1、泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人:邹敬宇课时 1 平面向量的概念课时目标:掌握平面向量的基本概念,并会运用知识梳理1.向量的有关概念名称 定义 备注向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律加法 求两个向量和的运算 (1)交换律:_(2)结合律:_减法 求两个向量差的运算数乘 求实数 与向量 a 的积的运算3.向量共线定理对于两个向量 a(a0),b,如果有一个实数 ,使_,那么 b 与 a 是共线向量;反之,如果 b 与 a(a0)是共线向量,那么有且只有一个实数 ,使_.基础自测:1.给出下列命题:零向量
2、的长度为零,方向是任意的; 若 a,b 都是单位向量,则 ab ; 向量 与AB 相等.则所有正确命题的序号是_.BA 2. D 是ABC 的边 AB 上的中点,则向量 _.CD 3.若 2(y a) (cb3y )b0,其中 a,b,c 为已知向量,则未知向量 y_.13 124.已知实数 m,n 和向量 a,b ,给出下列命题:m(a b)mamb;(m n)amana;若 mamb,则 ab;若 mana(a 0),则 mn.其中正确的命题是_.泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人:邹敬宇5.在ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 2 , ,则 _.AD DB CD 13CA C
3、B 典型例题:例 1 给出下列四个命题:若| a|b|,则 ab;若 A,B,C ,D 是不共线的四点,则 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件;AB DC 若 ab,bc,则 ac ;ab 的充要条件是|a|b |且 ab.其中正确命题的序号是_.小结:例 2 (1)在 ABC 中, c, b ,若点 D 满足 2 ,则 _.AB AC BD DC AD (2)设 D 为 ABC 所在平面内一点, 3 ,则 _.BC CD AD 小结:例 3 (1)如图所示,在 ABC 中,D 为 BC 边上的一点,且 BD2DC ,若 m nAC AB AD (m,nR),则 mn_.(2)在 AB
4、C 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 3 ,点 O 在线段 CD 上( 与点BC CD C,D 不重合) ,若 x (1x ) ,则 x 的取值范围是_.AO AB AC 小结:例 4 设两个非零向量 a 与 b 不共线.(1)若 ab, 2a8b, 3(ab),求证:A,B,D 三点共线;AB BC CD (2)试确定实数 k,使 kab 和 ak b 共线.泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人:邹敬宇小结:课堂训练:1.设 a0 为单位向量, 若 a 为平面内的某个向量,则 a|a| a0;若 a 与 a0 平行,则a| a|a0;若 a 与 a0 平行且 |a|1,则 aa 0.
5、上述命题中,假命题的个数是_.2.如图,一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB,AD 分别交于 E,F 两点,且交对角线AC 于点 K,其中, , , ,则 的值为_.AE 25AB AF 12AD AK AC 3.设两个向量 a 与 b 不共线.(1)试证:起点相同的三个向量 a,b,3a2b 的终点在同一条直线上(ab) ;(2)求实数 k,使得 kab 与 2akb 共线.课堂小结:布置作业:泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人:邹敬宇课时 2 平面向量基本定理及坐标表示课时目标:掌握平面向量基本定理及坐标表示,并会熟练运用知识梳理1.平面向量基本定理如果 e1,e 2 是同
6、一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,_ 一对实数 1, 2,使 a_.其中,不共线的向量 e1,e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组_.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设 a( x1,y 1),b(x 2,y 2),则ab_,ab_,a_ ,|a|_.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.设 A(x1,y 1),B (x2,y 2),则 _,| | _.AB AB 3.平面向量共线的坐标表示设向量 a( x1,y 1),b(x 2, y2) (a0),如果 ab,那么_ ;反过来,如果 x1y2x 2y10,那么_
7、.基础自测:1.如果 e1,e 2 是平面 内所有向量的一组基底, , 是实数,则下列说法中正确的有_.(填序号)若 , 满足 e1 e20,则 0;对于平面 内任意一个向量 a,使得 ae 1 e2 成立的实数 , 有无数对;线性组合 e1e 2 可以表示平面 内的所有向量;当 , 取不同的值时,向量 e1 e2 可能表示同一向量.2.给出下面几种说法:相等向量的坐标相同;泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人:邹敬宇平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;一个坐标对应于唯一的一个向量;平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是_.3.已知点 A(0,1),B(3
8、 ,2),向量 ( 4,3),则向量 _.AC BC 4.已知向量 a(2,3) ,b(1,2),若 manb 与 a2b 共线,则 _.mn5.已知ABCD 的顶点 A(1 , 2),B(3,1),C(5,6),则顶点 D 的坐标为_.典型例题:题型一 平面向量基本定理的应用例 1 (1)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点 F.若 a, b,则 _.AC BD AF (2) 如图,在ABC 中,BO 为边 AC 上的中线, 2 ,设 ,若 BG GO CD AG AD 15AB AC ( R),则 的值为_.小结:例
