1、 1 / 1309 光信息量子力学习题集一、填空题1 设电子能量为 4 电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125 ） 。A2 索末菲的量子化条件为（ ） ，应用这量子化条件求得一维谐振nhpdq子的能级 （ ） 。nE3 德布罗意假说的正确性，在 1927 年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ）和（ ） 。Ekp4 三维空间自由粒子的归一化波函数为 =（ ） ， rprie2/3)(1（ ） 。drp )(p5 动量算符的归一化本征态 （ ） ，r rpie2/3)(（ ） 。rp)(* )(6 t=0 时体系的状态为 ，其中 为一维线性谐振子xx20,x
2、n的定态波函数，则 （ ） 。t titiee25)()(7 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度 =（ ） ，几率流密度 =（ wj） 。*2i8 设 描写粒子的状态， 是（ 粒子的几率密度 ） ，在 中 的)(r2)(r)(rF平均值为 =（ ） 。Fdx*9 波函数 和 是描写（ 同一 ）状态， 中的 称为（ 相因子 ） ，c iei不影响波函数 的归一化，因为（ ） 。ie 110 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为零）的状态。11 是定态的条件是（ ） ，)iexp()iexp(),( 2211 tEtEtx 21E这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时
3、间无关。12 （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。13 （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。14 3t=0 时体系的状态为 ，其中 为一维线性谐振xx30,xn子的定态波函数，则 （ ） 。ttitiee272)()(15 粒子处在 的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为（ ） ，ax0 2a2 / 13第一激发态的波函数为（ ） 。xa2sin16 基态是指（ 能量最低 ）的状态，写出一维线性谐振子的基态波函数：（ ） 。2/0xeN17 一维线性谐振子的第一激发态的能量为（ ） 、第一激发态的波函数23为（ ） 。2/1x18
4、 （ 对应于同一本征值的本征函数的数目 ）称为简并度，不考虑电子自旋时，氢原子的第 n 个能级的简并度为（ n2 ） 。19 一维无限深势阱第 n 个能级的简并度为（ 1 ） ，不考虑电子自旋时，氢原子的第 n 个能级的简并度为（ n2 ） 。20 一维线性谐振子第 n 个能级的简并度为（ 1 ） ，考虑电子自旋以后，氢原子的第 n 个能级的简并度为（ 2n2 ） 。21 氢原子的状态为 ，角动量平方是（ ） 、角动量 分量),()123YrR26z是（ ） 。22 厄密算符 的定义是：对于两任意函数 和 , 等式（ F ）成立。dxdx*)(23 力学量算符的本征值必为（ 实数 ） ，力学量
5、算符的属于两个不同本征值的本征态必（ 相互正交 ） 。24 力学量算符的属于（ 不同本征值 ）的本征函数必相互（ 正交 ） 。25 量子力学中，力学量算符都是（ 厄米 ）算符，力学量算符的本征函数组成（ 完全 ）系。26 算符在其自身表象中的矩阵为（ 对角 ）矩阵，例如在 表象中 =（ zz） 。1027 如果 =0，则 存在组成（ 完全 ）系的共同本征态，GF， ，的共同本征态是（ ） 。ZL2， ),(mlY28 如果 存在有组成（ 完全 ）系的共同本征态，则 =（ 0 ） ， ， GF，的共同本征态是（ ） 。2， ,l29 对易子 （ ） ， （ ） 。,xedxxyLzi30 （ ）
6、 ， （ ） ， （ ） 。,ypx0,xpi,yxzLi31 （ ） 。 （ ） ， （ 0 ） 。y xp32 能量与时间的测不准关系是（ ） ， 和 的测不准关系是（ tEx） 。42_2xp33 在一维情况下，若粒子处于状态 中，则在动量表象中的波函数为),(tx（ ） 。),(tCdetpxi),(3 / 1334 一维线性谐振子处在 的本征态 的迭加态 中，H)(xn)(54)(3)(2xx则在 表象中一维线性谐振子的波函数为 =（ （0，0，3/5，0，- 4/5，0,） ） 。35 斯特恩革拉赫证实电子具有（ 自旋 ）角动量，它在任何方向上投影只能取两个值（ ）和（ ） 。22
7、36 =（ ） ， =（ ） 。xyxziSi37 =（ 0 ） ， =（ 0 ） 。zL,38 在 表象中，粒子处在自旋态 中， =（ ） 。zs sincozs2cos39 在 表象中，粒子处在自旋态 中， =（ ） 。zixin40 在 表象中， ，则在状态 中， =（ ） 。zs012xs 12xs241 全同性原理的内容是：（ 在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变 ） 。42 泡里原理的内容是：（ 不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态 ） 。43 描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而电子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（反对称）的。
8、44 电子是（ 费密 ）子，服从（ 费密-狄拉克 ）统计，描写电子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数。45 描写玻色子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数，而玻色子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。46 描写费密子体系的波函数只能是（ 反对称 ）波函数，而费密子体系的自旋波函数则可以是（ 对称 ）或者（ 反对称 ）的。47 光子是（ 玻色 ）子，服从（ 玻色-爱因斯坦 ）统计，描写光子体系的波函数只能是（ 对称 ）波函数。二、计算、证明题1粒子在一维势场 中运动，试从薛定谔方程出发求出粒0,0)(xaxU子的定态能级和归一化波函数.解：当 )(,0ax当 .2,Ed
