寿险精算习题及答案.docx

1、习题第一章人寿保险一、n年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。I、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出；II、根据93男女混合表，计算赔付支出。解：I表 41 死亡赔付现值计算表年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值（1） （2） （3）=1000*(2) （4） （5）=(3)*(4)1 1 1000 103.970.872 2 2000 21885.193 3 3000 .2745.434 4 4000 413553.955 5 5000 503.4313.04合计 - 15000

2、 - 13468.48根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：（元）48.136)0.53.140.3.1203.1( 5432 则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。解：II表 42 死亡赔付现值计算表年份 年内死亡人数 赔付支出 折现因子 赔付支出现值（1） （2） （3）=1000*(2) （4） （5）=(3)*(4)1 1000* =1.65040q1650 103.1601.942 1000* =1.809|11809 21705.163 1000* =1.98640|21986 3.11817.474 1000* =2.18140|3q

3、2181 403.11937.795 1000* =2.391| 2391 52062.50合计 - 10017 - 9124.86根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：（86.9124)03.03.103.103.103.1(10 54|4|4|24|42 qqqqq元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为， )()( 420341

4、02440|2340|124020|11|3:4 qpvvqqvqvAkk 5.193.86.5.8)65.6 32 （元）。927II、单位赔付现值期望的方差为， 04265.)()()( 21|3:40|2640|14021|3:4020|)1(1|3:401|3:402 AqvqvAqvAkkIII、趸缴纯保费为， （元）8.91|3:40【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。假设，计算趸缴纯保费。)105(xlx解：趸缴纯保费为， kkkqpA50290)1(1|03:58.其中， ，50klpkklqkk50150故， Akk8.11290)(1

5、|03:5（元）70.2468)0.1/(08.153二、终身寿险【例4.4】某人在40岁时投保了10000元终身寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为，（元）。1853.0.4|6540|2340|124064040|1 qvqvqvvAkkII、单位赔付现值期望的方差为，917.)()( 240640|)1(2402 AqvkkIII、趸缴纯保费为， （元）.8540三、n年定期生存寿险【例4.5】某人在40岁时投保了10000元20年定期生存寿险，死亡赔付在死亡年

6、年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为， （元）342.0201|2:4pvAII、单位赔付现值期望的方差为， 189.4qIII、趸缴纯保费为， （元）.101|02:4纯保费+风险附加费用= （元）365.)02.37.()( RzE四、n年定期两全保险【例4.6】某人在40岁时投保了10000元20年两全寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。根据93男女混合表计算：I、单位趸缴纯保费；II、单位赔付现值期望的方差；III、（总）趸缴纯保费；解：I、单位趸缴纯保费为， （元）39172

7、.01|2:41|02:4|02:4AII、单位赔付现值期望的方差为， 04261.)()()()( 211 zEzVarzVarIII、趸缴纯保费为， （元）3971|02:4六、延期寿险【例4.7】某人在40岁时投保了一份寿险保单，死亡年年末赔付，如果在40-60岁死亡，赔付50000元；65-75岁死亡，赔付100000元；在75岁后死亡，保险金为30000元。利用生命表93U、利率6%条件下的转换基数表计算该保单趸缴净保费。解、这份保单可以分解为一份50000元的25年定期寿险、一份100000元延期25年的10年定期寿险和一份30000元延期35年的终身寿险的组合，即， 407565

8、4075407564065 )(3)(1)(5)( DMDMDMzE （元）8.9.322.)781. 这份保单还可以分解为一份30000元终身寿险、一份200000元的35年定期寿险和一份50000元延期25年的10年定期寿险的组合，即， 40756540756407540 )()()(3)( DMDMDMzE 七、变额寿险【例4.8】利用计算基数表求下列保单在被保险人50岁签单时的1单位元趸缴纯保费和方差，死亡年度末给付，年利率6%，参照生命表（U,93,1000000）:I、终身寿险；II、20年定期寿险；III、20年定期两全保险；IV、延期10年终身寿险；V、延期10年的20年定期寿

9、险；VI、延期10年的20年定期两全保险。解、I、终身寿险： 29574.051.3729.045050 DMA 02864.519.3)(2.04-61/2 II、20年定期寿险： 8.9.34.05)/-179.(/)(507501|02:5 A 275|: DMDMD 04763.1.5)6.)/-.(-3.626.49)/-.3( 2III、20年定期两全保险： 5129.9.374.6)/9.0-17.4(/)(50705|02:5 A 25050|: DMDMD 01583.519.3)374.6)/619.-7.4(-3.62129.4)/6.13-.( 2IV、延期10年终身寿

