高等数学公式汇总.doc

1、 第 1 页 共 20 页 高等数学 公式 汇 总 第一章 一元函数的 极限与连续 1、一些初等函数 公式 ： si n( ) si n c os c os si nc os( ) c os c os si n si nt a n t a nt a n( )1 t a n t a nc ot c ot 1c ot( )c ot c ot()()sh sh c h c h shc h c h c h sh sh 和 差 角 公 式 ：sin sin 2 sin c os22sin sin 2 c os sin22c os c os 2 c os c os22c os c os 2 sin sin

2、22 和 差 化 积 公 式 ：1sin c o s sin ( ) sin ( ) 21c o s sin sin ( ) sin ( ) 21c o s c o s c o s( ) c o s( ) 21sin sin c o s( ) c o s( ) 2 积 化 和 差 公 式 ：22 2 22222 2 2si n 2 2 si n c osc os 2 2 c os 11 2 si n c os si n2 ta nta n 21 ta nc ot 1c ot 22 c ot222 1 22 1sh sh c hc h shc h c h sh 倍 角 公 式 ：第 2 页 共

3、20 页 2 2 2 22 2 2 2sin c o s 1 ; ta n 1 se c ;c o t 1 c sc ; 11 c o ssin221 c o sc o s221 c o s 1 c o s sinta n2 1 c o s sin 1 c o s1 c o s 1 c o s sinc o t2 1 c o s sin 1 c o sxxx x c h x sh x 半 角 公 式 ：22: : l n ( 12: : l n ( 1 )211: : l n21xxxxxxxxeesh x a rs h x x xeec h x a rc h x x xsh x e e xt

4、h x a rt h xc h x e e x 双 曲 正 弦 ； 反 双 曲 正 弦 ）双 曲 余 弦 ； 反 双 曲 余 弦双 曲 正 切 ； 反 双 曲 正 切3 3 2 2( ) ( ) ( )a b a b a a b b ， 2 2 2 ( 1 ) ( 2 1 )12 6n n nn 223 3 3 ( 1 )12 4nnn 2、极限 常用极限： 1, lim 0nnqq; 1, lim 1nnaa;lim 1nn n l n ( 1 ( ) )l i m l n ( 1 ( ) ) ( )( ) l i m ( ) ( ) 1 / ( )( ) 0 , ( ) , l im 1

5、( ) fx f x f xg x f x g xgxf x g x f x e e 若 则 两个重要极限 100s i n s i n 1l i m 1 , l i m 0 ; l i m ( 1 ) l i m ( 1 )x xx x x xxx exx x x :常 用 等 价 无 穷 小 2111 c o s ; sin a r c sin a r c ta n ; 1 1 ;21 l n ; 1 ; ( 1 ) 1 ; l n ( 1 ) nx x ax x x x x x x xna x a e x x a x x x 3、连续： 第 3 页 共 20 页 定 义：0 00li m

6、 0 ; li m ( ) ( ) x x xy f x f x 00 00l im ( ) l im ( ) ( ) ( )x x x xf x f x f x f x 极 限 存 在 或 第二章 导数与微分 1、 基本导数公式： 00 0 00 000( ) ( ) ( ) ( )( ) l im l im l im ta nx x x xf x x f x f x f xyfx x x x x _ 0 + 0( ) ( )f x f x导 数 存 在 1 2 2220 ; ( ) ; ( sin ) c o s ; ( c o s ) sin ; ( ta n ) se c ; ( c

7、o t ) c sc ;( se c ) se c ta n ; ( c sc ) c sc ; ( ) l n ; ( ) ;1 1 1 1( l o g ) ; ( l n ) ; ( a r c sin ) ; ( a r c c o s ) ;ln 11aax x x xaC x a x x x x x x x x xx x x x x c tg x a a a e ex x x xx a x xx 2222 2211( a r c ta n ) ; ( c o t ) ; ( ) ; ( ) ;111 1 1 1( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )111x a rc x sh

