1） 这四个符号等概率出现 ； （ 2）这四个符号出现概率如习题1.2 所示。 解 ： （ 1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为 25ms。传送字母的符号速率为 Bd1 0 01052 1 3B R 等概时的平均信息速率为 sb2004lo glo g 2B2Bb RMRR （ 2） 平均信息量为 符号比特9 7 7.1516l o g165316l
3、 o g1634l o g414l o g412222 H则平均信息速率为 sb7.197977.1100Bb HRR 习题 1.4 试问上题中的码元速率是多少？ 解 ：311 2 0 0 B d5 * 1 0B BR T 习题 1.5 设一个信息源由 64 个不同的符号组成，其中 16 个符号的出现概率均为 1/32，其余 48 个符号出现的概率为 1/96，若此信息源每秒发出 1000 个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。 解 ：该信息源的熵为 通信原理 习题第一章 2 96l o g961*4832l o g321*16)(l o g)()(l o g)()( 22264 121
4、ii iiMi i xPxPxPxPXH=5.79 比特 /符号 因此，该信息源的平均信息速率 1 0 0 0 * 5 . 7 9 5 7 9 0 b /sbR m H 。 习题 1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为 125 us。试求码元速率和信息速率。 解 ：B 6B11 8 0 0 0 B d1 2 5 * 1 0R T 等概时， skbMRR Bb /164lo g*8 0 0 0lo g 22 习题 1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为 600 欧姆，输入电路的带宽为 6 MHZ，环境温度为 23 摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。 解 ： 2 3 6
5、 1 2V 4 4 * 1 . 3 8 * 1 0 * 2 3 * 6 0 0 * 6 * 1 0 4 . 5 7 * 1 0 Vk TR B 习题 1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于 80 m，试求其最远的通信距离。 解 ：由 2 8D rh ，得 68 8 * 6 . 3 7 * 1 0 * 8 0 6 3 8 4 9 k mD rh 习题 1.9 设英文字母 E 出现的概率为 0.105， x 出现的概率为 0.002 。试求 E 和 x 的信息量。 解： 22( ) 0 . 1 0 5( ) 0 . 0 0 2( ) l o g E l o g 0
6、. 1 0 5 3 . 2 5( ) l o g ( ) l o g 0 . 0 0 2 8 . 9 7pEpxI E P b itI x P x b it 习题 1.10 信息源的符号集由 A， B， C， D 和 E 组成，设每一符号独立 1/4 出现，其出现概率为 1/4,1/8,1/8,3/16 和 5/16。试求该信息源符号的平均信息量。 解： 符号/23.216 5l o g16581l o g81l o g8141l o g41)(l o g)( 22222 b i txpxpH ii 习题 1.11 设有四个消息 A、 B、 C、 D 分 别以概率 1/4,1/8, 1/8,
7、1/2 传送，每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。 通信原理 习题第一章 3 解： 符号/75.121l o g2181l o g8181l o g8141l o g41)(l o g)( 22222 b i txpxpH ii 习题 1.12 一个由字母 A， B， C， D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码， 00 代替 A， 01 代替 B， 10 代替 C， 11 代替 D。每个脉冲宽度为 5ms。 （ 1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。 （ 2） 若每个字母出现的概率为 14Bp , 14Cp , 310Dp , 试计算传输的平均信息
8、速率。 解： 首先计算平均信息量 。 （ 1） 22 11( ) l o g ( ) 4 * ( ) * l o g 2 /44iiH P p b i txx 字 母 平均信息速率 =2（ bit/字母） /(2*5m s/字母 )=200bit/s （ 2） 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 3 3( ) l o g ( ) l o g l o g l o g l o g 1 . 9 8 5 /5 5 4 4 4 4 1 0 1 0iiH P p b i txx 字 母平均信息速率 =1.985(bit/字母 )/(2*5ms/字母 )=198.5bit/s 习题 1.13 国际莫尔
