1、 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （全国卷 ） - 1 - 绝密启封并使用完毕前 2015年普通高等学校招生全国统一考试 文 科数学 （全国卷 ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页。 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1已知集合 | 1 2A x x ， | 0 3B x x ， 则ABA 1,3B 1,0C 02D,32若为 a实数 ， 且2 31 ai ii ， 则 a A 4 B 3 C D 4 3根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）
2、柱形图，以下结论中不正确的是 A逐年比较 ， 2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B 2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C 2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D 2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4已知 0, 1a， 1,2b， 则(2 )a b aA 1 B 0 C 1 D 2 5设 nS是等差数列na的前 项和 ， 若 1 3 53a a a ， 则 5SA B 7 C 9 D 11 6一个正方体被一个平面截去一部分后 ， 剩余部分的三视图如右图 ， 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 1.81.71.61.57 已知三点(1, 0) , (
3、0 , 3 ), ( 2 , 3 )A B C,则 ABC外接圆的圆心到原点的距离为 5.321. 325. 34.2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （全国卷 ） - 2 - 8 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,ab分别为 14,18,则输出的 a为（ ） .0A.2B .4C .14D 9已知 等比数列na满足1 14， 3 5 441a a， 则 2a.2A.1B 1.21.810 已知B,是球O的球面上两点， 90AOB,C为该球面上的动点。若三棱锥ABCO体积的最大值为 36，则球 的表面积为 A、B、
4、 64C、144D、 25611 如图，长方形 ABCD 的边 AB=2， BC=1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC， CD 与 DA 运动， BOP=x。将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f（ x），则 f（ x）的图像大致为 12设函数21( ) ln( 1 | |) 1f x x x ，则使得( ) (2 1)f x f x成立的 x的取值范围是 A1,13B 1, 1,3 C11,33D11,33 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（ 13）题 -第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（ 22）题 第（ 24）题未选考题，考生根
5、据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题 ， 每小题 5 分 ，共 20 分 13.已知函数 3 2f x ax x的图像过点（ -1,4） ,则 a= 14.若 x,y 满足约束条件502 1 02 1 0xyxyxy ,则 z=2x+y 的最大值为 15.已知双曲线过点 4, 3,且渐近线方程为12yx,则该双曲线的标准方程为 16.已知曲线lny x x在点 1,1处的切线与曲线 2 21y ax a x 相切 ,则 a= 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （全国卷 ） - 3 - 三、解答题 17（本小题满分 12 分） ABC 中 D 是 BC上的点 ,AD 平
6、分 PAC,BD=2DC. （ I）求sinsin B；（ II）若60BAC,求 B. 18. （本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度 ,从 A ,B 两地区分别随机调查了 40 个用户 ,根据用户对其产品的满意度的评分 ,得到 A 地区用户满意 度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表 . （ I）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图 ,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 ,（不要求计算出具体值 ,给出结论即可） 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （全国卷 ） - 4 - （ II）根据用户满意度评分
7、 ,将用户的满意度评分分为三个等级： 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大 ,说明理由 . 19. （本小题满分 12 分）如图 ,长方体 1 1 1 1AB CD A B C D中 AB=16,BC=10, 18AA,点 E,F 分别在1 1 1 1AB DC上 , 114.AE D F过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交 ,交线围成一个正方形 . （ I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （ II）求平面 把该长 方体分成的两部分体积的比值 . 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （全国卷 ） - 5 - 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆
8、22: 1 0xyC a bab 的离心率为22,点 2, 2在 C 上 . （ I）求 C 的方程； （ II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴 ,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值 . 21. （本小题满分 12 分）已知 ln 1f x x a x . （ I）讨论fx的单调性； （ II）当有最大值 ,且最大值为 22a时 ,求 a 的取值范围 . 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （全国卷 ） - 6 - 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一
9、题计分 ,作答时请写清题号 22. （本小题满分 10 分） 选修 4-1：几何证明选讲 如图 O是等腰三角形 ABC 内一点 ,圆 O 与 ABC的底边 BC交于 M,N两点 ,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC分别相切于 E,F 两点 . （ I）证明EFBC； （ II）若 AG 等于圆 O 半径 ,且23AE MN,求四边形 EDCF 的面积 . 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 ,曲线1 cos ,: sin ,xtC yt （ t 为参数 ,且 0t ） ,其中 ,在以 O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线23
10、: 2 si n , : 2 3 c os .CC （ I）求 2C与 3交点的直角坐标； （ II）若 1与 2相交于点 A, 1C与 3相交于点 B,求AB最大值 . 24.（本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式证明选讲 设, , ,abcd均为正数 ,且 a b c d .证明： （ I）若 abcd ,则a b c d ； （ II）a b c d 是a b c d 的充要条件 . 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （全国卷 ） - 7 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （全国卷 ） - 8 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （全国卷 ） - 9 - 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （全国卷 ） - 10 -
