《线性代数》郝志峰习题详解.docx

1、习题一 1 、（ 1 ） 1 1 0 20 2 1 1 2 5 0 1 2 2 0 3 2 2 2 1 1 3 5 0 0 2 12 3 5 D . （ 2 ）3 3 32 3 a b cD b c a a b c b a c c b a c c c a a a b b b a b c a b cc a b. 2、（ 1）排列的逆序数为 0 0 2 3 5 . （ 2）排列的逆序数为 10 1 2 2 1 2 nnnn. 3、含有因子 1123aa 的项 11 23 32 44a a a a （纵标为 1324，逆序数为 0 0 1 0 1 ）， 11 23 34 42a a a a （纵标为

2、 1342，逆序数为 0 0 0 2 2 ） . 4、经第一行与第四行交换行列式为负号，经转置行列式不变，经用 2 乘所有元素为 52 ，经用 1 乘第 2 列加到第 5 列为行列式不变，经这些处置后行列式为 32D . 5、 31a 的代数余子式为 0， 11a 的代数余子式为 111 0 3 3 2 6 . 6、 3 1 3 2 3 3 3 41 2 5 1 1 3 1 0 7 1 1 4 1 0 3 0 4 3 D . 7、（ 1） 4321 1 1 1 2 4 8 D . （ 2） 1 2 1 2234 430 0 0 0 01 1 1 1 1 1 00 0 0 0 01 1 1 1

3、0 1 1 x x xr r c cx x xDrr ccy y yyy 21 2 2 210 01 0 0 101按 第 一 行 展 开 按 第 一 列 展 开 x yx y x x yyy. 8、（ 1） 111111 0 00 2 0n 1 1 !0 0 1按 第 行 展 开 nnnnD n nn. 1 1 111 1 1 110 0 0 0 00 0 0 01( 2 ) 1 10 0 0 0 01.按 第 列 展 开 nn n n nnnna b ba b a bD a ba a bab（ 3）2131 1311 1 1 1 10 2 2 2 220 0 2 2 20 0 0 0 2

4、nnrrrrDrr. 1 1 141 1 1 11 1 11 2 2 2 20 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0( 4) 1 10 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 01 1 1 1 1 .按 第 一 行 展 开第 二 个 行 列 式 按 第 一 列 展 开 nn n n nnnn n n n naaaaDaaaaa a a a a a a9、（ 1）2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 22 1 4 4 6 92 1 4 4 6 9=2 1 4 4 6 92 1 4 4 6 9左 边 a a a a a a ab b b b b b bc c c c c c

5、cd d d d d d d对第 i 列分开三项（ i=2,3,4） ,再利用其中两列元素相同、成比例，则行列式为 0，其结果为 0，等于右边 . （ 2）2 2 2 23 3 3 31 1 1 1第 一 行 、 第 二 行 对 调左 边 右 边 .a b c da b c da b c d（ 3）用递推法去证 . 从第二行起 1 1,2, , 1 iir xr n得： 001230 1 2120 1 2 11120 1 2 111 1 2 1 20 1 2 1 0 1 2 11 0 00 1 00 0 10 0 01 0 00 1 0-10 0 11 1 .按 展 开 nnnnnnnnnn

6、nnnnnn n n n nn n n naa x aDa x a x aa x a x a x ara x a x a x aa x a x a x a a x a x a x a10、（ 1）用数学归纳法去证 . 当 2n 时， 332 222 1 a b a b abD a b a b a a b b abab， 当 1nk 时，11120 0 01 0 0,0 1 0 00 0 0 1 k k k kkka b a ba b a ba b a bDDaba b a bab当 nk时， 1 1 1 112 k k k k k kk k k a b a b a bD a b D a b D

7、 a b a ba b a b a b， 由数学归纳法可知，对任何正整数 n ，有 11 nnn abD ab. （ 2）用数学归纳法去证 . 当 2n 时，2 2 11211 D x xxx， 当 1nk 时， 1 11 . k i jj i kD x x当 nk时， 2 1 3 1 112 2 1 3 3 1 12 2 22 2 1 3 3 1 11 1 1 1000 kiikkkk k kkkx x x x x xr x r x x x x x x x x xDx x x x x x x x x 232 2 22 1 3 1 1 2 3 2 1 3 1 122 2 21211 1 1.

8、kk k k i jj i kk k kkijj i kx x xx x x x x x x x x x x x x x x x xx x xxx由数学归纳法可知，对任何正整数 n，有等式成立 . 11、 1 2 1 25560005 6 0 0 6 01 5 6 0 0 5 6 6 01 0 5 6 0 5 60 1 5 6 0 1 5 5 60 1 5 0 1 5000560 0 0 1 5 D 1 2 1 3 1 6 0501 0 5 6 1 9 5 1 9 0 3 0 1 1 9 1 8 0 5 5 7 0 1 2 3 5160 1 5 . 12、（ 1）按第 1 行至第 n 行、第

