1、 3.1 空间向量及其运算 知识点 1 空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量 (2)单位向量： 模 为 1 的向量称为单位向量 (3)相等向量：方向 相同 且模 相等 的向量 (4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合 的向量 (5)共面向量： 平行于同一个平面 的向量 2.空间向量的加法、减法与数乘运算 向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则 向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量 1 1 2 2 3 1nn nO A O A A A A A A Au u ur u
2、u ur u u u ur u u u ur u u u u ur . 运算律： 加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c) 数乘分配律： (a b) a b. 3共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a， b(b 0)， a b 的充要条件是存在实数 ，使得 a b. 推论 ： 点 P 在 直线 AB 上的充要条件 是 ： 存在实数 ，使得 AP ABuuur uuur 或对空间任意一点 O,有 OP OA ABuuur uur uuur 或对空间任意一点 O，有 OP xOA yOBuuur uur uuur其中
3、x y 1 【推论推导过程： ( ) ( 1 )O P O A A B O A A O O B O A O B u uur u u r u uur u u r u u ur u uur u u r u uur】 (2)共面向量定理 如果两个向量 a， b 不共线 ，那么 p 与 a， b 共面的充要条件是存在唯一有序实数对 （ x,y） 使 p xa yb 推论 ： 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件 是 存在唯一有序实数对 （ x,y）使 AP xAB yACuuur uuur uuur， 或对空间任意一点 O，有 O P O A x A B y A C uuur uur uuur
4、 uuur 或对空间任意一点 O，有 O P xO A yO B zO C uuur uur uuur uuur， 其中 x y z 1 【推论推导过程： ( 1 )O P O A x A B y A C x y O A x O B y O C u uur u u r u uur u u ur u u r u uur u u ur】 (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a， b， c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组 x， y， z，使得 p xa yb zc 基底： 把 a， b， c叫做空间的一个基底 ，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 4 空间向量的数量积
5、及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 ： 已知两个非零向量 a， b，在空间任取一点 O，作 OA a， OB b，则 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 a， b，其范 围是 0 a， b ，若 a， b 2，则称 a 与 b 互相垂直 ，记作 a b. 两向量的数量积 ： 已知空间两个非零向量 a， b，向量 a， b 的数量积记作 ab， 且 ab |a|b|cos a， b (2)空间向量数量积的运算律 ： 结合律： (a)b (ab)； 交换律： ab ba； 分配律： a(b c) ab ac. 5 空间向量的坐标表示及应用 设 a (a1， a2， a3)， b
6、 (b1， b2， b3) (1)数量积的坐标运算 ： ab a1b1 a2b2 a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 ： a b a b a1 b1， a2 b2， a3 b3 ( R)， a b ab 0 a1b1 a2b2 a3b3 0(a， b 均为非零向量 ) (3)模、夹角和距离公式 ： |a| aa a21 a22 a23， cos a， b ab|a|b| a1b1 a2b2 a3b3a21 a22 a23 b21 b22 b23. 设 A(a1， b1， c1)， B(a2， b2， c2)，则 dAB |AB | a2 a12 b2 b12 c2 c12 . 6. 用空间
7、向量解决几何问题的一般步骤： (1)适当的选取基底 a， b， c； (2)用 a， b， c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题 题型一 空间向量的线性运算 用已知向量来表示未知向量，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中， 表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系 例 1： 三棱锥 O ABC 中， M， N 分别是 OA， BC 的中点， G 是 ABC 的重心，用基向量 OA ， OB ， OC 表示 MG ，OG . 解析： MG MA AG 12OA 23AN 12OA 23(ON OA ) 12OA 2312(OB OC )