10、险：18206.09.5331.6/50650|1 DMA 01376.19.5)(30.6/-7.14/ 22| V、延期10年的20年定期寿险： 7.9.580.2)/-931.6(/)(508601|02:5| A 0|:|1 DMDMD 0248.1.3).7)/-.(-7.21.)/-3.94(VI、延期10年的20年定期两全保险： 162.9.54.)/280.-931.6(/)(50806|02:5|1 A 20858|:| (/ DMDMD014.19.53)43.)/20.7-931.6-7.24.).-3.9( 2第三节 连续型（死亡即刻赔付）寿险趸缴纯保费【例4.9】已知

11、被保险人的寿命分布函数 ， ，假设 ，分)(xF.别求 和 。40AD解、 ， ，10)()(xFxS)(1)( txtxSt ， ，xtpxt)()( ptftxx0当 ， ， 。4061tfx 640t，31674.05.161 6.06004 ttt eedeA，25.221605.26020242 ttt ；6593.)(424AD【例4.10】(x)投保终身寿险，死亡即刻赔付1元。假设余命服从常数死亡率分布，利息力 。计算，I、 、 ；II、 9.0)(.trzP，求 ；06.0.xAxD9.0III、假设有100个(x)独立同分布的个体购买了该保险，每人世纪缴纳保费为 。xAR)1

12、(在正态分布条件下要使保费有95%的概率足够支付死亡赔偿，计算R。解、在常数死亡力下， ， ，则，uttxxt edsp)e(txI、 320)(00 tdeeA xxttxtxtx， ；210)2(2 tdexx 18)(22xxADII、 ，9.0ln)ln()()( .9.09.09. tPvtvPz rrtrtrt（余命）的密度函数 ，则，ttxtxeupf，9.0|)ln( .9.09.09.0 ln2lnlnln9.0 edtet tr解得， ；.9.0III、 ，根据题意，)(10),(1021 zVarzENzzag 95.0)()()(0 zrERPRPagragr )1,(

13、)(1NzVrEzag 50.69243/21896.1096.096.)(0 xxADRADR二、延期定额寿险【例4.11】(x)投保延期10年的终身寿险，保额为1单位元，保险金在死亡时即刻给付。已知利息力为 ，生存函数 ， 。求赔付现值 趸缴净保费、方06.xeS04.)()(tz差和中位数 。5.解， ，txtx eexSttf 04.04.)()()( 趸缴净保费： 0.14752.|4.0.0. 10.10.1004.6.|10 eedtedteA xtxxt 方差： 0.5472.|25.004.04. 6.1106.16.0100.2.2 eedtedteeA xtxxt 82)

14、(| xxD中位数 ：05.当事件 时，意味着被保险人一直处于延期范围，在这段时间会有一个累积死亡概率，tz也称为重点概率。在本例中延期范围 ，则，10m104.32968.)()0( dtetPzrtr也就是说有32.968%的死亡事件发生在延期范围内。由于0.329680.5，说明中位数不在重点概率上。则， 17.3286170.|17032.32968.0504. 04.1. redte rtr中位数=17.33。第五章 生存年金第一节 离散型年金1、终身生存年金 【例5.1】某人今年45岁，花费10000元购买了一份期末付终身生存年金产品，利率5%，根据93U生命表计算单位元精算现值的

15、期望和方差，并计算每年可领取的金额。解、 128.53.1064745DNa )()()( 245245245 DMiMd 607.1)106.37(189.0. 22 每年可领取金额 （元）.85/45a2、定期生存年金【例5.2】某人在40岁购买了一份20年定期生存年金产品，如果存活可在每年年初领取1000元的给付，利率6%，根据93U生命表计算精算现值。解、（元）8.129342.8705.3-1601010460|2:4 DNa3、延期终身生存年金【例5.3】对于（30）从60岁起每年年初6000元的终身生存年金，利率为6%，试用93U生命表求趸缴净保费。解、 38.1071703.8