9、1 列至第 n 列展开得证 . （ 2）解一，按第 n 行、第 n+1 行展开，得 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4 2 4 nn n n na b a ba b a ba b a b a bb a b ab a b a解二，按最简一行、最后一行展开得 2 2 2 2 nababa b a bbaba. 21311 1 1 1 0 0 111 3 .按 第 1 行 展 开、 ccccD a b c a b a c a a b c a a b b c c acbb c c a a b b c c a b b a c 23232 2 2 2 2 21223 2 2 2 221 1 0

10、 0 133122.按 第 1 行 展 开 c a b c cccabcD a b c b c a b c a b c c b c ca b c c a a b a b c a b c a b a c b a ba b a b cbca b c a b a b ab c a a b a c a b c a b c a b a bb c a c a a b a cb c c a a a ba a b b c c a 13232 2 2 2 2 22222 2 2 3 221 1 0 0 133122.按 第 1 行 展 开 ccc a b c cabcD a a b c c a c a b c

11、c a b c cb c a b c a b b c a a b c a b a b c a ba b c a bcab a b a b a bc a a b c a b a b a b b a b c b cc a b a c a b b c b b c a a b c b c bb c a b c a b 21312 2 2 2 2 2322222222 2 21 1 1 0 033121122按 第 1 行 展 开 ccc a b c cabcD a b a b c a b a a b c a a b cbc c a ab c bc c a b ab c bc a b cb c ab a

12、cabc ab c b c bcb c ab aca b cab b bca b c ab b bc b c ab acc a b b c a c c ac a b c a .bc故 3121 2 3, , . DDDx a x b x cD D D14、设 2 f x ax bx c，则 1 (1 )9 ( 2 ) , (1 ) ( 2 )4 2 3 (3 ) abca b ca b c得 2 10, 5 bb， 这时， 4 (4 ) , (5 ) (4 )4 7 (5 ) acac得 3 3, 1aa，故 3c ，即 2 53f x x x . 15、 21 2 02 4 0 1 - 1

13、- 4 - -4 = 1 - - 5 = 1 - 5 -1 1 1按 第 三 行 展 开 D , 当 1 2 3=0 =1 =5， ， 时， 0Ax 有非零解 . 习题二 1、（ 1） -3 2 3 -2 0 1 -5 2 4+ + =3 1 2 -1 3 2 2 4 4 ， AB- 3 2 3 - 2 0 1 - 1 2 2- - =3 1 2 - 1 3 2 4 - 2 0- 3 2 3 - 2 0 1 - 5 6 73 - 2 3 - 2 =3 1 2 - 1 3 2 1 1 - 3 2，； ABAB（ 2） 1 -2 -2=-4 2 0 ； Z B A（ 3） 15 36- 1 5 6

14、 1 231 22 3 3 , =22 6 1 2 1 2 3 6 6 Y A B Y A B. 2、 3 2 =0,A B C 即： 0 3 2 3 6 0 3 4 3 6 3 4 0 0= 3 20 8 3 0 2 4 2 9 2 2 4 2 9 0 0左 边 x u v x u v x u vy x y x y y x y，这时， 41 2, 9, 6, 3 x y u v。 3、（ 1） 1 2 3 4 7 3 2 5 03 1 2 5 8 2 9 4 72 3 1 6 9 2 9 4 7； AB （ 2）96 1503 87 141 .87 141AB 4、 10 5 12 ,2 3

15、 2 AB2 0 3 1 0 1 02 1 3 2 0 1 0 10 5 12 20 62 6 2 60 3 1 0 2 0 2 2 3 2 4 240 3 0 30 3 0 ABC . 5、 1 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 11 2 3 1 2 2 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 3 3 21 3 2 3 3 3 3 1 3 1 2 3 2 3 3 3 3 a a a x a x a x a x xA B C x x x a a a x a x a x a x xa a a x a x a x a x x 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1

16、 2 1 2 2 2 2 3 3 2 1 3 1 2 3 2 3 3 3 32 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 32 2 2 . a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x xa x a x a x a x x a x x a x x 6、从变量 1 2 3、 、x x x 到变量 1 2 3、 、z z z 的线性变换为 1 2 3 3 2 0 6 1 11 0 1 0 1 1 2 3 1 .0 3 1 1 1 1 1 4 4 7、各工厂的总收入和总利润为5 10 20 16 0 55416 15 10

17、 14 4 51524 20 8 15 2 564. 5 1. 58 12 6 11 9 41 . 8 、设 11 1221 22aaZ aa ，由 AZB 得 1 1 1 22 1 2 21 2 4 32 1 8 3 aaaa ，即1 1 2 1 1 2 2 21 1 2 1 1 2 2 222 4322 83 a a a aa a a a，利用 1 1 2 1 2 1 1 11 1 2 124 0 , 428 aa aaaa ，利用1 2 2 21 2 2 21 2 2 223 1, 323 aa aaaa ，这时 4103Z . 9 、设 11 1221 22aaB aa ，由 ABBA

18、 得 1 1 1 2 1 1 1 22 1 2 2 2 1 2 20 1 0 10 0 0 0 a a a aa a a a，即1121 22210000 aaa a，故 21 11 220,a a a ，这时 0abB a ，其中 ,ab为常数 . 10、（ 1） 22 A B A B A B A A B B,故 AB BA ; （ 2） 2 2 2 2 22 A B A A B B A B A A B B，故 AB BA . 11、 1 2 3 7 8 9 5 4 32 2 0 4 5 0 1 0 1 1 0 2 10 0 6 0 0 1 1 0 0 1 AB ， 1 2 3 7 8 9