9、斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续 3 单位 的电流脉冲表示，点用持续 1 单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。 （ 1） 计算点和划的信息量； （ 2） 计算点和划的平均信息量 。 解： 令点出现的概率为 ()AP ,划出现的频率为 ()BP ()AP + ()BP =1, ( ) ( )13 ABPP ()34AP ()14BP (1) 22( ) l o g ( ) 0 .4 1 5( ) l o g ( ) 2I A p A b itI B p B b it （ 2） 符号/8 1 1.041l o g4143l o g43)(l o g)( 222 b
10、i txpxpH ii 习题 1.14 设一信息源的输出由 128 个不同符号组成。其中 16 个出现的概率为1/32，其余 112 个出现的概率为 1/224。信息源每秒发出 1000 个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。 通信原理 习题第一章 4 解： 符号/4.6224 1l o g)224 1(*112)321(*16)(l o g)(H22 b i txpxp ii 平均信息速率为 6.4*1000= 6400bit/s 。 习题 1.15 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300 个码元，问此传码率 BR 等于多少？若数字信号 0 和 1 出现是独立等概的，那么
11、传信率 bR 等于多少？ 解： 300BRB 300 /bR bit s 习题 1.16 若题 1.12 中信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？ 解： 传送 1 小时的信息量 2 . 2 3 * 1 0 0 0 * 3 6 0 0 8 . 0 2 8M b i t 传送 1 小时可能达到的最大信息量 先求出最大的熵： m a x 2 1lo g 2 .3 2 /5H b i t 符号 则传送 1 小时可能达到的最大信息量 2 . 3 2 * 1 0 0 0 * 3 6 0 0 8 . 3 5 2M b i t 习题 1.
12、17 如果二进独立等概信号，码元宽度为 0.5ms，求 BR 和 bR ；有四进信号，码元宽度为 0.5ms，求传码率 BR 和独立等概时的传信率 bR 。 解： 二进独立等概信号： 31 2 0 0 0 , 2 0 0 0 /0 . 5 * 1 0BbR B R b i t s 四进独立等概信号： 31 2 0 0 0 , 2 * 2 0 0 0 4 0 0 0 /0 . 5 * 1 0R B R b i t s 。 小结： 记住各个量的单位： 信息量： bit 2log ( )I p x 信源符号的平均信息量（熵）： bit/符号 2( ) lo g ( )iI p x p x 平均信息速
13、率： / ( /bit s bit 符号） / (s/符号 ) 传码率： BR （ B） 传信率： bR bit/s 通信原理 习题第一章 5 第二章习 题 习题 2.1 设随机过程 X(t)可以表示成： ( ) 2 c o s ( 2 ) , X t t t 式中， 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布： P( =0)=0.5， P( = /2)=0.5 试求 EX(t)和 XR (0,1) 。 解 ： EX(t)=P( =0)2cos(2 )t +P( = /2) 2 c o s ( 2 ) = c o s ( 2 ) s i n 22t t t cos t 习题 2.2 设一个随机过程
14、 X(t)可以表示成： ( ) 2 c o s ( 2 ) , X t t t 判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率 谱密度或能量谱密度。 解 ：为功率信号。 /2/2/2/21( ) l im ( ) ( )1l im 2 c o s( 2 ) * 2 c o s 2 ( )TX T TTTTR X t X t d tTt t d tT 222 c o s ( 2 ) j t j tee 2 2 2 2( ) ( ) ( )( 1 ) ( 1 )j f j t j t j fXP f R e d e e e dff 习题 2.3 设有一信号可表示为： 4 e x p ( ) , t 0
15、( ) 0 , t 0tXt 试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解 ：它是能量信号。 X(t)的傅立叶变换为： ( 1 )00 4( ) ( ) 4 4 1j t t j t j tX x t e d t e e d t e d t j 则能量谱密度 G(f)= 2()Xf = 2224 1 61 1 4jf习题 2.4 X(t)= 12c o s 2 sin 2x t x t ，它是一个随机过程，其中 1x 和 2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为 2 。试求： 通信原理 习题第一章 6 (1)EX(t)， E 2()Xt； (2)X(
