1、 等差数列及其前 n 项和 一、选择题 1 an为等差数列，公差 d 2， Sn为其前 n项和若 S10 S11，则 a1 ( ) A 18 B 20 C 22 D 24 解析：由 S10 S11得 a11 S11 S10 0， a1 a11 (1 11)d 0 ( 10)( 2) 20. 答案： B 2设等差数列 an的前 n项和为 Sn.若 a1 11， a4 a6 6，则当 Sn取最小值时， n等于 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 解析 由 a4 a6 a1 a9 11 a9 6，得 a9 5，从而 d 2，所以 Sn 11n n(n 1) n2 12n (n 6)2 36，因此
2、当 Sn取得最小值时， n 6. 答案 A 3在等差数列 an中，若 a1 a4 a7 39， a3 a6 a9 27，则 S9等于 ( ) A 66 B 99 C 144 D 297 解析 a1 a4 a7 39， a3 a6 a9 27， 3a4 39,3a6 27， a4 13， a6 9. a6 a4 2d 9 13 4， d 2， a5 a4 d 13 2 11， S9 a1 a92 9a5 99. 答案 B 4 设 Sn是等差数列 an的前 n项和，若 S8 30， S4 7，则 a4的值等于 ( ) A.14 B.94 C.134 D.174 解析 由 已知，得， 8a1 872
3、 d 30，4a1 432 d 7，即 4a1 14d 15，4a1 6d 7，解得 a1 14，d 1，则 a4 a1 3d 134，故选 C. 答案 C 5设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 a1 1，公差 d 2， Sk 2 Sk 24，则 k ( ) A 8 B 7 C 6 D 5 解析 由 a1 1，公差 d 2 得通项 an 2n 1，又 Sk 2 Sk ak 1 ak 2，所以 2k 1 2k 3 24，得 k 5. 答案 D 6已知 ABC 的一个内角为 120 ，并且三边长构成公差为 4的等差数列，则 ABC 的面积为 ( ) A 12 3 B 15 3 C 12 D
4、 15 解析 不妨设角 A 120 ， c b，则 a b 4， c b 4，于是 cos 120 b2 b 2 b 22b b 12，解得 b 10，所以 S12bcsin 120 15 3. 答案 B 7.在等差数列 na 中， 5,1 42 aa ,则 na 的前 5 项和 5S =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 解析 15 242 4 51 , 5 5 5 1 522aa aaa a S . 答案 B 二、填空题 8已知数列 an为等差数列， Sn为其前 n 项和， a7 a5 4， a11 21， Sk 9，则k _. 解析： a7 a5 2d 4， d 2， a1 a
5、11 10d 21 20 1， Sk k k k2 2 k2 9.又 k N*，故 k 3. 答案： 3 9. 定义 “ 等和数列 ” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列 an是等和数列，且 a1 2，公和为 5，那么 a18的值为 _ 解析 由题意知 an an 1 5，所以 a2 3， a3 2， a4 3， ， a18 3. 答案 3 10在等差数列 an中， a1 3,11a5 5a8 13，则数列 an的前 n 项和 Sn的最小值为 _ 解析 (直接法 )设公差为 d，则 11( 3 4d) 5( 3
6、7d) 13， 所以 d 59，所以数列 an为递增数列 令 an0 ，所以 3 (n 1) 590 ，所以 n 325， 又 n N*，前 6 项均为负值， 所以 Sn的最小值为 293 . 答案 293 【点评】 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值 . 11两个等差数列的前 n项和之比为 5n 102n 1，则它们的第 7 项之比为 _ 解析 设两个数列 an， bn的前 n项和为 Sn， Tn，则 Sn Tn 5n 102n 1 ，而 a7b7 a1 a13b1 b13 S13T13 513 102
7、13 1 31. 答案 3 1 12已知数列 an满足递推关系式 an 1 2an 2n 1(n N*)，且an 2n 为等差数列，则 的值是 _ 解析 由 an 1 2an 2n 1，可得 an 12n 1 an2n 12 12n 1，则 an 1 2n 1 an 2n an 12n 1 an2n 2n 1 12 12n 1 2n 1 12 12n 1 ，当 的值是 1时，数列an 12n 是公差为12的等差数列 答案 1 三、解答题 13设 a1， d为实数，首项为 a1，公差为 d的等差数列 an的前 n项和为 Sn，满足 S5S6 15 0. (1)若 S5 5，求 S6及 a1； (
