1、 1 一元二次方程 一、选择题 (本大题共 9 小题 ， 每小题 3 分 ， 共 27 分；在每小题列出的四个选项中 ， 只有一项符合题意 ) 1 下列方程是关于 x 的一元二次方程的是 ( ) A x2 1x2 0 B ax2 bx c 0 C (x 1)(x 2) 1 D 3x2 2xy 5y2 0 2 若关于 x 的方程 (m 3)xm2 7 3x 5 0 是一元二次方程 ， 则 m 的值为 ( ) A 3 B 3 C 3 D m 不等于 0 3 若一元二次方程 x2 px 2 0 的一个根为 2， 则 p 的值为 ( ) A 1 B 2 C 1 D 2 4 用配方法解一元二次方程 x2
2、 6x 10 0 时 ， 下列变形正确的是 ( ) A (x 3)2 1 B (x 3)2 1 C (x 3)2 19 D (x 3)2 19 5 用配方法解方程 x2 4x 10 的根为 ( ) A. x 2 10 B x 2 14 C x 2 10 D x 2 10 6 一元二次方程 x2 3x 4 0 的根是 ( ) A x1 1， x2 4 B x1 1， x2 4 C x1 1， x2 4 D x1 x2 4 7 方程 (x 5)(x 6) x 5 的根是 ( ) A x 5 B x 5 或 x 6 C x 7 D x 5 或 x 7 8 解方程 2x2 5 0； 9x2 12x 0
3、； x2 2x 3 0 时 ， 较简捷的方法分别是 ( ) A 直接开平方法 ， 公式法 ， 因式分解法 B 因式分解法 ， 公式法 ， 配方法 C 因式分解法 ， 公 式法 ， 因式分解法 D 直接开平方法 ， 因式分解法 ， 因式分解法 9 方程 x2 2x 4 0 的一个较小的根为 x1， 下面对 x1 的估计正确的是 ( ) A 3 x1 2 B 2 x1 32 C 32 x1 1 D 1 x1 0 二、填空题 (本大题共 4 小题 ， 每小题 4 分 ， 共 16 分 ) 10 已知关于 x 的一元二次方程的一个根为 1， 写出一个符合条件的方程：_ 11 方程 x2 3x 1 0
4、的根是 _ 2 12 方程 3(x 5)2 2(x 5)的根是 _ 13 若关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 5x m2 3m 2 0 的一个根是 0， 则 m 的值为_ 三、解答题 (本大题共 5 小题 ， 共 57 分 ) 14 (16 分 )用适当的方法解下列方程： (1)9(x 1)2 5； (2)(x 3)2 x2 9； (3)2x2 3x 1； (4)x2 6x 1. 3 15 (8分 )已知关于 x 的方程 (m 1)x2 5x m2 3m 2 0 的常数项为 0. (1)求 m 的值； (2)求方程的解 16 (9分 )先阅读 ， 再解答下列问题 已知 (a2 b2)4
5、 8(a2 b2)2 16 0， 求 a2 b2的值 错解：设 (a2 b2)2 m， 则原式可化为 m2 8m 16 0， 即 (m 4)2 0， 解得 m 4.由 (a2 b2)2 4， 得 a2 b2 2. (1)上述解答过程出错在哪里？为什么？ (2)请你用以上方法分解因式： (a b)2 14(a b) 49. 17.(10 分 )已知 a， b， c 是 ABC 的三条边长 ， 若 x 1 为关于 x 的一元二次方程 (cb)x2 2(b a)x (a b) 0 的根 (1) ABC 是等腰三角形吗？请写出你的结论并证明； (2)若关于 a 的代数式 a 2 2 a有意义 ， 且
6、b 为方程 y2 8y 15 0 的根 ， 求 ABC的周长 4 18 (14 分 )阅读材料： 解方程 (x2 1)2 5(x2 1) 4 0 时 ， 我们可以将 x2 1 视为一个整体 ， 然后设 x2 1 y，则 (x2 1)2 y2， 原方程化为 y2 5y 4 0. 解得 y1 1， y2 4. 当 y 1 时 ， x2 1 1， x2 2， x 2； 当 y 4 时 ， x2 1 4， x2 5， x 5. 原方程的解为 x1 2， x2 2， x3 5， x4 5. 解答问题： (1)填空：在由原方程得到 的过程中 ， 利用 _达到了降次的目的 ， 体现了化归的数学思想； (2)
