1、* 遵义师范学院毕业论文（设计） 题目 ： 浅谈求解函数最值的几种方法 系别 数学与计算科学学院 专业 数学与应用数学 年级 2010 级 姓名 钱红利 学号 10410501041 指导教师 潘永会 2014 年 4 月 10 日 厚德树人 笃学致用 浅谈求解函数最值的几种方法 钱红利 摘 要 ： 函数的最值问题贯穿整个中 学知识，最值问题在实际生活中的应用比较广泛而且极其重要，如线性规划的最优解问题，利润的最大化问题等等。本文讨论了中学数学中求解函数最值的几种方法。如配方法、换元法、均值不等式法、函数的单调性法、导数法、数形结合法、反函数法。 关键词 ： 函数；最值 数学是一切自然学科的基
2、础。学好数学就意味着要学会解题，当我们遇到问题时，常常想着以常用的、熟悉的方法解决，这仅仅只能得出问题的答案，对学生思维能力的培养没有能够发挥更大的作用，只有对数学思想、数学方法理解透彻并且会灵活运用，才能在解题中既得出新的解法，又训 练了学生的思维。正因为如此，我们才提倡遇到一道数学题使用多种解法，并且在解题过程中尽量多的体现数学思想。在数学学习中，知识是基础，方法是手段，思想是深化，提高数学素质的核心是提高学生对数学思想方法的认识。所以，对学生数学学习情况的考察最重要的就是对数学思想方法掌握情况的考察。 本文通过对高中数学例题的探究，总结出求解函数最值的几种方法，充分体现了数学方法在求最值
3、时的灵活应用以及例题中所蕴含的数学思想。 一、 配方法 配方法使用的最基本的理论依据是完全平方公式 2 2 2( ) 2a b a ab b 。配方其实就是一种恒等变换，主要适用于已知或者未知中含有二次函数、二次方程、二次不等式、二次代数式以及求解形如 22( , )f x y a x b x y c x d y e y f 的二元函数的最值问题等（将 x 视为变量， y 视为常数）。结合所学知识，我们可以将完全平方式子延伸为形如 2 2 21 s i n 2 s i n c o s 2 s i n c o s = s i n c o s （ ） 2 2 221 1 1( ) 2 ( ) 2x
4、 x xx x x 例 1 已知 x ， yR ，求函数 22( , ) 4 5 2 8f x y x x y y x y 的最值 . 解 224 5 2 8x xy y x y 22( 4 2 ) 5 8x y x y y 2 2( 2 1 ) 5 7x y y y 2 25 3 3( 2 1 ) ( )2 4 4x y y 由 2(2 1) 0xy ， 25( ) 02y 所 以当 6x ， 52y 时，函数取得最小值为 34 . 配方法就是对数学表达式进行一种变形，通过配方找到未知与已知的联系，找到突破口，达到化难为易的效果。什么样的式子，什么时候配方这是使用配方法的重点，同时也是学习的
5、难点。掌握配方法关键是要掌握“配”和“凑”的技巧。配方法也称为“配凑法”。配方法求函数的最值时主要结合了偶次方的非负性，从而得到函数的最值。 二、换元法 所谓换元法 就是求解数学问题时，用一个变量去代替一个式子，使得研究对象变为常见或者是容易着手解决的形式，从而将复杂问题简单化。实质是等量代换，关键是构造变量，目的是为了变换研究对象。特别是对数量关系较为复杂或计算量比较大的题目，合理运用换元法可以将数量关系简单化，也可以减轻计算量。 换元法通过引进新的变量，将毫无关联的变量与已知条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为常见的形式，它可以将高次与低次互化、将分式化为整
