1、12014 年中考数学复习专题讲座四：探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模
2、式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律2反演推理法（反证法） ，即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用三、中考考点精讲考点一：动态探
3、索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件例 1 （2012自贡）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB=4 ，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合（1）证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有 BE=CF；（2）当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，分别探讨四边形 AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值考点： 菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。810360 分析： （1）先求证 AB=AC，进而求证A
4、BC 、ACD 为等边三角形，得4=60，AC=AB 进而求证ABEACF ，即可求得 BE=CF；2（2）根据ABEACF 可得 SABE =SACF ，故根据 S 四边形 AECF=SAEC +SACF =SAEC+SABE =SABC 即可解题；当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短AEF的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又根据SCEF =S 四边形 AECFS AEF ，则CEF 的面积就会最大解答： （1）证明：连接 AC，如下图所示，四边形 ABCD 为菱形，BAD=120，1+EAC=60，3+EAC=
5、60，1=3，BAD=120，ABC=60，ABC 和ACD 为等边三角形，4=60 ，AC=AB，在ABE 和ACF 中，ABEACF（ASA） BE=CF；（2）解：四边形 AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化理由：由（1）得ABEACF，则 SABE =SACF ，故 S 四边形 AECF=SAEC +SACF =SAEC +SABE =SABC ，是定值，作 AHBC 于 H 点，则 BH=2，S 四边形 AECF=SABC = BCAH= BC =4 ，由“垂线段最短” 可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短故AEF 的面积会随着 AE 的变化
6、而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又 SCEF =S 四边形 AECFS AEF ，则此时CEF 的面积就会最大S CEF =S 四边形 AECFS AEF =4 2 = 点评： 本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证ABEACF 是解题的关键，有一定难度考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题3目例 3 （2012盐城）如图所示，已知 A、B 为直线 l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接 AC、BC ，分别以 AC、BC 为边向ABC 外作正方形 CADF 和正方形CBEG，
7、过点 D 作 DD1l 于点 D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1（1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时（此时 E1 与 E 重合） ，试说明 DD1=AB；（2）在图中，当 D、E 两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段 DD1、EE 1、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点 E 在直线 l 的下方时，请直接写出三条线段 DD1、EE 1、AB 之间的数量关系 （不需要证明）考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质。810360 专题： 几何综合题。分析： （1）由四边形 CADF、CBEG 是正方形，可得 AD=CA，DAC=ABC=90，又由同角的余角相等，
8、求得ADD 1=CAB，然后利用 AAS 证得ADD 1CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得 DD1=AB；（2）首先过点 C 作 CHAB 于 H，由 DD1AB，可得DD 1A=CHA=90，由四边形CADF 是正方形，可得 AD=CA，又由同角的余角相等，求得ADD 1=CAH，然后利用AAS 证得 ADD 1CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得 DD1=AH，同理EE1=BH，则可得 AB=DD1+EE1（3）证明方法同（2） ，易得 AB=DD1EE 1解答： （1）证明：四边形 CADF、CBEG 是正方形，AD=CA， DAC=ABC=90，DAD 1+CAB=90，