8、2)求 d 的取值范围 思路分析 第 (1)问建立首项 a1与公差 d 的方程组求解；第 (2)问建立首项 a1与公差 d的方程，利用完全平方公式求范围 解析 (1)由题意知 S6 15S5 3， a6 S6 S5 8， 所以 5a1 10d 5，a1 5d 8.解得 a1 7，所以 S6 3， a1 7. (2)因为 S5S6 15 0，所以 (5a1 10d)(6a1 15d) 15 0，即 2a21 9da1 10d2 1 0， 故 (4a1 9d)2 d2 8，所以 d28. 故 d 的取值范围为 d 2 2或 d2 2. 【点评】 方程思想在数列中常常用到，如求通项 an及 Sn时，
9、一般要建立首项 a1与公差 d 或公比 q 的方程组 . 14已知数列 an的前 n项和 Sn 10n n2， (n N*) (1)求 a1和 an； (2)记 bn |an|，求数列 bn的前 n 项和 解析 (1) Sn 10n n2， a1 S1 10 1 9. Sn 10n n2，当 n2 ， n N*时， Sn 1 10(n 1) (n 1)2 10n n2 2n 11， an Sn Sn 1 (10n n2) (10n n2 2n 11) 2n 11. 又 n 1 时， a1 9 21 11，符合上式 则数列 an的通项公式为 an 2n 11(n N*) (2) an 2n 11
10、， bn |an| 2n n ，2n n ， 设数列 bn的前 n项和为 Tn， n5 时， Tn n 2n2 10n n2； n5时 Tn T5 n b6 bn2 25 n 2n2 25 (n 5)2 n2 10n 50， 数列 bn的前 n项和 Tn 10n n2 n5 ， n N* ，n2 10n n5， n N* 15在数列 an中， an 1 an 2n 44(n N*)， a1 23. (1)求 an； (2)设 Sn为 an的前 n项和，求 Sn的最小值 思路分析 由已知条件可推知 n应分奇数和偶数 解析 (1)由 an 1 an 2n 44(n N*)， an 2 an 1 2
11、(n 1) 44. an 2 an 2，又 a2 a1 2 44， a2 19. 同理得： a3 21， a4 17.故 a1， a3， a5， 是以 a1为首项、 2 为公差的等差数列， a2， a4， a6， 是以 a2为首项、 2为公差的等差数列 从而 an n n为奇数 ，n n为偶数 (2)当 n 为偶数时， Sn (a1 a2) (a3 a4) (an 1 an) (21 44) (23 44) 2( n 1) 44 21 3 (n 1) n244 n22 22n， 故当 n 22 时， Sn取得最小值 242. 当 n 为奇数时， Sn a1 (a2 a3) (a4 a5) (a
12、n 1 an) a1 (22 44) 2( n 1) 44 a1 22 4 (n 1) n 12 ( 44) 23 n n2 22(n 1) n22 22n32. 故当 n 21 或 n 23 时， Sn取得最小值 243. 综上所述：当 n 为偶数时， Sn取得最小值为 242；当 n 为奇数时， Sn取最小值为 243. 【点评】 数列中的分类讨论一般有两种：一是对项数 n 的分类；二是对公比 q的分类，解题时只要细心就可避免失误 16已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足： a1 a(a0) ， an 1 rSn(n N*， r R， r 1) (1)求数列 an的通项公式； (2
13、)若存在 k N*，使得 Sk 1， Sk， Sk 2成等差数列，试判断：对于任意的 m N*，且 m2 ， am 1， am， am 2是否成等差数列，并证明你的结论 解析 (1)由已知 an 1 rSn，可得 an 2 rSn 1，两式相减可得 an 2 an 1 r(Sn 1 Sn) ran 1，即 an 2 (r 1)an 1，又 a2 ra1 ra， 所以当 r 0时，数列 an为： a,0， ， 0， ； 当 r0 ， r 1时，由已知 a0 ，所以 an0( n N*)， 于是由 an 2 (r 1)an 1，可得 an 2an 1 r 1(n N*)， a2， a3， ， an
14、， 成等比数列， 当 n2 时， an r(r 1)n 2a. 综上，数列 an的通项公式为 an a， n 1，r r n 2a， n2. (2)对于任意的 m N*，且 m2 ， am 1， am， am 2成等差数列证明如下： 当 r 0 时，由 (1)知， an a， n 1，0， n2. 对于任意的 m N*，且 m2 ， am 1， am， am 2成等差数列 当 r0 ， r 1时， Sk 2 Sk ak 1 ak 2， Sk 1 Sk ak 1.若存在 k N*， 使得 Sk 1， Sk， Sk 2成等差数列，则 Sk 1 Sk 2 2Sk， 2Sk 2ak 1 ak 2 2Sk，即 ak 2 2ak 1. 由 (1)知， a2， a3， ， am， 的公比 r 1 2，于是 对于任意的 m N*，且 m2 ， am 1 2am，从而 am 2 4am， am 1 am 2 2am，即 am 1， am， am 2成等差数列 综上，对于任意的 m N*，且 m2 ， am 1， am， am 2成等差数列