16、t) 的概率分布密度 ； (3) 12( , )XR t t 解 ： (1) 02s i n2c os2s i n2c os 2121 xEtxEttxtxEtXE ()XPf因为 21 xx和 相互独立，所以 2121 xExExxE 。 又因为 021 xExE ， 12212 xExE ，所以 22221 xExE 。 故 22222 2s i n2c o s tttXE (2)因为 21 xx和 服从高斯分布， 21 xxtX 和是 的线性组合，所以 tX 也服从高斯分布，其概率分布函数 222exp21 zxp。 (3) 222112112121 2s i n2c o s)2s i
17、n2c o s(, txtxtxtxEtXtXEttR X 21212 2s i n2s i n2c o s2c o s tttt 122 2c o s tt 习题 2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1) ff 2cos2 ； (2) afa ； (3) 2exp fa 解 ：根据功率谱密度 P(f)的性质 ： P(f) 0 ，非负性 ； P(-f)=P(f) ，偶函数。可以判断 (1)和 (3)满足功率谱密度的条件， (2)不满足。 习题 2.6 试求 X(t)=Acos t 的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解 ： R(t， t+ )=EX(t)X(t+ )
18、 = c o s * c o s ( )E A t A t 221 c o s c o s ( 2 ) c o s ( )22 AA E t R 功率 P=R(0)= 22A 习题 2.7 设 tX1 和 tX2 是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为 21 XX RR 和。试求其乘积 X(t)= 12( ) ( )X t X t 的自相关函数。 解 ： (t,t+ )=EX(t)X(t+ )=E 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )X t X t X t X t = 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )E X t X t E X t X t=12( ) ( )XXR
19、R习题 2.8 设随机过程 X(t)=m(t)cos t ，其中 m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为 421 0 , 1 0 k H Z 1 0 k H Z()0,XffPf 其 它 通信原理 习题第一章 7 (1)试画出自相关函数 ()XR 的曲线； (2)试求出 X(t)的功率谱密度 ()XPf和功率 P。 解 ： (1) 1 , 1 01 0 10,xR 其 它其波形如图 2-1 所示。 图 2-1 信号波形图 (2)因为 )(tX 广义平稳，所以其功率谱密度 XX RP 。由图 2-8 可见， XR的波形可视为一个余弦函数与一个 三角波的乘积，因此 2Sa2Sa4112Sa2
20、12 10202200xP 210,21d2 1 xx RSPP 或 习题 2.9 设信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f) = sinff。试求此信号的自相关函数。 解 ： x(t)的能量谱密度为 G(f)= 2()Xf = 2sin ff其自相关函数 2 1 , 1 0( ) 1 0 10,jfXR G f e d f 其 它习题 2.10 已知噪声 tn 的自相关函数 k-e2kRn ， k 为常数。 (1)试求其功率谱密度函数 fPn 和功率 P； (2)画出 nR 和 fPn 的曲线。 21xR1 0 1 通信原理 习题第一章 8 解 ： (1) 222( ) ( ) 2 ( 2 )
21、kjjnn kkP f R e d e e d kf 20 kRP n (2) ()nR 和 fPn 的 曲线如图 2-2 所示。 图 2-2 习题 2.11 已知一平稳随机过程 X(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：( ) 1 , 1 1R 试求 X(t)的功率谱密度 ()XPf并画出其曲线。 解 ：详见例 2-12 习题 2.12 已知一信号 x(t)的双边功率谱 密度为 421 0 , 1 0 k H Z 1 0 k H Z()0,X ffPf 其 它试求其平均功率。 解 ： 34 31 0 * 1 0 4 2 4 1 0 800 2( ) 2 1 0 2 * 1 0 * *
22、 1 033X fP P f d f f d f 习题 2.13 设输入信号 / ,0()0, 0tetxtt ，将它加到由电阻 R 和电容 C 组成的高通滤波器（见图 2-3）上， RC 。试求其输出信号 y(t)的能量谱密度。 解 ：高通滤波器的系统函数为 H(f)= ( ) 2 c o s ( 2 ) , X t t t 输入信号的傅里叶变换为 X(f)= 11 122 jfjf 输出信号 y(t)的能量谱密度为 22( ) ( ) ( ) ( ) 11( ) ( 1 )22yRG f Y f X f H fR j fC j f 习题 2.14 设有一周期信号 x(t)加于一个线性系统的