8、OA 16OA 13OB 13OC . OG OM MG 12OA 16OA 13OB 13OC 13OA 13OB 13OC . 例 2： 如图所示， ABCD A1B1C1D1 中， ABCD 是平行四边形若 AE 12EC ， A1F 2FD ， 且 1= x + y + zEF AB AD AAuuur uuur uuur uuur,试求 x、 y、 z 的值 .解 连接 AF， EF EA AF . EA 13AC 13（ AB AD ） AF AD DF AD FD AD 13A1D AD 13（ A1A AD ） 12133AD AAuuur uuur EF EA AF 11 1
9、 13 3 3AD AA ABuuur uuur uuur题型二 共线定理应用 向量共线问题： 充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示 a 与 b，化简得出 a b，从而得出 a b，即a 与 b 共线 点共线问题 ：证明点共线问题可转化为证明向量共线问 题，如证明 A、 B、 C 三点共线，即证明 AB与 AC共线 例 3： 如图所示，四边形 ABCD， ABEF 都是平行四边形且不共面， M， N 分别是 AC， BF 的中点，判断 CE与 MN是否共线？ 1 1 1 1 1 1( ) ( )2 2 2 2 2 2CE CB B EM N M C CB B N A C CB B A
10、B E A C B A CB B E CB B E u u r u u r u u ru u u r u u u r u u r u u ur u u ur u u r u u r u u r u u ur u u r u u r u u r u u r u u r CE 2MN， CE MN，即 CE与 MN共线 例 4： 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 在 A1D1上，且 A1E 2ED1， F 在对角线 A1C 上，且 A1F 23FC. 求证： E， F， B 三点共线 证明： 设 AB a， AD b， AA1 c. A1E 2ED1=23AD 23b， A1
11、F 23FC 25A1C=25(AC AA1) 25(AB AD AA1) 25a 25b 25c E F A1F A1E 25a 415b 25c 25 a 23b c ， EB EA1 A1A AB 23b c a a 23b c， EF 25EB.所以 E， F， B 三点共线 题型 三 共 面 定理应用 点共面问题 ：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明 P、 A、 B、 C 四点共面，只要能证明 PA xPB yPC，或对空间任一点 O，有 OP OA xPB yPC或 OP xOA yOB zOC(x y z 1)即可 例 5： 已知 A、 B、 C 三点不共线，对于平
12、面 ABC 外一点 O，若 OP 25 OA 15OB 25OC，则点 P 是否与 A、 B、 C一定共面？试说明理由 解析： 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ( + ) ( + ) ( + ) = + + +5 5 3 5 5 3 5 5 3O P O A O B O C O P P A O P P B O P P C O P P A P B P C u u ur u u r u u ur u u ur u u ur u u r u u ur u u r u u ur u u ur u u ur u u r u u r u u ur AP 15AB 25AC， 故 A、 B、 C、 P
13、四点共面 . 例 6： 如图所示，已知 P是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，连结 PA、 PB、 PC、 PD，点 E、 F、 G、 H 分别为 PAB、 PBC、 PCD、 PDA 的重心，应用向量共面定理证明： E、 F、 G、 H 四点共面 证明：分别延长 PE、 PF、 PG、 PH 交对边于 M、 N、 Q、 R. E、 F、 G、 H 分别是所在三角形的重心， M、 N、 Q、 R 为所在边的中点 顺次连结 M、 N、 Q、 R，所得四 边形为平行四边形，且有 PE 23PM， PF 23PN， PG 23PQ， PH 23PR. EG PG PE 23PQ 23PM 23M
14、Q 23(MN MR) 23(PN PM) 23(PR PM) 23(32PF 32PE) 23(32PH 32PE) EF EH. 由共面向量定理得 E、 F、 G、 H 四点共面 . 例 7： 正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E， F 分别是 BB1 和 A1D1 的中点，求证向量 A1B， B1C， EF是共面向量 证明： 如图所示， EF EB BA1 A1F 12B1B A1B 12A1D1 12(B1B BC) A1B 12B1C A1B. 由向量共面的充要条件知 A1B， B1C， EF是共面向量 题型 四 空间向量数量积的应用 例 8： 如图所示，平行六面体 ABCD