9、 2 (1)已知 a(5,2) ,b( 4,3),若 a2 b3 c0,则 c_.(2) 已知向量 a(1,2),b( m, 4),且 ab,则 2ab _.小结例 3 (1 )已知点 A(4,0) ,B(4,4),C(2,6),则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为_.泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人:邹敬宇(2)已知向量 a(1 sin,1),b ( ,1 sin) ,若 ab,则锐角 _.12小结:课堂训练:1.如图,在ABC 中, ,P 是 BN 上的一点,若 m ,则实数 m 的值为AN 13NC AP AB 211AC _.2.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示,
10、若 ca b(,R ),则 _.3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2) ,B( 1,2),C(3 ,1),且 2 ,则顶点 D 的BC AD 坐标为_.4.已知梯形 ABCD,其中 ABCD,且 DC2AB ,三个顶点 A(1,2),B(2,1) ,C (4,2),则点D 的坐标为_.5.设 ( 2, 4), (a , 2), (b , 0),a0,b0,O 为坐标原点,若 A,B,C 三OA OB OC 点共线,则 的最小值为_.1a 1b泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人:邹敬宇课堂小结:布置作业:课时 3 平面向量数量积课时目标:熟练掌握平面向量数量积,并能简单运用知识梳理
11、:1.向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b,作 a , b ,则 就是向量 a 与 b 的夹角,向OA OB 量夹角的范围是 .2.平面向量的数量积3.平面向量数量积的性质设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量, 为 a 与 b(或 e)的夹角 .则(1)eaae |a|cos . (2)ab_.(3)当 a 与 b 同向时, ab_;当 a 与 b 反向时,ab _.特别地,aa_或|a| _(4)cos _. (5)|ab|a|b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)_;(2)_;(3)(_5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a( x1,y 1),b(x 2, y2),则 a
12、b_,由此得到泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人:邹敬宇(1)若 a (x,y),则|a| 2_或|a|_(2)设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 A,B 两点间的距离 AB| |_AB (3)设两个非零向量 a,b,a( x1,y 1),b( x2,y 2),则 ab _(4)若 a, b 都是非零向量, 是 a 与 b 的夹角,则 cos _ab|a|b|基础自测:1.设 a,b,c 为平面向量,有下面几个命题:a(bc )abac;(ab)ca(bc );(a b)2|a| 22|a|b | b|2;若 ab0,则 a0,b0.其中正确的有_个.2.已知ABC 中,BC4
13、,AC8 ,C60,则 _.BC CA 3.已知向量 a(1, ),b(3,m).若向量 a,b 的夹角为 ,则实数 m_.364.已知向量 a(2,4) ,b(1,1),若向量 b(a b),则实数 的值是_.5.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,AE 与 BD 交于点M, AB ,AD1,且 ,则 _.2 MA MB 16 AB AD 典型例题:例 1 (1) 已知在ABCD 中,AD2 ,BAD 60.若 E 为 DC 的中点,且 1,AE BD 则 的值为_.BD BE (2) 已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 的值为DE CB
14、 _; 的最大值为 _.DE DC 例 2 (1) 在ABC 中,A 120,AB4.若点 D 在边 BC 上,且 2 ,AD ,则 ACBD DC 273泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人:邹敬宇的长为_.(2) 已知向量 a,b,c 满足 abc0 ,且 a 与 b 的夹角等于 150,b 与 c 的夹角等于120, |c|2,求| a|,|b|.例 3 (1) 已知向量 a,b 满足 a(4,3),|b| 1,| ab| ,则向量 a,b 的夹角为21_.(2) 若向量 a(k , 3),b (1, 4),c (2,1) ,已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角,则 k 的取值范围是_.
15、例 4 已知ABC 是锐角三角形,向量 m(cos( A ),sin(A ),n (cos B,sin B),且3 3mn.(1)求 AB 的值;(2)若 cos B ,AC8 ,求 BC 的长.35小结:课堂训练:1. 已知向量 , ,则ABC_.BA (12, 32) BC ( 32, 12)2. 在等腰梯形 ABCD 中,已知 ABDC,AB 2,BC1,ABC60.点 E 和 F 分别在线段BC 和 DC 上,且 , ,则 的值为_.BE 23BC DF 16DC AE AF 泰兴市第二高级中学高三数学组 编撰人:邹敬宇3.已知向量 ,| |3,则 _.OA AB OA OA OB 4
16、.在ABC 中,若 A120, 1 ,则| |的最小值是_.AB AC BC 5.在ABC 中,已知 C ,m(sin A, 1),n(1,cos B),且 m n.6(1)求 A 的值;(2)若点 D 在边 BC 上,且 3 ,AD ,求ABC 的面积.BD BC 13课堂小结:布置作业:课时 4 平面向量的综合运用课时目标:熟练掌握平面向量的知识,并能简单运用知识梳理:1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题 向量共线定理abab ,其中 a( x1,y 1),b(x 2,y 2),b 0垂直问题 数量积的运算性质abab0 ,其中 a( x1,y 1),b(x 2,y 2),且 a,b为非零向量