1、0 理论力学0第 11 章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打 “”、错误的打“”)1. 质点系对某固定点( 或固定轴) 的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴) 的矩。 ()2. 质点系所受外力对某点( 或轴) 之矩恒为零，则质点系对该点(或轴) 的动量矩不变。 ()3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。 ()4. 质点系对某点动量矩守恒， 则对过该点的任意轴也守恒。 ()5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于 刚体对该轴的转动惯 量与角加速度之积。 ()6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以 对质心轴的转动惯 量为最大。 ()7. 质点系对某点的动量矩定理 中的点“O”是
2、固定点或质点系的质心。e1d()nOiitLMF()8. 如图 11.23 所示，固结 在转盘上的均质杆 AB，对转轴 的转动惯量为 20AJmr，式中 为 AB 杆的质量。 ()213mlr9. 当选质点系速度瞬心 P 为 矩心时，动量矩定理一定有 的形式，而e1d()nPiitLMF不需附加任何条件。 ()10. 平面运动刚体所受外力 对质心的主矩等于零， 则刚体只能做平 动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的 转动。 ()A B l O r 图 11.23二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯 量与角速度的乘积。2. 质量为 m，绕 z 轴转动的回旋半
3、径 为 ，则刚体对 z 轴的转动惯量为 。 2mJz3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。4. 质点系的动量对某点的矩随 时间的变化规律只与系统 所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力 对该点之矩的矢量和等于零， 质点系的动量对 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对 x轴之矩的代数x和等于零。第 11 章 动量矩定理 116. 质点 质量为 ，在 平面内运动， 如图 11.24 所示。其运动方程为 ，MmOxy ktaxcos，其中 、 、 为常数。 则质点对原点 O 的动 量矩为 。ktbysinabk a
4、bkLO7. 如 图 11.25 所示，在铅垂平面内，均质杆 OA 可绕点 O自由转动，均质圆盘可绕点 A自由转动，杆 OA 由水平位置无初速释放，已知杆 长为 ，质量 为 ；圆盘半径为 ，质量为lmR。则当杆转动的角速度为 时，杆 OA对点 O 的动量矩 ；圆盘对点 O 的动量231l矩 ；圆盘对点 A 的 动量矩 。OL2l AL0 y xM O O A 图 11.24 图 11.258. 均质 T 形杆，OA = BA = AC = l，总质量为 m，绕 O 轴转动的角速度为 ，如图11.26 所示。则它对 O 轴的动量矩 。OL29. 半径为 R，质量为 m 的均 质圆盘, 在其上挖去
5、一个半径 为 r = R/2 的圆孔，如图11.27 所示。则圆盘对圆心 O 的转动惯量 。J231RA B l C O 2l R r O 图 11.26 图 11.2710. 半径同 为 R、重量同为 G 的两个均质定滑轮，一个轮上通过绳索悬一重量为 的重Q物，另一轮上用一等于 的力拉 绳索，如 图 11.28 所示。 则图 11.28(a)轮的角加速度 Q 1；图 11.28(b)轮的角加速度 。GQg)2(2RQgR O 2 Q(b) (a) R O 1 Q图 11.282 理论力学2三、选择题1. 均质杆 AB，质量为 m，两端用张紧的绳子系住，绕轴 O 转动，如图 11.29 所示。
6、 则杆 AB 对 O 轴的动量矩为 A 。(A) (B) (C) (D) 265ml 213l 234ml 21ml2. 均质圆环绕 z 轴转动，在环中的 A 点处放一小球，如图 11.30 所示。在微扰动下，小球离开 A 点运动。不计摩擦力， 则此系统运动过程中 B 。(A) 不变，系统对 z 轴的动量矩守恒(B) 改变，系统对 z 轴的动量矩守恒(C) 不变，系统对 z 轴的动量矩不守恒(D) 改变，系统对 z 轴的动量矩不守恒3. 跨过滑轮的轮绳，一端系一重物，另一端有一与重物重量相等的猴子，从静止开始以速度 向上爬，如图 11.31 所示。若不计绳子和滑轮的质量及摩擦， 则重物的速度
7、B 。v(A) 等于 ，方向向下 (B) 等于 ，方向向上v(C) 不等于 (D) 重物不动 A B l O l l r A z 图 11.29 图 11.304. 在 图 11.32 中，摆杆 OA 重量为 G，对 O 轴转动惯量 为 ，弹簧的刚性系数为 k，杆J在铅垂位置时弹簧无变形。则 杆微摆动微分方程为 D (设 )。sin(A) (B) GbkaJ2 bkaJ2(C) (D) r O vA a k O b C 图 11.31 图 11.325. 在图 11.33 中，一半径为 R。质量为 m 的圆轮，在下列情况下沿水平面作纯滚动：(1) 第 11 章 动量矩定理 33轮上作用一顺时针
8、的力偶矩为 M 的力偶；(2) 轮心作用一大小等于 的水平向右的力/MRF。若不计滚动摩擦，二种情况下 C 。(A) 轮心加速度相等，滑动摩擦力大小相等(B) 轮心加速度不相等，滑动摩擦力大小相等(C) 轮心加速度相等，滑 动摩擦力大小不相等(D) 轮心加速度不相等，滑 动 摩擦力大小不相等6. 如图 11.34 所示组合体由均质细长杆和均质圆盘组成，均质细长杆质量为 M1，长为L，均质圆盘质量为 M2，半径 为 R，则刚体对 O 轴的转动惯 量 为 A 。(A) 210 )(3LLJ(B) 22(C) 103RJ(D) 22MLR C F R C O L R C 图 11.33 图 11.3
9、4 四、 计算题11-1 各均质物体的质量均为 ，物体的尺寸及绕固定轴转动角速度方向如图 11.35 所m示。试求各物体对通过点 并与图面垂直的轴的动量矩。O (a) O A l O R C (c) (b) O R 图 11.35解：（a）杆 对 通过点 并与图面垂直的轴的动量矩为O4 理论力学4231mlJLO（b）圆盘对通过点 并与 图面垂直的轴的动量矩为2R（c）圆盘对通过点 并与图面垂直的轴的动量矩为O223)1(mJLO11-2 如图 11.36 所示，鼓轮的质量 ，半径 ，对转轴 O 的转动惯量180kgm05r.。现在鼓轮上作用力偶矩 来提升 质量 的物体 2853kgmOJ.