15、 A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60. (1)求 AC1 的长； (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值 解析： (1)记 AB a， AD b， AA1 c，则 |a| |b| |c| 1， a， b b， c c， a 60， ab bc ca 12. |AC1 |2 (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca) 1 1 1 2 12 12 12 6， |AC1 | 6，即 AC1的长为 6. (2)BD1 b c a， AC a b， |BD1 | 2， |AC | 3， BD1 AC (b c a)(a b) b2 a2 ac
16、 bc 1. cos BD1 ， AC BD1 AC|BD1 |AC | 66 . AC与 BD1夹角的余弦值为 66 . 已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E、 F 分别是 BC、 AD 的中点，则 AEAF的值为 ( ) A a2 B. 12a2 C.14a2 D. 34 a2 解析： 设 AB a， AC b， AD c，则 |a| |b| |c| a，且 a， b， c 三向量两两夹角为 60. AE 12(a b)， AF 12c， AEAF 12(a b)12c 14(ac bc) 14(a2cos60 a2cos60) 14a2. 题型 五 空间向量坐
17、标运算 例 9： 如图所示， PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面， AB 2， E 为 PB的中点， cos DP ， AE 33 ，若以 DA，DC， DP 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为 ( ) A (1,1,1) B. 1， 1， 12 C. 1， 1， 32 D (1,1,2) 设 PD a (a0)，则 A(2,0,0)， B(2,2,0)， P(0,0， a)， E 1， 1， a2 ， DP (0,0， a)， AE 1， 1， a2 ， cos DP ， AE 33 ， a22 a 2a24 33 ， a 2. E的坐标为 (1,1
18、,1) 例 10： 已知 a (2， 1,3)， b ( 1,4， 2)， c (7,5， )若 a， b， c 三向量共面，则实数 =_ 解析： 由题意得 c ta b (2t ， t 4， 3t 2)， 7 2t ，5 t 4， 3t 2. t 337 ， 177 ， 657 .例 11： 已知 ABC 的顶点 A(1,1,1)， B(2,2,2)， C(3,2,4)，试求 ABC 的面积 AB (1,1,1)， AC (2,1,3)， |AB| 3， |AC| 14， ABAC 2 1 3 6， cosA cos AB， AC 63 14 642. sinA 1 3642 17. S A
19、BC 12|AB|AC|sinA 12 3 14 17 62 . 例 12： 已知 a ( 1,0,2)， b (6,2 1,2)，若 a b，则 与 的值可以是 ( ) A 2， 12 B 13， 12 C 3,2 D 2,2 解析 由题意知： 16 22，2 1 0，解得 2， 12 或 3， 12. 例 13： 已知空间中三点 A( 2,0,2)， B( 1,1,2)， C( 3,0,4)，设 a AB ， b AC .， 若 ka b 与 ka 2b 互相垂直，求实数 k 的值 方法一 ka b (k 1， k,2) ka 2b (k 2， k， 4)，且 ka b 与 ka 2b互相
20、垂直， (k 1， k,2)(k 2， k， 4) (k 1)(k 2) k2 8 0， k 2 或 52， 方法二 由 (2)知 |a| 2， |b| 5， ab 1， (ka b)(ka 2b) k2a2 kab 2b2 2k2 k 10 0，得 k 2 或 52. 例 14： 已知空间三点 A(0,2,3)， B( 2,1,6)， C(1， 1,5) (1)求以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积； (2)若 |a| 3，且 a 分别与 AB ， AC 垂直，求向量 a 的坐标 解 (1)cos AB ， AC AB AC|AB |AC | 2 3 614 14 714 12. si
21、n AB ， AC 32 ， 以 AB ， AC 为边的平行四边形的面积为 S 2 12|AB |AC |sin AB ， AC 14 32 7 3. （ 2） 设 a (x， y， z)，由题意得 x2 y2 z2 3 2x y 3z 0x 3y 2z 0，解得 x 1y 1z 1或 x 1y 1z 1， 例 15： 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E、 F 分别在 A1D、 AC 上，且 A1E 23A1D， AF 13AC，则 ( ) A EF 至 多与 A1D、 AC 之一垂直 B EF 与 A1D、 AC 都垂直 C EF 与 BD1 相交 D EF 与 BD1
