1、 南阳师范学院 20XX 届毕业生 毕业论文（设计） 题 目： 条件平差与间接平差的相互关系研究 完 成 人： 班 级： 学 制： 专 业： 测绘工程 指导教师： 完成日期： 目 录 摘要 . （ 1） 0 绪论 . （ 1） 1 条件平差原理 . （ 1） 1 1 条件平差介绍 . （ 1） 1 2 基础方程及其解 . （ 2） 1 3 条件平差求平差值的计算步骤 . （ 5） 2 间接平差原理 . （ 5） 2 1 间接平差介绍 . （ 5） 2 2 基础方程及其解 . （ 6） 2 3按间接平差法求平差值的计算步骤 . （ 8） 3 条件平差与间接平差的 关系 .（ 8） 3 1 联系
2、.（ 9） 3 2 区别 .（ 9） 4 结论 . （ 9） 参考文献 .（ 10） Abstract .（ 11） 第 1页（共 11 页） 条件平差与间接平差的相互关系研究 摘要 ： 条件平差和间接平差是测量平差的两大基石，其他理论，如附有未知数的条件平差和附有条件间接平差等都是在此基础上发展起来的在各种有关测量平差的文献和教程中，这两种方法都是作为一种独立的方法被提出，因此，研究并解决条件平差和间接平差之间的相互关系，对完善和推动测量平差理论的发 展具有重大的理论价值对于同一个平差问题，如果同时运用上述两种平差方法来求解，所得的各个观测值改正数、观测量的平差值及未知参数的最或然值应该相同
3、，同时两者的系数矩阵和常数向量也存在一定的内在联系 关键词 ： 条件平差；间接平差；原理；最或然值；内在联系 0 绪论 平差计算是测量内业中相当重要的一部分近些年来，测量人员运用间接平差原理对导线网，高程网等进行点位的精度分析，间接平差法是通过选定 n 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这 n个参数的函数，建立函数模型，然后进行求解，从而求 得各观测量的评差值当已知点数较多时，如处理大型的导线网或工程网数据时，间接平差比较实用 而条件平差不需要增选任何参数，只需要建立相应的条件方程式，在处理已知点数较少的中小型的控制网，网型条件比较特殊的网型，如单一附合导线时，
4、需要列出的条件方程式较少，使平差计算简单易行，这是条件平差的优势就体现出来了 1 条件平差原理 1 1 条件平差介绍 在测量工作中，为了能及时的发现错误和提高测量成果的精度，常作多余观测，这就产生了平差问题如果一个几何模型中有 r 个多余观测，就产生了 r 个条件方程，以条件方程为 函数模型的平差方法，这就是条件平差 条件平差的函数模型为 第 2页（共 11 页） 0WAV 随机模型为 12200n n n nnnD Q P 平差的准则为 minPVVT 条件平差就是要求在满足 r个条件方程式条件下，求函数 minPVVT的 V 值，在数学中是求函数的条件极值问题 1 2 基础方程及其解 设在
5、某个测量作业中，有 n 个观测值 1,nL ，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为 nnP, ，改正数为 1,nV ，平差值为 1,nL ，表示为 nnLLLL 211,， nnvvvV 211,， nnnpppP 21,， nLLLL 211, 其中 nnP, 为对角阵； 1,nL =1,nL +1,nV ， 即 nnn vLvLvLLLL221121（ 1-1-1） 在这 n 个观测值中，有 t个必要观测数，多余观测数为 r 可以列出 r 个平差值线性条件方程 000022110221102211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnnn（ 1-1-2） 1-1-2 式中，
6、ai、 bi、 、 ri（ I = 1， 2， n）为各平差值条件方程式中的系数， a0、 b0、 、 r0为各平差值条件方程式中的常数项 将（ 1-1-1）式代入 (1-1-2)式，得相应的改正数条件方程式 第 3页（共 11 页） 000221122112211rnnbnnannwvrvrvrwvbvbvbwvavava（ 1-1-3） 1-1-4 式中 wa、 wb、 、 wr称为改正数条件方程的闭合差（或不符值），即 )()()(022110221102211rLrLrLrwbLbLbLbwaLaLaLawnnrnnbnna（ 1-1-4） 若取 nnnnrrrrbbbaaaA2121
7、21,， 0001,0rbaAr ， rbarwwwW 1,(1-1-2)、（ 1-1-3）和（ 1-1-4）式可分别表达成矩阵形式如下 0 0 ALA (1-1-5) 0WAV (1-1-6) )( 0AALW (1-1-7) 按 求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数 Trbar kkkK 1, （又称为联系数向量），构成函数： )(2 WAVKPVV TT (1-1-8) 为引入最小二乘法，将对 V求一阶导数，并令其为零 022)(2)( AKPVV AVKVPVVdVd TTTT 第 4页（共 11 页） 得 AKPV TT 上式两端转置，得 KAVP TT 由于 P 是主对角线阵，则
8、 P = P T ， 将上式两边左乘权逆阵 P 1，得 KAPV T1 (1-1-9) 此式称为改正数方程，其纯量形式为 )(1 ribiaiii krkbkapv ， (i= 1， 2， n) (1-1-10) 将（ 1-1-9）式代入（ 1-1-6）式，得 01 WKAAP T (1-1-11) 此式称为联系数法方程（简称法方程），其纯量形式为 000rrbabrbaarbawkprrkpbrkparwkpbrkpbbkpabwkparkpabkpaa(1-1-12) 取法方程的系数阵 AP-1AT = N，由上式易知 N 阵关于主对角线对称，得法方程表达式 0WNK (1-1-13) 法