6、式，从而求出问题的答案。 例 2 求函数 ()fx= 2xx 的最值 . 解 由题知 2x ，设 2x =t，则 0t 变形得 2 2xt 将带入 ()fx得 2( ) 2f t t t 217()24t 当 t =12 ,即 x =94 时，函数 ()fx的最大值为 74 . 中学生对含有根式、分式、高次的问题很难找到突破口，通过换元法可以将其变为常见的代数式，使得问题变得简单。在解题时，特别需要注意的是对于新引入的变量需要注意其取值 范围。 三、均值 不等式法 运用不等式法求最值时，其理论依据是运用基本不等式， 2a b ab ，( 0, 0)ab以及其变形公式。运用不等式法时，必须满足
7、“一正、二定、三相等”，通过将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”求得最值（和定积最大，积定和最小）。 要注意的是，有些题目直接看不出可以使用不等式法，可以通过变形、添项、裂项等手段使之运用基本不等式。 例 3 求 2 7 10() 1xxfx x （ 1x ）的最值 . 解 ()fx= 227 1 0 ( 1 ) 5 ( 1 ) 411x x x xxx = 4151x x 1x 10x 故 44( ) 1 5 2 ( 1 ) ( ) 511f x x xxx 4+5=9 当且仅当 41 1x x 时，即 x =1 时取得“ =” . 运用均值不等式首先要考虑是否满足使用条件。
8、特别注意，有些题目需要多次运用不等式法才能得出结果，切记等号成立的条件必须要一致，否则可能导致错误的结论。 四、函数的单调性法 函数的单调性是函数的一个重要性质 ,在求函数极值、单调区间、值域或者最值时都会用到函数的单调性。 函数的单调性法是中学数学里常用的一种方法，适用范围较广且难度不大。对于形如求解函数 () bf x ax cx ( 0)ab 的最值问题时，如果运用不等式法不能取得等号时，可考虑用函数的单调性法求解，体现出函数的单调性法适用的普遍性。 例 4 求函数 225() 4xfx x 的最值 . 分析 2 22251( ) 444xf x xxx 此时若用均值不等式求 ()fx
9、的最值，取得等号的条件是 2214 4x x ，即 2 41x ，而 2 41x 在实数范围内无解，故函数 ()fx不能取得最小值。故可考虑使用单调性法求解。 解 令 2 4xt 则原函数变形为 1()f t t t ( 2)t 运用定义法求函数的单调区间，得出函数 ()ft在 2t 是增函数，所以当 2t 时，函数取得最小值，所以 m in 15( ) ( 2 ) 2 22f t f 即当 2 42x ，也就是 0x 时， ()fx取得最小值 52 . 用函数的单调性法求解最值时，关键是确定 ()fx为单调函数，并确定函数所在区间，这是中学生用此法解决 问题的难点。它的优点在于使用范围较广且
10、难易程度不大，学生容易接受。 五、导数法 导数法求最值是中学数学学习的重点，对初学者也是难点。导数法求函数最值，首先将函数求导，然后判断导函数的符号（即是正还是负）得到原函数的单调性，令导函数为 0，从而求解出极值点。我们知道，函数的最值是在极值点，或者是在函数的定义域的端点取得，通过将极值点与函数定义域的端点分别带入原函数，通过比较从而得到函数的最值。 例 5 求函数 4 3 21 1 1() 4 3 2f x x x x x 在区间 -2,1上的最值 . 解 3 2( ) 1f x x x x 2( 1)( 1)xx 令 ( ) 0fx 解得 1x . 当 2x 时， 4()3fx ；当
11、1x 时， 1() 4fx ； 当 1x 时， 25()12fx . 综上，函数 ()fx的最小值为 14 ，最大值为 2512 . 运用导数法解决函数问题的优势在于它可以更容易快捷的判断出函数的单调性，特别是对高次函数单调性的判断，这是别的方法不能解决的。需要注意的是极值点不一定是最值点，有可能是在区间端点取得最值。 六、数形结合法 数形结合的方法，其实是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 例 6 已知抛物线 2 8yx ，点 P 是抛物线上一动点，点 A 的坐标为 (2,5) ，求点 P 到点 A 的距离与到 y