22、 异面 解析 ： 设 AB 1，以 D为原点， DA 所在直线为 x轴， DC所在直线为 y轴， DD1所在直线为 z轴建立空间直角坐标系，则 A1(1,0,1)， D(0,0,0)， A(1,0,0)， C(0,1,0)， E 13， 0， 13 ， F 23， 13， 0 ， B(1,1,0)， D1(0,0,1)， A1D ( 1,0， 1)，AC ( 1,1,0)， EF 13， 13， 13 ， BD1 ( 1， 1， 1)， EF 13BD1 ， A1D EF AC EF 0，从而 EF BD1， EF A1D，EF AC. 例 16： 已知 O(0,0,0)， A(1,2,3)，
23、 B(2,1,2)， P(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QAQB取最小值时，点 Q 的坐标是 _ 解析： 设 OQ OP (， ， 2)，则 QA (1 ， 2 ， 3 2)， QB (2 ， 1 ， 2 2) QAQB (1 )(2 ) (2 )(1 ) (3 2)(2 2) 62 16 10 6( 43)2 23. 当 43时， QAQB取最小值为 23.此时， OQ (43， 43， 83)， 综合练习 一、 选择题 1、下列命题：其中 不正确 的所有命题的序号为 _ 若 A、 B、 C、 D 是空间任意四点，则有 AB BC CD DA 0； |a| |b| |a b
24、|是 a、 b 共线的充要条件； 若 a、 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行； 对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、 B、 C，若 OP xOA yOB zOC (x、 y、 z R)，则 P、 A、 B、 C 四点共面 设命题 p： a， b， c 是三个非零向量；命题 q： a， b， c为空间的一 个基底，则命题 p 是命题 q 的充要条件 解析：选，中四点恰好围成一封闭图形，正确；中当 a、 b 同向时，应有 |a| |b| |a b|；中 a、b 所在直线可能重合；中需满足 x y z 1，才有 P、 A、 B、 C 四点共面；只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底
25、，应改为必要不充分条件 2、有下列命题：其中真命题的个数是 ( ) 若 p xa yb，则 p 与 a， b 共面； 若 p 与 a， b 共面，则 p xa yb； 若 MP xMA yMB ，则 P， M， A、 B 共面； 若 P， M， A， B 共面，则 MP xMA yMB . A 1 B 2 C 3 D 4 解析 其中 为真命题 中，若 a， b 共线，则 pxa yb； 3、 已知 A(1,0,0)， B(0， 1,1)， OA OB与 OB的夹角为 120，则 的值为 ( ) A 66 B. 66 C 66 D 6 解析： OA OB (1， ， )， cos120 1 22
26、 2 12，得 66 .经检验 66 不合题意，舍去， 66 . 4、 如图所示，已知 PA 平面 ABC， ABC 120， PA AB BC 6，则 PC 等于 ( ) A 6 2 B 6 C 12 D 144 解析 PC 2 (PA AB BC )2=PA 2 AB 2 BC 2 2AB BC 36 36 36 2 36cos 60 144 |PC | 12 证明 设 AB a， AC b， AD c，则 BG BA AG BA 34AM a 14(a b c) 34a 14b 14c， BN BA AN BA 13(AC AD ) a 13b 13c 43BG . BN BG ，即 B
27、、 G、 N三点共线 5、 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a，点 M 在 AC1 上且 AM 12MC1 ， N 为 B1B 的中点，则 |MN |为 ( ) A. 216 a B. 66 a C. 156 a D. 153 a 解析 以 D为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则 A(a,0,0)， C1(0， a， a)， N a， a， a2 . 设 M(x， y， z) 点 M 在 AC1上且 AM 12MC1 ， (x a， y， z) 12( x， a y， a z) x 23a， y a3， z a3. M 2a3 ， a3， a3 ， |MN | a 2
28、3a 2 a a3 2 a2 a3 2 216 a. 6、 如图所示，已知空间四边形 OABC， OB OC，且 AOB AOC 3，则 cos OA ， BC 的值为 ( ) A 0 B. 12 C. 32 D. 22 解析 设 OA a， OB b， OC c，由已知条件 a， b a， c 3，且 |b| |c|， OA BC a(c b) ac ab 12|a|c| 12|a|b| 0， cos OA ， BC 0. 7、 如图所示，在平行六面 体 ABCD A1B1C1D1 中， M 为 A1C1 与 B1D1 的交点若 AB a， AD b， AA1 c，则下列向量中与 BM 相等