9、DD 1AB，DD 1A=ABC=90，DAD 1+ADD 1=90，ADD 1=CAB ，在ADD 1 和CAB 中，ADD 1CAB（AAS ） ，DD 1=AB；（2）解：AB=DD 1+EE14证明：过点 C 作 CHAB 于 H，DD 1AB，DD 1A=CHA=90，DAD 1+ADD 1=90，四边形 CADF 是正方形，AD=CA， DAC=90，DAD 1+CAH=90，ADD 1=CAH，在ADD 1 和CAH 中，ADD 1CAH（AAS） ，DD 1=AH；同理：EE 1=BH，AB=AH+BH=DD 1+EE1；（3）解：AB=DD 1EE 1证明：过点 C 作 CH
10、AB 于 H，DD 1AB，DD 1A=CHA=90，DAD 1+ADD 1=90，四边形 CADF 是正方形，AD=CA， DAC=90，DAD 1+CAH=90，ADD 1=CAH，在ADD 1 和CAH 中，ADD 1CAH（AAS） ，DD 1=AH；同理：EE 1=BH，AB=AHBH=DD 1EE 15点评： 此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法例 4 （2012 丽水）在直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=x2 在第二象限上的点，连接 OA，过点 O 作 OBOA，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形
11、AOBC（1）如图 1，当点 A 的横坐标为 时，矩形 AOBC 是正方形；（2）如图 2，当点 A 的横坐标为 时，求点 B 的坐标；将抛物线 y=x2 作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y=x 2，试判断抛物线 y=x 2 经过平移交换后，能否经过 A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由考点： 二次函数综合题。810360 专题： 代数几何综合题。分析： （1）过点 A 作 ADx 轴于点 D，根据正方形的对角线平分一组对角可得AOC=45，所以AOD=45，从而得到AOD 是等腰直角三角形，设点 A 坐标为（a，a） ，然后利用点 A 在抛物线上，把点的坐
12、标代入解析式计算即可得解；（2）过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，先利用抛物线解析式求出AE 的长度，然后证明AEO 和OFB 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 OF与 BF 的关系，然后利用点 B 在抛物线上，设出点 B 的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；过点 C 作 CGBF 于点 G，可以证明AEO 和BGC 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CG=OE，BG=AE ，然后求出点 C 的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点 A、B 的抛物线解析式，把点 C 的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过
13、点 C，如果经过点 C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可解答： 解：（1）如图，过点 A 作 ADx 轴于点 D，矩形 AOBC 是正方形，AOC=45，AOD=9045=45，AOD 是等腰直角三角形，设点 A 的坐标为（a，a） （a0） ，则（a） 2=a，解得 a1=1，a 2=0（舍去） ，6点 A 的坐标a=1，故答案为：1；（2）过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，当 x= 时，y=（ ） 2= ，即 OE= ，AE= ，AOE+BOF=18090=90，AOE+EAO=90 ，EAO=BOF，又AEO=BFO=90，
14、AEO OFB， = = = ，设 OF=t，则 BF=2t，t 2=2t，解得：t 1=0（舍去） ，t 2=2，点 B（2，4） ；过点 C 作 CGBF 于点 G，AOE+EAO=90 ，FBO+CBG=90，AOE=FBO，EAO=CBG，在AEO 和 BGC 中， ，AEO BGC（AAS ） ，CG=OE= ， BG=AE= x c=2 = ， yc=4+ = ，点 C（ ， ） ，设过 A（ ， ） 、B（2，4）两点的抛物线解析式为 y=x 2+bx+c，由题意得，解得 ，经过 A、B 两点的抛物线解析式为 y=x 2+3x+2，7当 x= 时，y=（ ） 2+3 +2= ，所
15、以点 C 也在此抛物线上，故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为 y=x 2+3x+2=（x ） 2+ 平移方案：先将抛物线 y=x 2 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到抛物线y=（x ） 2+ 点评： 本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体