12、轴的距离之和的最 小值 . 解 将 2x 带入抛物线，得 45y 所以点 A 在抛物线外部，抛物线焦点为 (2,0) ，准线 l ： 2x 如图过点 P 作 PM l 于点 M ，交 y 轴于点 N 则 22P A P N P A P M P A P F 由图知当点 A 、 P 、 F 三点共线时， PAPF 取得最小值 即 PA PF 的最小值为 5AF 所以 PA PN 的最小值为 3. 数形结合法的优点是它可以将复杂抽象的代数问题用直观形象的图形表示出来，借助函数的图像、几何图像自身的性质来解决代数问题，从而使问题变得直观、简单。 七、反函数法 反函数法在中学数学的考题出现的频率较低，在
13、高考数学里也没有要求，但对学生思维的培养很有帮助。反函数法适用于求解形如 sin() sincxfx a b x 的 函数的值域或者最值问题，如果直接求解函数的值域或者最值比较困难时，我们可以考虑用反函数法，先将式子变形为用 ()fx表示 x 的形式，再通过 x 的范围来确定变形后整个式子的范围，从而得出函数 ()fx的范围，即函数的值域。 例 7 求函数 sin() 1 sinxfx x 的最值 . 解 因为 sin 1x ，故函数 ()fx的定义域为 32 2xk ()kZ . 将原函数变形得 ()sin1 ( )fxx fx ，由于 1 sin 1x 那么 ()111 ( )fxfx 解
14、不等式得 1()2fx 所以 ，函数 ()fx的最大值为 12 . 反函数法其实是一种逆向思维，当我们很难直接求出函数 ()fx的值域时，可考虑将其变形，根据 x 的范围得出整个含式子 ()fx的范围，从而解出 ()fx的值域，对学生数学思维的培养极其重要。 以上例子的介绍， 我们看到了解决最值问题的方法是多种多样的，而各种方法其自身也有着独具的特点。事实上，题型的多样性，解题方法的灵活和综合性强是最值问题的特点。解决这类问题，首先要充分的掌握高中数学的基础知识，然后在熟练掌握的基础上灵活合理的选择解题方法。通过总结我们可以发现以上各种解决最值问题的方法并不是单一的使用，解决一道题可能同时需要
15、用到几种数学方法，例如单调性与换元法结合使用，不等式与数形结合等等。这样不仅使得出题的范围更广，而且题目的灵活性更强，进而加大了题目的难度，对学生的要求也更高了。近几年来无论是全国卷还是部分省份的高考试卷中都出现了有关最值问题的求解，一方面体现出了最值问题在中学数学里的重要性，另一方面也从侧面暗示在以后的高考中最值问题还会相继的出现并占有一定比例，值得引起教师与学生的重视。 参考文献 1 李庆社 .思想是 “灵魂 “方法是 “钥匙 “J .初中生学习七彩， 2008（ 06） . 2 刘兴楠 .数形结合思想在中学数学教学中的应用 D .辽宁师范大学， 2011. 3 黄珂 .浅析中学数学问题常
16、见解题思路 J .读写算（教育教学研究）， 2011（ 11） . 4 季林波 .高考数学解题常用方法与策略 J .试题与研究 (教学论坛 ),2010（ 05） . 5 周军梅 .高考数学中“配方法”的应用 J .数语外学习（数学教育）， 2013（ 03） . 6 张春丽 .思想与方法在初中数学教育中的渗透 D .苏州大学， 2009. 7 王东旭 .数形结合思想在解题中的妙用 J .科技资讯 ,2014（ 14） . 8 高中数学解题基本方法 http:/ 邱侣淆琼赐冕蹲易攫社钵椒涂称废狞洪轮怯几惟象壁钱士京涛孕哦忍映熔中僚到组拍作核脯旺万瓷洪寅甭责咀卤砸烦懊皆帕涅龚毕铁络靡哼疟很逾捌莫
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