29、的向量是 ( ) A 12a 12b c B. 12a 12b c C 12a 12b c D.12a 12b c 解析 BM BB1 B1M AA1 12(AD AB ) c 12(b a) 12a 12b c. 8、 8、 平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，向量 AB ， AD ， AA1 两两的夹角均为 60 ，且 |AB | 1， |AD | 2， |AA1 | 3，则|AC1 |等于 ( ) A 5 B 6 C 4 D 8 设 AB a， AD b， AA1 c，则 AC1 a b c， AC1 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 25， |AC1 | 5. 9、
30、 在下列条件中，使 M 与 A、 B、 C 一定共面的是 ( ) A. OM 3OA 2OB OCB OM OA OB OC 0 C MA MB MC 0 D OM 14OB OA 12OC解析： C 中 MA MB MC.故 M、 A、 B、 C 四点共面 二、 填空题 10、 同 时垂直于 a (2,2,1)和 b (4,5,3)的单位向量是 _ 解析 设与 a (2,2,1)和 b (4,5,3)同时垂直 b 单位向量是 c (p， q， r)，则 p2 q2 r2 1，2p 2q r 0，4p 5q 3r 0，解得 p 13，q 23，r 23，或 p 13，q 23，r 23，所求
31、向量为 13， 23， 23 或 13， 23， 23 . 11 若向量 a (1， ， 2)， b (2， 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 89，则 _. 解析 由已知得 89 ab|a|b| 2 45 2 9， 8 5 2 3(6 )，解得 2 或 255. 12 在空间直角坐标系中，以点 A(4,1,9)、 B(10， 1,6)、 C(x,4,3)为顶点的 ABC是以 BC为斜边的等腰直角三角形，则实数 x 的值为 _ 解析 由题意知 AB AC 0， |AB | |AC |，可解得 x 2. 13 已知 a 3b 与 7a 5b 垂直，且 a 4b 与 7a 2b 垂直，则
32、a， b _. 解析 由条件知 (a 3b)(7a 5b) 7|a|2 16ab 15|b|2 0，及 (a 4b)(7a 2b) 7|a|2 8|b|2 30ab 0. 两式相减，得 46ab 23|b|2， ab 12|b|2. 代入上面两个式子中的任意一个，即可得到 |a| |b|. cos a， b ab|a|b|12|b|2|b|2 12. a， b 60. 14. 如图所示，已知二面角 l 的平面角为 0，2 ， AB BC， BC CD， AB 在平面 内， BC 在 l 上，CD 在平面 内，若 AB BC CD 1，则 AD 的长为 _ 解析 :AD 2 (AB BC CD
33、)2=AB 2 BC 2 CD 2 2AB CD 2AB BC 2BC CD 1 1 1 2cos( ) 3 2cos . 15 已知 a (1 t,1 t， t)， b (2， t， t)，则 |b a|的最小值为 _ 解析 b a (1 t,2t 1,0)， |b a| 1 t2 2t 12 5 t 15 2 95， 当 t 15时， |b a|取得最小值 3 55 . 三、 解答题 16、 如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， P 是 CA1 的中点， M 是 CD1 的中点， N 是C1D1 的中点，点 Q 在 CA1 上，且 CQ QA1 4 1
34、，设 AB a， AD b， AA1 c，用基底 a， b， c表示以下向量：(1)AP ； (2)AM ； (3)AN ； (4)AQ . (1)AP 12(AC AA1 ) 12(AB AD AA1 ) 12(a b c) (2)AM 12(AC AD1 ) 12(AB 2AD AA1 ) 12(a 2b c) (3)AN 12(AC1 AD1 ) 12(AB AD AA1 ) (AD AA1 ) 12(AB 2AD 2AA1 ) 12(a 2b 2c) 12a b c. (4)AQ AC CQ AC 45(AA1 AC ) 15AC 45AA1 15AB 15AD 45AA1 15a 1
35、5b 45c 17、 如图，已知 M、 N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心，且 G 为 AM 上一点，且 GM GA 1 3.求证： B、 G、 N 三点共线 18 (13 分 )直三棱柱 ABC A B C 中， AC BC AA ， ACB 90， D、 E 分别为 AB、 BB 的中点 (1)求证： CE A D； (2)求异面直线 CE 与 AC 所成角的余弦值 (1)证明：设 CA a， CB b， CC c，根据题意， |a| |b| |c|且 ab bc ca 0. CE b 12c， A D c 12b 12a. CE A D 12c2 12b2 0， CE AD ，即 CE AD. (2)AC a c， |AC | 2|a|， |CE | 52 |a |.AC CE ( a c) b 12c 12c2 12|a|2， cos AC ， CE 12|a|22 52 |a|2 1010 .即异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为 1010 .
