空间向量例题更新.doc

1、1空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识1.向量的直角坐标运算设 =(a1，a 2，a 3)， =(b1， b2，b 3)，则 =(a1+b1，a 2+b2，a 3+b3)； =(a1-b1，a 2-b2，a 3-b3)； =a1b1+a2b2+a3b3， a1=b1，a 2=b2，a 3=b3(R )或 ， a1b1+a2b2+a3b3=02.夹角和距离公式 321231 ,cos;aba 夹角公式 cos= ab3222131距离公式设 A(x1，y 1，z 1)， B(x2，y 2，z 2)，则| |= AB222111()()()xyz向量与坐标关系，设 A(x1， y1

2、，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则 ,M 为中点时得中点坐标：x= ，y= ，z= 即（ ， ，11212x12y）12z由中点公式，可得以 A(x1，y 1，z 1)，B( x2，y 2，z 2)，C (x3，y 3，z 3)为顶点的三角形重心的公式：x= ，y = ，z= 即（ ， ，1232312x123y）z3平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量 的有向线段所在的直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 n n平面的法向量：如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量n一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而

3、就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量 =(x，y，z)n2或 =(x，y，1)或 =(x，1，z) ，或 =(1，y ，z )，在平面 内任选定两个不共线的向量 ， 由nnn ab ，得 =0 且 =0，由此得到关于 x，y 的方程组，解此方程组即可得到 ab n例 1在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求平面 A1C1D 的法向量 和单位法向量 0解：建立空间直角坐标系，如图 1，则D(0，0，0) ，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，设 面 A1C1D， =(x，y，z)得 ， nnn11

4、又 =(1，0，1)， =(0，1，1) ，令 z=1 zyxzyxn0;1得xy =(1，1，1)， 0= = nn(1,)3(,)二、空间向量在立体几何解题中的应用(一)空间角1异面直线所成的角设点 A，B 直线 a，C，D直线 b，构造向量 ， cos= ，ABCDAB|CD所对应的锐角或直角即为直线 a(AB)与 b(CD)所成的角例 2在例 1 中，设 ACBD=O，求异面直线 D1O，DC 1 所成的角的余弦值解：如图建立空间直角坐标系 D-AC 1， D(0，0，0)， 1(0，0，1)，C1(0，1，1)，(1，0，0),C(0，1，0), 则 0( , ,0)2=( ， ，1

5、)， =(0，1，1) DO2CzA1yxAC1BCD1B1D图 1zA1yxAC1BCD1B1D图 13cos= ，1DO1C1326|3D异面直线 D1O，DC 1 所成的角余弦值为 2线面所成的角如图，AB 为平面的斜线， 为平面 的法向量，如果 与 之间所成的角 为锐角，则斜线 ABnABn与平面 之间所成的角 = 即利用向量 与 求出的是角 ，实际上所求的角是 2若 为锐角，则 = ，sin =cos；若 为钝角，则 = ( )= ，sin =cos 2总之有，sin =|cos|=ABn例 3. 在例 1 中，设 E、F 分别为 C1D1、B 1C1 的中点，求 A1D 与平面 E

6、FBD 所成的角解：如图建立空间直角坐标系 D-AC 1， D(0，0，0)， 1(0，0，1)，B(1，1，0)C 1(0，1，1)，B 1 (1，1，1),则 E(0， ，1)，F( ，1，1) ，2设 面 EFBD， =(x，y，z)，得 ， nnnB又 =(1，1，0)， =(0， ，1) DBE12 ，令 y=2 yzxyxn0;0得 12zx =(2，2，1)，又 =(1，0，1) ，1DAsin = 1|32An即 = 则所求的 A1D 与平面 EFBD 所成的角为44nBAzx BA1yEFB1C1D1D CA图 2lmn43二面角的求法： 二面角 l，平面 的法向量 ，平面

7、的法向量 则二面角 lmn的平面角 =所以，cos= mnn若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上) ，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则为二面角的平面角的补角；mn当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则为二面角的平面角故在所求的二面角的平面角时，先求法向量的余弦值后利用图形观察其为锐角或钝角例 4. 在例 1 中，求二面角 D1ACD 的大小的余弦值解：如图建立空间直角坐标系 D-AC 1， D(0，0，0)， 1(0，0，1)，A(1，0，0),C(0,1,0) 面 ACD1， =(x，y，z)，得 ， 1nnnAC又 （1,1,0）， （,0,1）A

8、C1A ；令 =(1，1，1) ，xzyzxDn0;01得 n由已知可易得平面 DAC 的法向量是 =(0，0，1)，2ncos,= ，1n212(,),13|由图知所求的角为锐角，则 所求的余弦值为 3练习 1： 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=5，AD=8，AA 1=4，M 为 B1C1 上一点，且B1M=2，点 N 在线段 A1D 上，且 ，求：)56,80(N1) 求直线 A1D 与 AM 所成角的余弦值；2) 直线 AD 与平面 ANM 所成的角的正切；3) 平面 ANM 与平面 ABCD 所成角（锐角）的余弦值.5(二)空间距离1点到面的距离 设 A 是平面