16、656606060 3030630 DNaE4、延期定期生存年金【例5.4】某人在30岁时投保养老金保险，保险契约规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付10年年金，如果被保险人到70岁依然存活，则从70岁起获得生存年金。如果年金每年年初支付一次，每次支付6000元，利率6%，根据93U生命表计算趸缴净保费。解、趸缴净保费 )(60)(60 30|430|13|4030|1 aEapva 71986.2426.7.7.8)1(60307 DNdv45.2或者，趸缴净保费 45.120)1(60)(60 3607360|1| DNdvEa三、年付一次变额生存年金1、一般变额生存年金【例5.5】

17、某人30岁购买从60岁起支付的生存年金，契约规定：被保险人60-69岁每年付给6000元，70-79岁每年付给7000元，80岁后每年付给8000元。在预定利率6%条件下，根据93U表计算趸缴净保费。解、保费 |01:8350|01:7340|01:630 876 aEaEaE 8093070306030 DNDNDN（元）.145)816( 976 2、等额递增生存年金【例5.6】某人在50岁时购买了一份终身生存年金，给付从51岁开始每年一次，给付额第一年为5000元、第二年5500元、第三年6000元。计算这笔年金的精算现值。解、可以理解为一个每年支付4500元的3年期等额生存年金加上一个

18、每年递增500元的3年期等额递增生存年金，则，精算现值 （元）67.541/)504()504 011 DSNIa五、年付多次生存年金1、年付r次终身生存年金【例5.7】在例5.3中，若年金每月支付一次，求趸缴净保费。解、净保费简算法：（元）08.13572460)12(6060 3063030|)12(3| DNEaa净保费简算法： )1()1(/6060 /2)()()12(30| rrxrxr iirMdiAa （元）82.94035)6.().(70.439. 121221 【例5.8】某保单提供从60岁起每月500元的生存年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年年末获赔10000

19、元。如果利率6%，根据93U表计算精算现值。解、这张保单由定期寿险和延期终身生存年金构成，精算现值为，（元）3.10672460106010 30630)2(3|1|3: DNDMaA第六章 均衡净保费第一节 离散型均衡净保费一、全期缴纳的均衡净保费【例6.1】某人60岁购买了一份1000元的终身人寿保险，每年初缴付保费，终身缴付。已知利率6%，按93U表计算死亡年年末赔付的年缴均衡净保费。解、 （元）426.3073051.8961066 NMP2、定期寿险： |:|:1|: nxxnAa， nxnxNMaP|:|:【例6.2】某人40岁购买了3年期1000元定期寿险，保险金在死亡年年末赔付

20、，保险费每年初缴付保费，已知利率6%，按93U表分别计算2和3年内的缴均衡净保费。解、 709.16152.-914206.87831010430|3:4 NMP4895.2612395.7-14206.83510104203|2:4|31|:02 NMaAP【例6.3】张某今年30岁购买了生存年金，从60岁起每年年初获6000元生存年金，利率6%，如果保费在30和10年内均衡缴付，根据93U表分别计算年均衡净保费。解、张某30岁购买的是一份延期30年的终身生存年金，如果30内均衡缴付，则有， 3459.723051.8-2746.76060)( 603|:3|3|0 NaaP如果10内均衡缴

21、付，则有， 752.3914206.8-2743.576)( 036|01:3|30|1a【例6.4】某人在45岁时购买寿险，契约规定若在第一年内死亡，给付保险金8000元，以后多存活一年后死亡，保险金减少500元，保险金额减少到零时，合同终止。若保险金额在死亡年末付，保费5年内缴清。利率为4%，根据03M表计算年缴净保费。解、该人购买的是定期16年递减寿险，每年递减额为500元。均衡方程式为，1|6:45|5:4)(0DAaP 5.41952817.-30417.58632.096*5050462|5:4|1:5 NRM第二节 连续型均衡净保费【例6.5】设生存函数 ， ，试求40岁的人投保终身寿险的连续)(1xlx .型均衡净保费。解、 ， ，当 时，xtlpxtt 0xpfxtx10)( 40601)(tfx则有， 367.61)(060dtedtfvAt 所以， 2.4040aP第四节 一年多次缴的均衡净保费【例6.6】(25)投保35年期的定期寿险，保险金额为10000元，保费在每月月初缴纳，保险金在死亡年末付给，利率4%，根据93U表计算I、全期缴纳月保费；II、10年限期缴纳的月保费。