9、方程数阵 N 的秩 rAAPRNR T )()( 1 即， N 是一个 r阶的满秩方阵，且可逆将（ 1-1-13）式移项，得 第 5页（共 11 页） WNK 上式两边左乘法方程系数阵 N的逆阵 N 1，得联系数 K 的唯一解： WNK 1 (1-1-14) 将（ 1-1-14）式代入（ 1-1-9）或（ 1-1-10）式，可计算出 V，再将V 代入（ 1-1-1），即可计算出所求的观测值的最或然值 VLL 通过观测值的平差值 L ，可以进一步计算一些未知 量（如待定点的高程、纵横坐标以及边的长度、某一方向的方位角等）的最或然值 由上述推导可看出， K、 V 及 L 都是由（ 1-1-6）和（
10、 1-1-9）式解算出的，因此我们把（ 1-1-6）和 (1-1-9)式合称为条件平差的基础方程 1 3 条件平差求平差值的计算步骤 （ 1） 根据平差问题的具体情况，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数 ； （ 2） 根据条件式的系数，闭合差及观测值的协因数阵组成法方程式，法方程的个数等于多余观测数 ； （ 3） 解算法方程，求出联系数的值 ； （ 4） 将所求值代入改正数方程式，求值，并求出平差值 ； （ 5） 为了检查平差计算的正确性，常用平差值重新列出平差值条件方程式，看其是否满足方程 2 间接平差原理 2 1 间接平差介绍 在一个平差问题中，当选的独立参数 X 的的个数等于必
11、要观测数 t时，可将每个观测值表达成这 t 个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法，就是间接平差 间接平差的函数模型为 111 n nttn dXBL (2-1-1) 平差时， 一般对参数 X 都要取近似值 0X ，令 xXX 0 (2-1-2) 带入上式，并令 第 6页（共 11 页） 00 LLdBXLl (2-1-3) 其中， dBXL 00 为观测值的近似值，所以 l 是观测值与其近似值之差，由此可得误差方程 lxBV (2-1-4) (2-1-4)式中 l 为误差方程常数项，当参数不取近似值时， l 表达式为 (2-1-3)中 0X =0 的情形，由于 l 与
12、 L只差一个常数项 dBXL 00 ，故其精度相同，即 DDD Ll ， QQQ LLll ，所以 l也称为观测值 间接平差的随机模型为 12020 , PQD nnnn (2-1-5) 平差的准则为 minPVVT (2-1-6) 间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数x ，在数学中是求多元函数的极值问题 . 2 2 基础方程及其解 设有 n 个观测值方程为 ntnnnnnttdXtXbXavLdXtXbXavLdXtXbXavL212222122211211111 tjxXX jjj ,2,1 0 nidXtXbXaLl itiiiii ,2,100201 则得误差方程为
13、 nilxtxbxav itiiii ,2,1 21 令 nnntbatbatbaB22221111第 7页（共 11 页） Tnn vvvV 211 Tnt xxxx 211 Tnn llll 211 Tnn LLLL 211 Tnn dddd 211 Tnn XXXX 0020101 可得平差方程的矩阵形式 1 002010 n TnLLLL 00, LLdBXLllxBV (2-1-7) 按最小二乘原理，上式的 x 必须满足 minPVVT 的要求，因为 t 个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法得 02 PBVxVPVxPVV TTT 转置后得 0PVBT (2-1-8) 以
14、上所得的 (2-1-7)和 (2-1-8)式中的待求量是 n个 V和 t 个 x ，而方程个数也是 n+t个，有唯一解， 称此两式为间接平差的基础方程 解此基础方程，一般是将 (2-1-7)式代入 (2-1-8)式，以便先消去 V，得 0 PlBxPBB TT (2-1-9) 令 PlBWPBBN TtTBBtt 1, 上 式可简写成 0 WxN BB (2-1-10) (2-1-10)式中系数阵 BBN 为满秩， 即 )( BBNR =t， x 有唯一解，上式称为间接平差的法方程解之得 第 8页（共 11 页） WNx BB1 (2-1-11) 或 PlBPBBx TT 1 (2-1-12)
15、 将求出的 x 代入误差方程 (2-1-7)，即可求得改正数 V，从而平差结果为 xXXVLL , 0 (2-1-13) 特别地，当 P 为对角阵时，即观测值间相互独立，则法方程 (2-1-10)的纯量形式为 p tlxp ttxp b txp a tp b lxp b txp b bxp a bp a lxp a txp a bxp a attt212121(2-1-14) 2 3 按间接平差法求平差值的计算步骤 （ 1） 根据平差问题的性质，选择 t个独立量作为参数； （ 2） 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程 (2-1-7)； （ 3
16、） 由误差方程系数 B 和自由项 l 组成法方程 (2-1-10)，法方程个数等于参数的个数 t； （ 4） 解算法方程，求出参数 x ， 计算平差值 xXX 0 ； （ 5） 由误差方程计算 V，求出观测量平差值0 VLL ； （ 6） 评定精度 3 条件平差与间接平差的比较 迄今为止，我们学过多种平差方法，不同的平差方法对应着形式各异的函数模型，在所有的这些函数模型中，待求的未知数 都是多余其方程个数，而且他们的系数矩阵的秩都等于其增广矩阵的秩 因此，他们都是具有无 穷多组解的相容方程组 为了解决解的不唯一性问题 ，我们使用的是最小二乘法原理。对于同一个平差问题而言，无论采用何种函数模型，其最后的评查结果都是相同的 在这里对条件平差和间接平差这两种平差方法进行简单的异同点分析