23、输入端，得到的输出信号为nR2k0 fPn1 0 fC R 图 2-3RC 高通滤波器 通信原理 习题第一章 9 y(t)= ( )/dx t dt 式中， 为常数。试求该线性系统的传输函数 H(f). 解 ：输出信号的傅里叶变换为 Y(f)= * 2 * ( )j f X f ,所以 H(f)=Y(f)/X(f)=j2f 习题 2.15 设有一个 RC 低通滤波器如图 2-7 所示。当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为 02n 的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 解 ：参考例 2-10 习题 2.16 设有一个 LC 低通滤波器如图 2-4 所示。若输入信号是一个均值为 0、双边
24、功率谱密度为 02n 的高斯白噪声时，试求 (1) 输出噪声的自相关函数。 (2)输出噪声的方差。 解 ： (1)LC 低通滤波器的系统函数为 H(f)=222122 1422j f Cf L Cj f Lj f C 输出过程的功率谱密度为 2 00 21( ) ( ) ( ) 21i nP P H LC 对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为0 0( ) e x p ( )4Cn CR LL (2) 输出亦是高斯过程，因此 2 00 0 0(0 ) ( ) (0 )4CnR R R L 习题 2.17 若通过图 2-7 中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为 0、双边功率谱密度为
25、02n 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 解 ：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由 2.15 题可知E(y(t)=0 , 2 00 (0 ) 4y nR RC 所以输出噪声的概率密度函数 20012( ) e xp( )2yx R CpxnnRC习题 2.18 设 随机过程 ()t 可表示成 ( ) 2 co s(2 )tt ，式中 是一个离散随变L C 图 2-4LC 低通滤波器 通信原理 习题第一章 10 量，且 ( 0 ) 1 / 2 ( / 2 ) 1 / 2pp 、，试求 (1)E 及 (0,1)R 。 解： ( 1 ) 1 / 2 * 2 c o s ( 2
26、0 ) 1 / 2 * 2 c o s ( 2 / 2 ) 1 ;E ( 0 ,1 ) ( 0 ) ( 1 ) 1 / 2 * 2 c o s ( 0 ) 2 c o s ( 2 0 ) 1 / 2 * c o s ( / 2 ) 2 c o s ( 2 / 2 ) 2RE 习题 2.19 设 1 0 2 0( ) c o s s inZ t X w t X w t是一随机过程，若 1X 和 2X 是彼此独立且具有均值为 0、方差为 2 的正态随机变量，试求： （ 1） ()EZt 、 2 ( )EZ t ； （ 2） ()Zt 的一维分布密度函数 ()fz； （ 3） 12( , )Bt t
27、 和 12( , )Rt t 。 解： （ 1） 1 0 2 0 0 1 0 2 ( ) c o s s i n c o s s i n 0E Z t E X w t X w t w t E X w t E X 因为 1X 和 2X 是彼此独立的正态随机变量， 1X 和 2X 是彼此互不相关，所以12 0E X X 2 2 2 2 2 2 2 2 21 0 2 0 0 1 0 2 ( ) c o s s i n c o s s i n E Z t E X w t X w t w t E X w t E X 又 1 0EX ; 2 2 21 1 2( ) D X E X E X 221EX 同理
28、 222EX 代入可得 22 ( )E Z t （ 2） 由 ()EZt =0； 22 ( )E Z t 又因为 ()Zt 是高斯分布 可得 2 ( )D Z t 221 ( ) e x p ( )22 zf Z t (3) 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )B t t R t t E Z t E Z t R t t 1 0 1 2 0 1 1 0 2 2 0 2 ( c o s s i n ) ( c o s s i n ) E X w t X w t X w t X w t 221 0 1 0 2 2 0 1 0 2220 1 2 0 ( c os c os sin sin ) c os ( ) c osE X w t w t X w t w tw t t w 令 12tt 习题 2.20 求乘积 ( ) ( ) ( )Z t X t Y t 的自相关函数。已知 ()Xt 与 ()Yt是统计独立的平