9、xEH令 得 2k0kcxossin)(1， 0,2kxcrsin)(14 / 13),321(,0sin,0)( nakxa2nEi)(1cadan2102一粒子在一维势场 中运动，试求粒子的能级和归一化定态bxxU21波函数（准确解） 。解：bxdxH221 2222)(1bxd令 则 b 221bxdEx)2(222 ,1bxd),(nE),10(),(2 nxHeNnxnn,21bn ),210(),(p)( 222 nbxHbn3一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为.,;00rrU试从薛定谔方程出发求粒子在 态中的能级和定态波函数（不必归一化） 。s 提示：在 态中 s)(122frd
10、f解：当 0)(,0rUr当 .22 ErdEEH令 得 2k0)()(2rkdrcrsino()21有限， 0,01rcsin)(2),31(,i,)( kr5 / 13,20rnE ),21(,sin)(02rcn4粒子在一维势场 中运动，试从薛定谔axUx,00当 当方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。解：1当 )(,0Uax当 .2, 0EdxEH令 得 20)(k2kkcxossin)(1， ,2xcrsin)(1),32(,0i,0 aa2UEni1xacdan105利用力学量算符 本征函数 的正交归一完全性，证明 F)(xn式中， 为 本征值。2*)(nxFF解：,nncd
11、x)(*dxcxnm)()(*= cnmnn*= m*2nc6求证：如果算符 和 有一组共同本征态 ，而且 组成完全系，则算符FGnn和 对易。FG解：设 任一波函数 可展开为 ,n,nnc= = . )()(cnF)( nc0)(07求证：力学量算符的属于两个不同本征值的本征态相互正交。解：设 当 时， . ,kkF,llklk代入 dxdxkl *)(6 / 13得 . 0)(*dxlkl. 0)(lkl8证明力学量算符的本征值必为实数。解：设 F在 中 dxFdx*)(令 得 *)(xx9证明：力学量在任意态中的平均值为实数。解：设 已归一化，则dxF*)(dxF* )(. dx10粒子
12、处在 的一维无限深势阱中的基态，设 t=0 时阱壁 突然运动a0 ax到 ，求此时粒子处于基态的几率。a2解： ),21()(,sin)( nxxn,20(,2i1)( aandxdxca sin)010*1 = 324cos2(0aa193c11设粒子的状态为 ，求粒子动量和动能的可能值及相kxAxcos21sin)(应的几率。解：221)( ikxiikxi eeAxikxikxkxikxi 4412227 / 13 ikxikxkxikxikxi eeeeeA 214214214214210由 得 ncA， （ ） ppppx 442)( 220 k动量的可能值为 ，对应几率为 , 81
13、,2动能的可能值为 ，对应几率为 2,02 ,12求证： .izyx证明：yzzyzyzyxi ,1),(21 2zzz )(zyzyzi 2122zzzii)1(13求证： = .yxL,解： = 3 分yxL, yzxzxyzxyx ppp = zzz ppyzyxx= xzzy= zyL,= zLi14求证： = , .xz,ixxed解： = z,xyxyzz ppL= xyp22= ix)(dedexxx)(,xxe8 / 13xxed,15求 的本征值和归一化本征态。iLz解：)()(zz )()(zLidzLice,210,)(,)2()meiz20 1d16在 表象中，(1)求
14、出 的本征值和本征态; (2)求在态 中测得zSxS sinco的几率。2x解：（1） 01xS2,01xxS对应的本征为： ， 2112（2） sincoa1a 2/)sin1(),sin(co2is2a17设 ， =1， 为 的本征态，对应的本征值为 。求证：MLK,K 也是 的本征态，并求出对应的本征值。u解： ， 11,uLL LL)()( 所以， 也是 的本征态，对应的本征值为（ ） uK 118一维线性谐振子处于基态 ，求该谐振子的动量处于21xex内的几率。 （提示： ）dp02dex解：9 / 13dxipdxcp 2ex21* = iep 221= 2p内的几率为 dpdpe
15、cp2219一维线性谐振子处于基态 ，求该谐振子在动量表象中的波函数。21xx（ 提示： ）202dxe解：dxippcp 2ex1)(* = ie22p1= 2= 21pe20. 在 表象中，(1)求出 的本征值和本征态; (2)求在态 中测得zx sinco的几率。1x解：（1） 0x1,10 2xx对应的本征为： ， 21（2） sincoa11a 2/)sin1(),sin(co2is2a10 / 1321设氢原子的状态为 ，求：,21013YrRc（1）能量， 的可能值和相应几率；zSL、（2）能量， 的平均值。、解：由 得， . 2c432. 101,1320132 cYrR能量有
16、两种可能值, , ,相应几率分别为 ;2428seE2438se43,1有两种可能值, , ,相应几率分别为 ; zLzL0z ,有两种可能值, , ,相应几率分别为 ; zS/zS/z ,= 4182seE32s24967sezLzS22设氢原子的状态为，),()23),() 1023 YrRYrRc求：（1）氢原子能量、角动量平方、角动量 分量的可能值和相应几率； z（2）氢原子能量、角动量平方、角动量 分量的平均值。解：由 得， . 1322c42c(1)能量有两种可能值, , 相应几率分别为 ; 238seE248se43,1有两种可能值, , ,相应几率分别为 ; 2L26L,有两种可能值, , ,相应几率分别为 ; z 0zz 4(2) = 4182seE32s2481se
