1、 第 1章 一元二次方程 一、选择题 (每小题 3 分 ， 共 21 分 ) 1 下列方程是一元二次方程的是 ( ) A 3x 1 0 B 5x2 6y 3 0 C ax2 x 2 0 D 3x2 2x 1 0 2 一元二次方程 x2 6x 6 0 配方后化为 ( ) A (x 3)2 15 B (x 3)2 3 C (x 3)2 15 D (x 3)2 3 3 已知关于 x 的方程 x2 x a 0 的一个根为 2， 则另一个根是 ( ) A 3 B 2 C 3 D 6 4 一元二次方程 3x2 1 2x 5 的两实数根的和与积分别是 ( ) A.32， 2 B. 23， 2 C 23， 2
2、 D 32， 2 5 关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 2x 1 0 有两个实数根 ， 则实数 m 的取值范围是( ) A m 0 B m 0 C m 0 且 m 1 D m 0 且 m 1 6 某公司今年销售一种产品 ， 一月份获得利润 10 万元 ， 由于产品畅销 ， 利润逐月增加 ，第一季度共获利 36.4 万元 已知 2 月份和 3 月份利润的月增长率相同 设 2， 3 月份利润的月增长率为 x， 那么 x 满足的方程为 ( ) A 10(1 x)2 36.4 B 10 10(1 x)2 36.4 C 10 10(1 x) 10(1 2x) 36.4 D 10 10(1 x)
3、10(1 x)2 36.4 7 我们知道方程 x2 2x 3 0 的解是 x1 1， x2 3， 现给出另一个方程 (2x 3)2 2(2x 3) 3 0， 则它的解是 ( ) A x1 1， x2 3 B x1 1， x2 3 C x1 1， x2 3 D x1 1， x2 3 二、填空题 (每小题 4 分 ， 共 28 分 ) 8 方程 5x2 6x 8 化成一般形式后 ， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是 _ 9 若 x2 4x 5 (x 2)2 m， 则 m _ 10 已知 x 1 是关于 x 的方程 2x2 ax a2 0 的一个根 ， 则 a _ 11 设一元二次方程 x2 3
4、x 1 0 的两根分别为 x1， x2， 则 x1 x2(x22 3x2) _ 12 用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2的矩形 设矩形的 一边长为 x cm， 则可列方程为 _ 13 已知等腰三角形的一边长为 9， 另一边长为方程 x2 8x 15 0 的根 ， 则该等腰三角形的周长为 _ 14 现定义运算 “” ：对于任意实数 a， b， 都有 a b a2 3a b， 如 3 5 32 3 3 5.若 x 2 6， 则实数 x 的值是 _ 三、解答题 (共 51 分 ) 15 (16 分 )解下列方程： (1)x2 3x 2 0； (2)x2 10x 9 0； (3)
5、(2x 1)2 x(3x 2) 7； (4)(x 3)2 4x(x 3) 0. 16 (8 分 )已知 y1 x2 2x 3， y2 3x k. (1)当 k 1 时 ， 求出使等式 y1 y2成立的实数 x的值； (2)若关于 x 的方程 y1 k y2有实数根 ， 求 k 的取值范围 17 (8 分 )关于 x 的一元二次方程 x2 (k 3)x 2k 2 0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于 1， 求 k 的取值范围 18 (8 分 )为了经济发展的需要 ， 某市 2015 年投入科研经 费 500 万元 ， 2017 年投入科研经费 720 万元 (1)求
6、2015 年至 2017 年该市投入科研经费的年平均增长率； (2)根据目前经济发展的实际情况 ， 该市计划 2018 年投入的科研经费比 2017 年有所增加 ，但年增长率不超过 15%.假定该市计划 2018 年投入的科研经费为 a 万元 ， 请求出 a 的取值范围 19 (11 分 )已知关于 x 的一元二次方程 (a c)x2 2bx (a c) 0， 其中 a， b， c 分别为 ABC三边的长 (1)如果 x 1 是方程的根 ， 试判断 ABC的形状 ， 并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根 ， 试判断 ABC的形状 ， 并说明理由； (3)如果 ABC是等边三角形 ，
7、试求这个一元二次方程的根 1 D 2.A 3.A 4.B 5 C ， 6 D 7 D . 8 5， 6， 8 9.1 10 2 或 1 11 3 12 x(20 x) 64 13 19 或 21 或 2314 1 或 4 15 解： (1) a 1， b 3， c 2， b2 4ac 32 4 1 ( 2) 17， x 3 172 ， 即 x1 3 172 ， x2 3 172 . (2)因式分解 ， 得 (x 9)(x 1) 0， x 9 0 或 x 1 0， x1 9， x2 1. (3) (2x 1)2 x(3x 2) 7， 4x2 4x 1 3x2 2x 7， x2 6x 8， (x
8、3)2 1， x 3 1， x1 2， x2 4. (4)原式可化为 (x 3)(x 3 4x) 0， 即 (x 3)(5x 3) 0， x 3 0 或 5x 3 0， 解得 x1 3， x2 35. 16 解： (1)当 k 1 时 ， y2 3x 1. 根据题意 ， 得 x2 2x 3 3x 1， 解得 x1 1， x2 4. (2)由题意 ， 得 x2 2x 3 k 3x k， 则 x2 5x 3 2k 0 有实数根 ， b2 4ac ( 5)2 4(3 2k) 0， 解得 k 138 . 17 解： (1)证明： (k 3)2 4(2k 2) (k 1)2. (k 1)2 0， 方程总
9、有两个实数根 (2)由求根公式 ， 得 x （ k 3） （ k 1）2 ， x1 2， x2 k 1. 方程有一个 根小于 1， k 1 1， k 0. 18 解： (1)设 2015 年至 2017 年该市投入科研经费的年平均增长率为 x. 根据题意 ， 得 500(1 x)2 720， 解得 x1 0.2 20%， x2 2.2(不符合题意 ， 舍去 ) 答： 2015 年至 2017 年该市投入科研经费的年平均增长率为 20%. (2)根据题意 ， 得a 720720 100% 15%，a 720，解得 720 a 828. 故 a 的取值范围为 720 a 828. 19 全品导学号： 54602062解： (1) ABC是等腰三角形 理由： x 1 是方程的根 ， (a c) ( 1)2 2b (a c) 0， a c 2b a c 0， 则 a b 0， a b， ABC是等腰三角形 (2) ABC是直角三角形 理由： 方程有两个相等的实数根 ， (2b)2 4(a c)(a c) 0， 4b2 4a2 4c2 0， a2 b2 c2， ABC是直角三角形 (3) ABC是等边三角形 ， (a c)x2 2bx (a c) 0 可变形为 2ax2 2ax 0. a 0， x2 x 0， 解得 x1 0， x2 1