7、解方程： x4 x2 6 0. 1 C 解析 选项 A不是整式方程；选项 B二次项系数有可能为 0；选项 D 含有两个未知数 2 C 解析 若关于 x 的方程 (m 3)xm2 7 3x 5 0 是一元二次方程 ， 则 m2 7 2，m 3 0，解得 m 3.故选 C. 3 C 4 D 解析 方程移项 ， 得 x2 6x 10， 配方 ， 得 x2 6x 9 19， 即 (x 3)2 19. 5 B 解析 x2 4x 10， x2 4x 4 10 4， (x 2)2 14， x 2 14. 6 A 解析 本题可以运用因式分解法来解 7 D 8 D 9 C 解析 原方程的解为 x 2 4 162
8、 1 ， 即 x 1 5， 原方程的两根为 x1 1 5， x2 1 5， 较小的根为 x1. 4 5 254 ， 2 5 52， 52 5 2， 32 1 5 1. 10 答案不唯一 ， 如 x2 1 11 x1 3 52 ， x2 3 52 解析 根据原方程可知 a 1， b 3， c 1， 利用一元二次方程的求根公式 x b b2 4ac2a 可得方程的根 12 x1 5， x2 173 解析 方程变形得 3(x 5)2 2(x 5) 0， 分解因式得 (x 5)3(x5) 2 0， 可得 x 5 0 或 3x 17 0， 解得 x1 5， x2 173 . 13 2 解析 把 x 0
9、代入 (m 1)x2 5x m2 3m 2 0 中 ， 得 m2 3m 2 0， 解得5 m 1 或 m 2. m 1 0， m 1， m 2. 14 解： (1)直接开平方 ， 得 3(x 1) 5， 解得 x1 3 53 ， x2 3 53 . (2)移项 ， 得 (x 3)2 x2 9 0， 将方程左边分解因式 ， 得 (x 3)(x 3 x 3) 0， x 3 0 或 2x 0， x1 3， x2 0. (3)移项 ， 得 2x2 3x 1 0， a 2， b 3， c 1， b2 4ac 9 4 2 ( 1) 170， x 3 174 ， x1 3 174 ， x2 3 174 .
10、(4)移项 ， 得 x2 6x 1， 配方 ， 得 x2 6x 9 10， 即 (x 3)2 10， 开平方 ， 得 x 3 10， x1 3 10， x2 3 10. 15 解： (1) 关于 x 的方程 (m 1)x2 5x m2 3m 2 0 的常数项为 0， m2 3m 2 0， 解得 m1 1， m2 2， m 的值为 1 或 2. (2)把 m 2， 代 入 (m 1)x2 5x m2 3m 2 0 中 ， 得 x2 5x 0， x(x 5) 0， 解得 x1 0， x2 5.同理 ， 当 m 1 时 ， 5x 0， 解得 x 0. 16 解： (1)错误是：设 (a2 b2)2
11、m， 应注意 m 0， 且 a2 b2 0.所以由 (m 4)2 0， 解得 m 4.由 (a2 b2)2 4， 得 a2 b2 2. (2)设 (a b) m， 则原式可化为 m2 14m 49， 即 (m 7)2. (a b)2 14(a b) 49 (a b 7)2. 17 解： (1) ABC是等腰三角形 ， 证明如下： x 1 是方程 (c b)x2 2(b a)x (a b) 0 的根 ， (c b) 2(b a) (a b) 0， c a. a， b， c 是 ABC的三条边长 ， ABC为等腰三角形 (2)依题意 ， 得 a 2 0，2 a 0， a 2， c a 2. 解方程 y2 8y 15 0， 得 y1 3， y2 5. b 为方程 y2 8y 15 0 的根 ， 且 b a c， b 的值为 3， ABC的周长为 2 2 3 7. 18 解： (1)换元法 (2)设 x2 y(y 0)， 则 x4 (x2)2 y2， 原方程化为 y2 y 6 0， 解得 y1 3， y2 2(不合题意 ， 舍去 ) 当 y 3， 即 x2 3 时 ， x 3， 原方程的根为 x1 3， x2 3.