8、x h x c h x sh xxxth x a rs h x a rc h x a rth xc h x xxx 2、高阶导数： ( ) ( ) ( ) ( )!( ) ( ) ! ; ( ) l n ( )( ) !n k n k n n x n x n x n xnx x x n a a a e enk ( ) ( ) ( )1 1 11 ( 1 ) ! 1 ( 1 ) ! 1 !( ) ; ( ) ; ( )( ) ( )nnn n nn n nn n nx x x a x a a x a x ( ) ( )( s i n ) s i n ( ) ; ( c o s ) c o s (

9、 ) ;22n n n nk x k k x n k x k k x n ( ) 1 ( ) ( 1 ) 1( 1 ) ! 1 ( 1 ) ! l n ( ) ( 1 ) l n ( ) ( ) ( 1 )()n n n n nnnnna x xa x x x 牛顿 -莱布尼兹公式： ( ) ( ) ( )0( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( )()( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 ! !nn k n k knkn n n n k k nuv C u vn n n n n ku v nu v u v u v uvk 3、微分： 第 4 页 共 20 页 0( ) ( ) (

10、 ) ; = ( ) ( ) ;y f x x f x d y o x d y f x x f x d x 连 续 极 限 存 在 收 敛 有 界 ; = 可 微 可 导 左 导 右 导 连 续 ；不 连 续 不 可 导 第三章 微分中值 定理与微分的应用 1、 基本定理 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( , )( ) ( ) ( ) , ( , )( ) ( ) ( )F ( )f b f a f b a a bf b f a f abF b F a Fxx 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：柯 西 中 值 定 理 ：当 时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是 拉 格 朗 日 中 值

11、定 理 。2、 ()2000 0 0 0 00( 1 )( 1 )011 0000( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ! !( ( ) ): ( ) ; ( ( , ) , ( 0 , 1 ) )( ( ) )()( ) ( )( 1 ) ! ( 1 ) !nnnnnnn nnf x f xf x f x f x x x x x x x R xno x xR x x xf x x xfx x x xnn 泰 勒 公 式余 项( ) ( 1 )21(0 ) (0 ) ( ): ( ) (0 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) ; ( (0 , 1 ) )

12、2 ! ! ( 1 ) !nn nnf f f xf x f f x x x x 麦 克 劳 林 公 式 常用初等函数的展式： 2 11 ( ) ; ( ) ; ( (0 , 1 ) )2 ! ! ( 1 ) !nxxnnnx x ee x R x R x xnn 3 5 2 11 2 122s i n ( 2 1 ) 2s i n ( 1 ) ( ) ; ( ) ; ( (0 , 1 ) )3 ! 5! ( 2 1 ) ! ( 2 1 ) !mmmmmxmx x xx x R x R x xmm 2 4 2 222 1 2 1 c o s ( 1 ) c o s 1 ( 1 ) ( ) ;

13、( ) ; ( (0 , 1 ) )2 ! 4 ! ( 2 ) ! ( 2 2 ) !mmmx x x x mx R x R x xmm 第 5 页 共 20 页 2 4 1111011l n ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ; 2 ! 3 ! 1( 1 )( ) ; ( ( 0 , 1 ) )( 1 ) ( 1 )n n nn n nnnnnnn nx x x x xx x R xn n nR x xnx 211( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1 ( ) ; 2 ! !( 1 ) ( )( ) ( 1 ) ; ( ( 0 , 1 ) )( 1 ) !nn

14、nnnnx x x x R xnnR x x xn 201 l n ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )1 n n nnx x x x xx 3、 2 2 2 2323022 21 ( ) ( ).( : M M s( ) ( ) ( ) ( )M l im = .( 1 ) ( ) ( ) 10 ; .sd s y d x x t y t d t dK M Msy t t t tdKs d s yttK R KR 弧 微 分 公 式 ：平 均 曲 率 ： 从 点 到 点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变 化 量 ； : 弧 长 )点 的 曲 率 ：直 线 的 曲 率 ： 半 径 为 的