10、74NM.270kgA。试求物体 A 上升的加速度，绳索的拉力以及轴承 O 的反力。 绳索的质量和轴承的摩擦都忽略不计。解：（1）选整体为研究对象，受力分析如 图所示。 应用质点系动量矩定理，有grmrJO202)(解得鼓轮转动的角加速度为)/(21.35.73.85894220 sradrmgM物体 A 上升的加速度为)/(.02saA（2）要求绳索的拉力，可选物体 A 为研究对象，受力分析如图所示。 应用质点运动微分方程，有gmFT22解得绳索的拉力为)(62.8.078.90kNagFT （3）要求轴承 O 的反力，可选 鼓轮为研究对象，受力分析如图所示。应用质心运动定理，有，Ox1Ty
11、Fg解得 ，0F)(26.4 km O rR A (a) 0M O r A x y g1m 2 A g2m TF a 0 O x y 1 (b) (c) 图 11.36 图 11.37第 11 章 动量矩定理 5511-3 半径为 ，质量为 的均质圆盘与长为 、质量为 的均质杆铰接，如 图 11.37RmlM所示。杆以角速度 绕轴 O 转动， 圆盘以相对角速度 绕 点 A 转动，(1) ；(2)rr，试求系统对转轴 O 的动量矩。r解：系统对转轴 O 的动量矩是由杆 对转轴 O 的动量矩和圆盘对转轴 O 的动量矩两部分组成。杆对转轴 O 的动量矩为231lL圆（1）当 时，圆盘转动的绝对角速度
12、为rar圆盘对转轴 O 的动量矩为221mlRlmvRLAaO圆故系统对转轴 O 的动量矩为223lMl圆圆（2）当 时， 圆盘转动的绝对角速度为ra0r圆盘对转轴 O 的动量矩为221mlvmRLAaO圆故系统对转轴 O 的动量矩为231lMlO圆圆11-4 两小球 C、D 质量均为 ，用长为 的均质杆连接，杆的质量为 ，杆的中点固l2定在轴 AB 上，CD 与轴 AB 的夹角为 ，如图 11.38 所示。 轴以角速度 转动，试求系统对转轴 AB 的动量矩。解：杆 CD 对转轴 AB 的动量矩可表示为22sin31)sin(lxlMdLO圆球 C、D 对转轴 AB 的动量矩可表示为2imlL
13、DOC圆圆系统对转轴 AB 的动量矩为22sinsin31llLO圆圆圆11-5 小球 M 系于线 MOA 的一端，此 线穿过一铅垂管道，如图 11.39 所示。小球 M 绕轴沿半径 的水平运动 ，转速为 。今将 线 OA 慢慢拉下，则小球 M 在半CR20rin/径 的水平圆上运动， 试求该瞬时小球的转速。2解：选小球为研究对象，小球受有重力和 绳子拉力作用，受力分析如图所示。由于重力和绳子拉力对轴 的矩均等于零，即 ，可知小球 对 轴的动量矩保持守恒。即有x0)(Fxx6 理论力学62Rmv而 ， ，代入上式，有Rv242故 ，即小球 M 在半径 的水平圆上运动瞬 时小球的转速为4 2RC
14、min)/(80rn 2l A B O C D C R C A M 2 O gmTF x 图 11.38 图 11.3911-6 一直角曲架 ADB 能绕其铅垂边 AD 旋转，如 图 11.40 所示。在水平 边上有一质量为 的物体 C，开始时系统以角速度 绕轴 AD 转动，物体 C 距 D 点为 ，设曲架对 ADm0a轴的转动惯量为 ，求曲架转动 的角速度 与距离 之 间的关系。zJ r解：选整体为研究对象，受力分析如 图所示。从受力 图可以看出，系统所受的全部外力对轴 的矩等于零。系统对 轴的动量矩也保持不变，即z)()(202mrJaJzz解得曲架转动的角速度 与距离 之间的关系为DCr