9、外一点，AB 是 的一条斜线，交平面 于点 B，而 是平面 n的法向量，那么向量 在 方向上的正射影长就是点 A 到平面 的距离为 dBn所以 d= |cos,例 5. 例 1 中，设 G、H 分别是 A1B1、CD 的中点，求点 B 到截面 AGC1H 的距离解：如图建立空间直角坐标系 D-AC 1，D(0 ，0，0)， C(0，1，0),B1(1，1，1) ， A1(1，0，1)，则 H(0， ，0) ，G (1， ， 1)，22A(1，0，0) ， 设 面 AGG1H，则 ， nnAH令 =(x，y，z)，则 =(0， ，1) ， =(1， ， 0)有：nG=0， =0，A 202yxz

10、yxz令点到面的距离 线到面的距离线到线的距离面到面的距离A Bd nzA1yxAC1BCD1B1D图 16ABCDnab图 3 =(1，2，-1)，又 =(0， 1，0)，nAB所以点 B 到截面 AGC1H 的距离为 d= 故所求距离为263|1ABn36练习 2：在例 1 中，求点 A1 到平面 ACD1 的距离2异面直线间的距离 如图 3，若 CD 是异面直线 a、b 的公垂线段，A、B 分别为 a、b 上的任意两点 令向量 a， b，则 nnCD = + + ，ABCDB = + + ，n = ，| |=| | | |，| |= 两异面直线 a、b 间的距离为：d= ABnCD|AB

11、n|An其中 与 a、b 均垂直(即 a， b 的公垂向量) ，A、B 分别为两异面直线上的任意两点例 6在例 1 中，求直线 DA1 和 AC 间的距离解： =(1，1，0)， =(1，0，1) 设 DA1 和 AC 公垂线段上的向量为 =(x，y，z)，ACDA n由 ，即 可取 =(1，1，1) ，10nxzyzx令又 =(0，0，1)，所以点 A 到平面 A1C1D 的距离为 d = ，1A 1|3An即直线 DA1 和 AC 间的距离为 37A BCD OSxyz图 4练习 3如图 4，正四棱锥 SABCD 的高 SO=2，底边长 AB= ，求异面直线 BD 和 SC 之间的距2离3

12、线面距离 直线 a 与平面 平行时，直线上任意一点 A 到平面 的距离就是直线 a 与平面 之间的距离其求法与点到面的距离求法相同4平面与平面间的距离 平面 与平面 平行时，其中一个平面 上任意一点到平面 的距离就是平面 与平面 间的距离其求法与点到面的距离求法相同1）用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题2）用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题例 8在例 1 中，设 P、Q、 R 分别是 A1C1、A 1D 和 B1A

13、 上任一点，(1)求证：平面 A1PQ平面 B1RC；(2)求平面 A1PQ 与平面 B1RC 间的距离解：(1)由前面例题知 =(1，1，0) ， =(1，0，1)，=(1，0，1)， =(0，1，1) ，ADBA设 ， ， (、 、 R，且均不为 0)PC1QD1RBA设 、 分别是平面 A1PQ 与平面 B1RC 的法向量，1n2 Q yPRx zD1 C1B1A1 CD BA8由 即 即 ，可解得： =(1，1，1)，10APQn110ACDn10Ann由 即 即 ，可解得 =(1，1，1) ，210BRn210B2102所以 = ， ， 所以平面 A1PQ平面 B1RC1212n如果

14、求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用 =0 来证n212n明(2)A(1，0，0)，D(0，0，0)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)， =(1，0，1)， =(0，0，1) ， =(1，0，0)，1AD设平面 A1C1D 的一个法向量 =(x，y，1)，n则 ，即 ， =(-1，-1 ，1)10n(,1)(,)01xyn平面 AB1C 与平面 A1C1D 间的距离 d= 22(,0)(,)| 31An将平面 AB1C 与平面 A1C1D 间的距离转化成点 A 到平面 A1C1D 的距离例 9.已知斜三棱柱 ， ， ， 在底面 上的射影恰为1B90BB1ABC的中

15、点 ，又知 。（I）求证： 平面A11；（ II）求 到平面 的距离1BCA证明：（I）如图，取 的中点 ，则 ，因为BE/DBC，所以 ，又 平面 ，DC1以 为 轴建立空间坐标系，则1,E,xyz， ， ， ，0A02,0B1,At，1,2Ct， ， ，31,At,0C9由 ，知 ，又 ，从而 平面 ；10ACB1ACB1A1C1AB（II）由 ，得 。1230t3t设平面 的法向量为 ， ， ，所以,nxyz10,2,0，设 ，则120nAyzBx 3,所以点 到平面 的距离 。1C11ACnd27(三)证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等若两平面 、 的法向量分别为 、 ，则1

16、n2(1)当 =0 时，平面 平面 ； (2)当 = ，即它们共线时，平面 平面 1n2 1n2若平面 的一法向量为 ，直线 AB 在平面 外，则(1)当 =0 时，AB 平面 ； (2)当 = ，即它们共线时，AB平面 AB ABAB平面 内的两条相交直线，则 AB平面 10例 9如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为3，侧棱长为 ，D 是 CB 延长线上一点，且32BD=BC求直线 BC1 与平面 AB1D 之间的距离；解：由题设知，AD，AC，AA 1 两两垂直，建立空间直角坐标系 A1DCA1，则A(0，0，0) ，B( ， ，0) ，C (0，3，0)，D (3 ，0 ，0)，323B1( ， ， )，C 1(0，3， )可求得平面 AB1D 的一个法向量为 =(0， ，-1) 2n3直线 BC1 与平面 AB1D 之间的距离为d= |(0,3)(,0)| 324|An A1 C1B1BA CD