15、圆 的 曲 率 ：23( 1 )1= yMKy 曲 线 在 点 处 的 曲 率 半 径 :第四章 不定积分 1、 常用不定积分公式： ( ) ( ) ; ( ( ) ) ( ) ; ( ) ( )f x dx F x C f x dx f x F x dx F x C 1 1( 1 ) ; l n ;1; ;lnxx x xxx dx C dx x Cxaa dx C e dx e Ca 第 6 页 共 20 页 2222sin c os ; c os sin ;ta n l n c os ; c ot l n sin ;se c l n se c ta n ; c sc l n c sc c

16、 ot l n ta n l n c sc c ot ;2se c ta n ; c sc c ot ;c os sinse c tx dx x C x dx x Cx dx x C x dx x Cx dx x x Cxx dx x x C C x x Cdx dxx dx x C x dx x Cxxx a n se c ; c sc c ot c sc ; ;x dx x C x x dx x Cshx dx c hx C c hx dx shx C 2 2 22 2 22 2 2 22222a r c sin a r c c os ; a r c sin ;11a r c ta n a

17、 r c c ot ; a r c ta n ; 111l n ; l n ;22l n( ) ; dx dx xx C x C Cax a xdx dx xx C x C Cx a x a adx x a dx a xCCx a a x a a x a a xdxx x a Cxa 22 2 2 2 2 222 2 2 2l n( ) ;22a r c sin22xax a dx x a x x a Cx a xa x dx a x Ca 2、常用 凑微分 公式： 222212 ; ( ) ; ( l n ) ;11( 1 ) ; ( 1 ) ( )1( l n ta n ) ;c o s

18、sind x d x d xd x d d xx x xxx d x d x d x d xxxxdx dxxx 3、有特殊技巧的积分 2211( 1 ) s in c o s s in ( )dx dxa x b x xab s i n c o s( 2 ) l n s i n c o ss i n c o sc x d x d x A x B a x b x Ca x b x 24 1(3) 1x dxx 2211()1( ) ( 2 ) dx xx x第 7 页 共 20 页 第五章 定积分 1、基本概念 00111( ) l im ( ) l im ( ) ( ) ( ) ( ) ,

19、( ( ) ( ) )nnb bi i aa niiif x d x f x f F b F a F x F x f xnn 连 续 可 积 ; 有 界 + 有 限 个 间 断 点 可 积 ;可 积 有 界 ; 连 续 原 函 数 存 在 ( ) ( ) ( ) ( )xax f t d t x f x ()() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxd f t d t f x x f x xdx ( ) ( ( ) ) ( )ab f x d x f t t d t ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aabbu x d v x u x v x v x d u x 2、常用

20、定积分公式： 0( ) ( ) ( ) aaa f x d x f x f x d x ； 0( ) , ( ) 2 ( )aaaf x f x d x f x d x 为 偶 函 数； ( ) , ( ) 0aaf x f x d 为 奇 函 数2200( s i n ) ( c o s )f x d x f x d x； 2 2 20 0 0( s i n ) ( s i n ) ( s i n )2x f x d x f x d x f x d x TTT 2T0 2( ) ( ) ( )aa f x d x f x d x f x d x ； TT0( ) ( )ana f x dx

21、n f dx Wallis 公式：22 2001 3 3 1 ,1 2 2 4 2sin c os2 4 3 1 ,3 5 2nnnnnn nn nnI x dx x dx Innn nnn 为 正 偶 数为 正 奇 数无穷限积分： +b+b-bb+-( ) l im ( ) ( + ) ( ) ; ( ) l im ( ) ( - ) ( ) ;( ) l im ( ) l im ( ) ( + ) ( )aa bbaaaabaf x d x f x d x F F af x d x f x d x F F af x d x f x d x f x d x F F 瑕积分： 第 8 页 共

22、20 页 ( ) l im ( ) ( ) l im ( ) ;( ) l im ( ) l im ( ) ( ) ;( ) ( ) ( )bbatt a t abtaat b t bb c ba a cf x dx f x dx F b F tf x dx f x dx F t F af x dx f x dx f x dx + 1 , 1 , 1pa d x p px 收 敛 发 散； 1 1 , 0 1 , 1pa d x p px 收 敛 发 散10( ) ( 1 ) !xnn e x d x n , ( 1 ) ( ) !; (1 ) 1 ;n n n n 201 ( )22xe d

