1、第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与 曲线的弧长有关主要内容 :一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率第 三 章 一、 弧微分设 在 (a , b)内有连续导数 , 其 图形为 AB,弧长则 弧长微分公式为或几何意义 :若 曲线由参数方程表示 :二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段 , 其长为 对应切线定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注意 : 直线上任意点处的曲率为 0 !转角为例 1. 求半径为 R 的圆上任意点处的曲率 .解 : 如图所示 ,可见 : R 愈小 , 则 K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大 , 则 K 愈小
2、, 圆弧弯曲得愈小 .有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率 K 的计算公式二阶可导 ,设曲线弧 则由说明 : (1) 若曲线由参数方程 给 出 , 则(2) 若曲线方程为 则例 2. 我国铁路常用立方抛物线 作 缓和曲线 ,处的 曲率 .说明 :铁路转弯时为保证行车平稳安全 ,求此缓和曲线在其两个端点且 l R. 其中 R是圆弧弯道的半径 , l 是缓和曲线的长度 , 离心力必须连续变化 , 因此铁道的曲率应连续变化 . 例 2. 我国铁路常用立方抛物线 作 缓和曲线 ,且 l R. 处的 曲率 .其中 R是圆弧弯道的半径 , l 是缓和曲线的长度 , 求此缓和曲线在其两个端点解 :显然三、 曲率圆与曲率半径设 M 为曲线 C 上任一点 , 在 点在 曲线把以 D 为中心 , R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做 曲率半径 , D 叫做 曲率中心 .在点 M 处曲率圆与曲线有下列密切关系 :(1) 有公切线 ; (2) 凹向一致 ; (3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线 ,的凹向一侧法线上取点 D 使
