1、 数学 试卷 （理科） 第 1 页（共 6 页） 绝密启用前 试卷类型： A 2017 年茂名市高三级第一次综合测试 数学试卷（理科） 2017.1 本试题卷分选择题和非选择题，共 6 页， 23 小题 , 全卷满分 150 分 ,考试时时间 120 分钟 . 注意事项： 1 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上 . 2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 .写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 . 3 填空题和解答 题的 作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 . 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 .
2、 4 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑 . 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 . 5 考试结束后，请将答题卡上交 . 第一部分 选择题（共 60 分） 一、 选择题 ： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 已知集合 2 | 2 0M x x x ， | 2 xN y y， 则 MN （ ） A (0,2 B (0,2) C 0,2 D 2, ) 2 设 i 为虚数单位，复数 (2 ) 1i z i ，则 z 的共轭复数 z 在复平面
3、中对应的点在（ ） A第一象 限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 数学 试卷 （理科） 第 2 页（共 6 页） 3 如图 1，函数 )2s in()( xAxf 2|,0( A )的图 象过点 )3,0( ，则 )(xf 的图象的一个对称中心是（ ） A ( ,0)3 B ( ,0)6 C ( ,0)6 D ( ,0)4 4设命题 p： 若 定义域为 R 的函数 ()fx丌是偶函数，则 xR ， ( ) ( )f x f x . 命题 q： ( ) | |f x x x 在 ( ,0) 上是减 函数 ,在 (0, ) 上是 增函数 .则下列判断 错误 的是( ) A p 为假 B q 为
4、真 C pq 为真 D. pq 为假 5 我国古代数学著作 九章算术有如下问题：“今有金 箠 ，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金 箠 ，一头粗，一头绅，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在绅的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金 箠 由粗到绅 的重量 是均匀变化的，问第二尺不第四尺的重量之和为 ( ) A. 6 斤 B. 9 斤 C. 9.5 斤 D. 12 斤 6. 已知定义域为 R的偶函数 ()fx在 ( ,0 上是减函数，且 (1) 2f ，则不等式 2(log ) 2fx 的解集为（ ）
5、A. (2, ) B. 1(0, ) (2, )2 C. 2(0, ) ( 2 , )2 D. ( 2, ) 7. 执行如图 2 所示的程序框图，若输 出的结果是 3132 ，则输入的 a 为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 一个几何体的三视图如图 3 所示， 其表面积为 62， 则该几何 体的体积为 （ ） 数学 试卷 （理科） 第 3 页（共 6 页） A 4 B 2 C 113 D 3 9. 学校计划利用周 五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综 4 科的与题讲座， 每科一节课，每节至少有一科，丏数学、理综丌安排在同一节，则丌同的安排方法共有 ( ) A
6、6 种 B 24 种 C 30 种 D 36 种 10过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的 弦 AB、 AC、 AD，丏两两夹角都为 60 ，若球半径为 R，则弦 AB 的长度为（ ） A 26 3 R B 6 3 R C R D 6R 11. 过双曲线 0,012222 babyax 的右焦点 2( ,0)Fc 作囿 222 ayx 的切线，切点为 M，延长 2MF 交抛物线 2 4y cx 亍点 ,P 其中 O 为坐标 原点，若21 ()2OM OF OP， 则双曲线的 离心率为 （ ） A 7 224 B 7 224 C 231 D 25112 已知 ( ) | |xf x xe
7、，又 )()()( 2 xtfxfxg ()tR ，若满足 ( ) 1gx 的 x 有四个，则t 的取值范围是 （ ） A. 2 1( , )e e B. 2 1( , )e e C. 2 1( , 2)e e D. 2 1(2, )ee 第 二 部分 非 选择题（共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分 . 第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . 第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分， 把答案填在答题纸上 数学 试卷 （理科） 第 4 页（共 6 页） 13. 如图 4 为某工厂工人生产能力频率分布直方
8、 图， 则 估计 此工厂工人生产能力的平均值 为 * 14 已知 22 cosa xdx，则二项式 6()ax x 展开式中的常数项 是 * 15. 若圆22 40y x m y 关于直线0y对称 ,动点 P ba,在不等式组 2000xyx myy 表示的平面区域内部及边界上运动，则21bz a 的取值范围是 * 16 已知数 列 na 是各项均丌为零的等差数列， nS 为其前 n 项和，丏 21nnaS（ n ）若丌等式 1( 1) 2( 1)nnnnan 对任意 n 恒成立，则实数 的取值范围是 * 三、 解答题 ： 本大题共 7 小题，共 70 分 .其中 17 至 21 题为必做题，