19、7 2 8 6 40 4 5 0 1 0 1 1 0 4 0 9 90 0 6 0 0 1 1 0 0 6 6 AB . 12、（ 1）根据对称矩阵的性质： TTT T T TA A A A A A，根据反对称矩阵的性质： TTT T T TA A A A A A； （ 2）根据可逆对称矩阵的性质： 111T TA A A. 13、（ 1）根据对称矩阵、反对称矩阵的性质： T T T T T T TA B B A A B B A B A A B B A A B A B B A； （ 2）先证必要性，若 AB 是反对称矩阵，则 AB BA ； AB 为反对称矩阵， A 为反对称矩阵， B 为对称

20、矩阵，则 T TTA B B A B A B A A B，即 ,AB可交换 . 再证充分性，若 AB BA ，则 AB 为反对称矩阵。设 A 为反对称矩阵， B 为对称矩阵，则 T TTA B B A B A B A A B，即 AB 为反对称矩阵 . 14、 TTT T T T TM NM M N M M NM. 15、（ 1） 1 2 3 1 0 0 1 4 7 3 0 0 2 4 73 4 5 6 3 0 1 0 2 5 8 0 3 0 2 2 87 8 9 0 0 2 3 6 9 0 0 6 3 6 3 TTTTAB ； （ 2） 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 4 7 1 4

21、 70 1 0 4 5 6 0 1 0 2 5 8 2 5 80 0 2 7 8 9 0 0 2 3 6 9 6 1 2 1 8 TTT TTA B B A . 16、 1 1 11 1 11 1 1 A ，则 21 1 1 1 1 1 3 1 11 1 1 1 1 1 1 3 11 1 1 1 1 1 1 1 3 A A A 。 17、用数学归纳法去证。当 2n 时， 2 1 0 1 0 1 01 1 2 1 A A A . 当 1nk 时， 1 1011 kA k 成立 . 则 nk时， 1 10 1 0 1 011 11 kkA A A k k ， 故 n 为正整数时， 101nA n.

22、 18、用归纳法去证 . 当 3n 时，31 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 01 1 1 1 1 2 10 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 A A A A 21 0 0 1 0 0 1 0 01 0 1 1 1 0 0 1 00 1 0 1 0 1 0 0 1 A A E； 当 1nk 时， 1 2 2 kkA A A E，等式成立； 则当 nk时， 1 2 1 3 k k k kA A A A A E A A A A 1 2 1 2 kkA A A E A A A E； 故 n 为正整数时， 12 nnA A A E成立 . 而 1 0 0 9 8

23、2 9 6 2 2 2 22 4 9 5 0 4 9 A A A E A A E A A E A E 1 0 0 1 0 0 1 0 05 0 1 1 0 4 9 0 1 0 5 0 1 01 0 1 0 0 1 5 0 0 1 . 19、因 AB AB ，而 0AB ，故 0, 0AB，则 ,AB均可逆 . 20、因 2 TTA A A A A A A，而 2 1A ，故 1A . 21 、设 1 1 1 212 2aaA aa ，则1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 212 23 9 3 93 9 1 02 5 2 52 5 0 1 a a a a a aA A Ea a a a

24、a a， 由 1 1 2 11 1 2 11 1 2 13 9 1 52,332 5 0 aa aa；由 1 2 2 21 2 2 21 2 2 23 9 0 3 , 12 5 1 aa aaaa； 即 1 1 1 212 1 2 25913 23 aaA aa . 22、 3925A，则 *1AA A，而 39 1 5 1 8 325 A， * 5923A，故1 5913 23 A . 23、（ 1） 1200AA A ，其中 1 5221A ， 2 8352A ，而 11121 2 2 3,2 5 5 8 AA，故211111 2 0 00 2 5 0 00 0 0 2 30 0 5 8

25、AAA； （ 2） 120 0AA A ，其中 1121,nnaA A aa，而 11111 1 121, nnaA A aa，故1111 1211110 0 0 00 0 0 0000 0 0 0nnaaAAAa. 24 、 2 1 231 231 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 02 2 1 0 1 0 0 2 5 2 1 0 0 2 5 2 1 03 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1 0 2 6 3 0 1 r r rrrAE2 13123 2 3 2322521 0 2 1 0 0 1 0 0 1 2 21 0 2 1 0 05 3 510 2

26、 5 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0 32 2 2 20 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 r rrrrr r r rr故 1 1 2 2353221 1 1 A . 321 2 2 1313 13 1 0 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 12 5 1 1 2 1 3 1 0 2 0 4 6 5 0 4 6 51 3 4 4 1 3 4 4 0 4 6 5 0 0 0 0、 rrr r r rrrAA（矩阵行阶梯形） 2 124 211101 1 2 1 243 5 3 50 1 0 12 4 2 40 0 0 0 0 0 0 0 r rr A（矩阵行最简形） .