16、的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例 5 （2012青海）如图（*） ，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，AEF=90，且 EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（1）探究 1：小强看到图（*）后，很快发现 AE=EF，这需要证明 AE 和 EF 所在的两个三角形全等，但ABE 和ECF 显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形） ，考虑到点 E 是边 BC 的中点，因此可以选取 AB 的中点 M，连接 EM 后尝试着去证AEME
17、FC 就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图 1，取 AB 的中点 M，连接 EMAEF=90FEC+AEB=90又EAM+ AEB=90EAM= FEC点 E，M 分别为正方形的边 BC 和 AB 的中点AM=EC又可知BME 是等腰直角三角形AME=135又CF 是正方形外角的平分线ECF=1358AEMEFC（ASA ）AE=EF（2）探究 2：小强继续探索，如图 2，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC上的任意一点”，其余条件不变，发现 AE=EF 仍然成立，请你证明这一结论（3）探究 3：小强进一步还想试试，如图 3，若把条件“点 E 是边 BC
18、的中点”改为“点 E 是边 BC 延长线上的一点” ，其余条件仍不变，那么结论 AE=EF 是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质。810360 专题： 阅读型。分析： （2）在 AB 上截取 AM=EC，然后证明EAM=FEC ，AME=ECF=135 ，再利用“角边角”证明AEM 和EFC 全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；（3）延长 BA 到 M，使 AM=CE，然后证明BME=45 ，从而得到 BME= ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明DAE=BEA，然后得到MAE=CEF，再利用“角边角”证明MA
19、E 和CEF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证解答： （2）探究 2，证明：在 AB 上截取 AM=EC，连接 ME，由（1）知EAM=FEC，AM=EC，AB=BC ，BM=BE，BME=45，AME= ECF=135，AEF=90，FEC+AEB=90 ，又EAM+ AEB=90，EAM= FEC，在AEM 和EFC 中， ，AEMEFC（ASA ） ，9AE=EF；（3）探究 3：成立，证明：延长 BA 到 M，使 AM=CE，连接 ME，BM=BE，BME=45，BME=ECF，又ADBE，DAE=BEA，又MAD= AEF=90，DAE+MAD= BEA+ AEF，即MAE=
20、CEF，在MAE 和CEF 中， ，MAECEF（ASA ） ，AE=EF点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取 AM=EC，然后构造出AEM 与EFC 全等是解题的关键例 6 （2012 永州）如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx1（a0）的图象过点 A（2，0）和 B（4，3） ，l 为过点（0，2）且与 x 轴平行的直线， P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过 P 作 PHl，H 为垂足（1）求二次函数 y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使 y0 的对应的 x 的取值范围；（3）对应当 m=0，m=2 和 m=4
21、 时，分别计算|PO| 2 和|PH| 2 的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数 m，此结论成立；（4）试问是否存在实数 m 可使 POH 为正三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由10考点： 二次函数综合题。810360 专题： 压轴题。分析： （1）根据二次函数 y=ax2+bx1（a0）的图象过点 A（2，0）和 B（4，3） ，待定系数法求出 a 和 b 的值，抛物线的解析式即可求出；（2）令 y=ax2+bx1=0 ，解出 x 的值，进而求出使 y0 的对应的 x 的取值范围；（3）分别求出当 m=0，m=2 和 m=4 时，分别计算|PO| 2 和|P
22、H| 2 的值然后观察其规律，再进行证明；（4）由（3）知 OP=OH，只要 OH=OP 成立，POH 为正三角形，求出|OP|、|OH|含有 m和 n 的表达式，令两式相等，求出 m 和 n 的值解答： 解：（1）二次函数 y=ax2+bx1（a0）的图象过点 A（2，0）和 B（4，3） ， ，解得 a= ，b=0，二次函数的解析式为 y= x21，（2）令 y= x21=0 ，解得 x=2 或 x=2，由图象可知当2x2 时 y0，（3）当 m=0 时， |PO|2=1，|PH| 2=1；当 m=2 时，P 点的坐标为（2，0） ，|PO| 2=4，|PH| 2=4，当 m=4 时，P 点的坐标为（4，3） ，|PO| 2=25，|PH| 2=25，由此发现|PO| 2=|PH|2，设 P 点坐标为（m ，n） ，即 n= m21|OP|= ，|PH|2=n2+4n+4=n2+m2，故对于任意实数 m，|PO| 2=|PH|2；（4）由（3）知 OP=PH，只要 OH=OP 成立，POH 为正三角形，设 P 点坐标为（m ，n） ，|OP|= ，|OH|= ，|OP|=|OH|，即 n2=4，解得 n=2，当 n=2 时，n= m21 不符合条件，故 n=2，m=2 时可使POH 为正三角形