15、02raz11-7 电动机制动用的闸轮 重为 W(可视为均质圆环)，以角速度 绕轴转动，如 图011.41 所示。已知闸块与闸轮间 的滑动摩擦系数为 f，闸轮的半径为 r，它 对 O 轴的转动惯量为 ，制 动时间为 ，设轴承中的摩擦不计。求 闸块给闸轮的正压力 。2OJmr0t NF解：选闸轮为研究对象，受力分析如 图（b）所示。我 们可以应用动量矩定理来计算闸块给闸轮的正压力 。先计算制动 后闸轮的角加速度，由运动 学可知NF0t可知制动后闸轮的角加速度为 0tt第 11 章 动量矩定理 77式中负号表明真实的角加速度的转向与图中假设的转向相反，即闸轮作减速转动。然后应用动量矩定理，有OdJ
16、Fr而 ，代入上式，可解得闸块给闸轮的正压力 为dNFf N0NWfgt WO r 0 NF A r 1mg B C z D E xF y xz y (a) (b) W O 0 NF d x y r 图 11.40 图 11.4111-8 如图 11.42 所示两轮的半径为 、 。质量分别为 、 。两轮用胶带连接，各1R21m2绕两平行的固定轴转动，若在第一轮上作用主动力矩 ，若在第二 轮上作用阻力矩 。视MM圆轮为均质圆盘，胶带与轮间 无滑动，胶带质量不计，试求第一 轮的角加速度。解：分别取两轮为研究对象，受力分析及运 动分析如图(b)所示。对两轮分别应用动量矩定理，有轮 1： 121)(R
17、FMJT轮 2： 22由于胶带与轮间无滑动，故有1联立求解以上三式，并将 ， ， ， 代入，可得轮211RmJ2J1TF2T1 的角加速度为图 11.42)a(M2R1RO)b(M2TFyO11TFxgm22gmxOFy18 理论力学8211)(2RmM11-9 如图 11.43 所示绞车，提升一重量 为 的重物，在其主动轴上作用一不变的力矩P。已知主动轴和从动轴的转动惯量分别为 、 ，传动比 ，吊索缠绕在从动轮上，M1J21zi从动轮半径为 ，轴承的摩擦力不计。 试求重物的加速度。R M 1O 2 P1O NF s x yF gm 1 P2O sF N gm x y a 图 11.43 解：
18、分别选主动轴、从动轮和重物 组成的系统为研究对象，受力分析和运动分析如图所示。对两轮分别应用动量矩定理，有主动轮： 11RFMJs主动轮： PgP22)(由运动学知21其中： ， ，联立求解以上三式，有sF 2112zRi)(212JigPRM重物的加速度为)(212Jiga11-10 如图 11.44 所示均质杆 长为 ，重 为 ， 端固结一重为 的小球(球的半径ABlPB2P不计)，杆的 与铅垂悬挂的弹簧相连以使杆保持水平位置。已知弹簧的刚度系数为 ，给D k小球以微小的初位移 ，然后自由释放，试求杆 的运动规 律。o解：选均质杆 和小球组成的系统为研究对象，受力分析如图所示。由 刚体定轴
19、转动微AB分方程，有3coss2)31( 212 lFlPllgPl 而 ，这里 为弹性在水平位置时的伸 长量。由题意知道：杆 处于)sin(lkF AB第 11 章 动量矩定理 99水平位置时系统处于平衡状态，由平衡条件可知 0231lPlk很容易求出lPlk213由于 较小，可令 ， ，故刚体定轴转动的微分方程可写为sin1cos02gP上微分方程的通解可写为tPgkBtkA)3(sin)3(cos 2121由初始条件 ， ，有lt00t，l0杆 的运动规律为ABtPgkl)3(cos21011-11 运送矿石的卷扬机鼓轮半径为 R，重为 W，在铅直平面内绕水平轴 O 转动，如图 11.45 所示。已知对 O 轴的转动惯量为 ，车与矿石的总重量为 W1，作用于鼓轮上的力OJ矩为 M，轨道的倾角为 。不计绳重及各处摩擦。求小 车上升的加速度及绳子的拉力。 A xF D k 3l B 1P y 2 M O 1W xF y NF a 1T NF a 图 11.44 图 11.45解：分别选整体和小车为研究对象，受力分析和运 动分析如 图所示。 对整体应用动量矩定理，有RWMRgJOsin)(121解得卷扬机鼓轮转动的角加速度为gJO21i小车上升的加速度为