23、 x 第六章 定积分应用 1、平面图形的面积： 直角坐标情形： ()baA f x dx； ( ) ( )baA f x g x dx； ( ) ( )dcA y y dy参数方程情形： ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ( ) ; ( ) )A t d t t t d t a b 极坐标情形： 21 ()2Ad 2、空间立体的体积： 由截面面积： ()baV A x dx旋转体：绕 x轴旋转： 2 2 2( ) ; ( ) ( ) ( )2 ( ) ; 2 ( ) ( ) ( )bbaaddccV f x dx V f x g x dx xV y y dy V y y y dy y 为

24、 积 分 变 量为 积 分 变 量绕 y轴旋转：222 ( ) 2 ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( )bbaadcV x f x d x x f x g x d x xV y y d y y 为 积 分 变 量为 积 分 变 量3、平面曲线的弧长： 2 2 2 2 2( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )bas t t d t f x d x d 变力 做功： ()baW F x dx抽水做功： =, g d W d M g h d V g h 克 服 重 力 做 功 质 量 高 度 液体压力做功： = d F p d A g h d A 压 力 压 强 面 积 ， 第 9

25、 页 共 20 页 第七章 向量代数与空间解析几何 两点间距离公式 ： 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )M M x x y y z z ， ( , , ) ;x y z x y za a a a a i a j a k ( , , )x y z x y zb b b b b i b j b k ( , , ) ;x x y y z za b a b a b a b ( , , )x y za a a a 方向余弦：222222222c o s ,c o s ,c o sxxx y zyyx y zzzx y zaaa aaaaaa aaaaaa aaa单位向量：

26、( c o s , c o s , c o s )a ae a 数量积： c o s ( , )x x y y z za b a b a b a b a b a b 22a a a a 0i j j k k i ， 1i i j j k k 夹角余弦：2 2 2 2 2 2c o s ( , )x x y y y yx y z x y za b a b a bababab a a a b b b 向量积 ： ( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y x x y zx y zi j ka b a b a b i a b a b j a b a b k a a ab b b

27、 0aa ， s i n ( , )a b a b a b S 平 行 四 边 形， 空间位置关系 ： / 0 ( , ) 0 yx zx y zbb ba b a b a b a a a 00x x y y z za b a b a b a b a b a b a b 平 面 的 方 程 ： 点 法 式 ： 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z ； 一 般 式 ：0Ax By Cz D 截距式： 1x y za b c 第 10 页 共 20 页 两平面的夹角： 12 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 212 1 1 1 2 2 2c o snn A

28、 A B B C Cnn A B C A B C 点到平面的距离： 0 0 02 2 2A x B y Cz Dd A B C 两平行平面的距离： 122 2 2DDd A B C 直线与平面的夹角： 22 2 2 2 2 2s inns A m B n C pns A B C m n p 空间曲线 C ，曲线的投影 xoyC ，空间立体 ，曲面 ，曲面的投影 xyD 球面： 2 2 2 20 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z R 椭圆柱面： 221xyab；双曲柱面： 221xyab；抛物柱面： 2 2x py 旋转曲面：圆柱面： 2 2 2x y a；圆锥面： 2 2 2 2()z b x y；双叶双曲面：2 2 2221x y zac单叶双曲面： 2 2 2221x y zac ；旋转椭球面 : 2 2 2221x y zac ；旋转抛物面： 222x y pz 二次曲面： 椭球面： 2 2 22 2 2 1 ( 0 , 0 , 0 )x y z abca b c 抛物面：椭圆抛物面： 22xyzab；双曲抛物面： 22xyzab 单叶双曲面： 2 2 22 2 2 1x y zabc ；双叶双曲面： 2 2 22 2 2 1x y zabc 椭圆锥面： 2 2 22 2 2x y za b c总结