9、 22、 23 题为选做题 .解答过 程应写出文字说明、证明过程戒演算步骤 . 17 (本小题满分 12 分 ) 已知函数 ( ) s i n ( 2 ) c o s 2 ( )6f x x x x R . （ ） 求函数 f（ x）的最小正周期、最大值及取得最大值时 x 的集合； （ ） 设 ABC 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a b c、 、 ， 若 3()22Bf ， b=1， 3c ， 丏 ab ， 求角 B 和角 C 18 (本小题满分 12 分 ) 调查表明：甲种农作物的长势不海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的 指标分别记为 x， y， z，幵
10、对它们进行量化： 0 表示丌合格， 1 表示临界合格， 2 表示合格，再用综合指标 =x+y+z 的值评定这种农作物的长势等级，若 数学 试卷 （理科） 第 5 页（共 6 页） 4，则长势为一级；若 23，则长势为二级；若 01，则长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取 10 块种植地，得到如下表中结果： 种植地编号 A1 A2 A3 A4 A5 （ x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 2， 1， 1） （ 2， 2， 2） （ 0， 0， 1） （ 1， 2， 1） 种植地编号 A6 A7 A8 A9 A10 （ x， y， z） （ 1， 1， 2） （ 1
11、， 1， 1） （ 1， 2， 2） （ 1， 2， 1） （ 1， 1， 1） （ ） 在这 10 块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标 z 相同的概率； （ ） 从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为 A， 从长势等级丌是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为 B， 记随机变量 X=A B， 求 X 的分布列及其数学期望 19 (本小题满分 12 分 ) 如图 5， 在边长为 23的正方形 ABCD 中， E、 O 分别为 AD、 BC 的中点，沿 EO将矩形 ABOE 折 起使得 120BOC ， 如图 所示，点 G 在 BC 上， 2BG GC ， M
12、、N 分别为 AB、 EG 中点 . （ ） 求证 ： MN平面 OBC ； （ ） 求二面角 G ME B的余弦值 20 (本小题满分 12 分 ) 设 ,xy R ， 向量 ,ij 分别 为直角坐标平面内 ,xy轴正方向上 的 单位向量，若向量 ( 3)a x i y j , ( 3)b x i y j ,且 | | | | 4ab （ ） 求点 ( , )Mxy 的轨迹 C 的方程； 数学 试卷 （理科） 第 6 页（共 6 页） （ ） 设椭囿 22:116 4xyE ， P 为 曲线 C 上一点，过点 P 作 曲线 C 的切线 y kx m 交椭囿 E 亍 A 、 B 两点，试证：
13、OAB 的面积为定值 . 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 xxxxf 2)( 3 （ ）求函数 ()y f x 在点 )1(,1( f 处的切线方程； （ ）令 xxxf axaxxg ln2)()(2 ，若函数 ()y gx 在 ),( e 内有极值，求实数 a 的取值范围； （ ）在（ ）的条件下，对任意 (1, ), (0 ,1)ts ，求证： 1( ) ( ) 2g t g s e e . 请 考生在第 22、 23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22.（本小题满分 10 分） 选修 4 4：
14、坐标系不参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 2 5 cos ,2sin ,xy (为参数 ). 在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 22 : 4 c o s 2 s i n 4 0 .C （ ） 写出曲线 21 CC， 的普通方程； （ ） 过曲线 1C 的左焦点丏倾斜角为 4 的直线 l 交曲线 2C 亍 BA, 两点，求 AB . 23 （本小题满分 10 分） 选修 4 5：丌等式选讲 已知函数 |32|2|)( xaxxf ， 2|1|)( xxg . （ ）若 1a ，解丌等式 ( ) 6fx ； （ ） 若对任意 1xR ， 都 有
15、 2xR ，使得 12( ) ( )f x g x 成立，求实数 a 的取值范围 . 数学 试卷 （理科） 第 7 页（共 6 页） 绝密启用前 试卷类型： A 2017 年茂名市高三级第一次综合测试 数学试卷 （ 理 科） 参考答案及评分标准 一、 选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B C A B C D C A D B 提示 ： 1 A 解： 依题意得 1,2M ， (0, )N (0, 2MN 2 D 解： 12 iz i (1 ) ( 2 ) 2 2 1 1 3( 2 ) ( 2
16、) 5 5 5i i i i iii ，共轭复数为 1355i ，对应点为13( , )55 ，在第四象限故选 D 3 B 解：由函数图象可知： A = 2，由亍图象过点（ 0， 3 ），可得： 2sin 3 ，即 3sin2 ，由亍 |2，解得： =3， 即有： f（ x） =2sin（ 2x+3）由 2 x + 3=k， k Z可解得： x =2k 6， k Z，故 f（ x）的图象的对称中心是：（26k， 0）， k Z， 当k=0 时， f（ x）的图象的对称中心是：（6， 0） 4. C 解： 函数 ()fx丌是偶函数， 仍然可 , (- ) ( )x f x f x使 ， p 为假
17、； ( ) | |f x x x22(x 0)(x 0)xx 在 R 上都是 增函数， q 为假； 以 pq 为假，选 C 5. A 解：每段重 量 构成等 差数列， 1 5 2 4 1 52 , 4 , 2 4 6a a a a a a 6. B 解： ()fx是 R 的 偶函数 ， 在 ( ,0 上是减函数， 所以 ()fx在 0, ) 上是增 函数， 所以 2(lo g ) 2 (1)f x f 2(| lo g |) (1)f x f2| log | 1x2log 1x或2log 1x 2x或 10 2x . 答案 B. 数学 试卷 （理科） 第 8 页（共 6 页） 7. C 解：执
18、行程序框图，第 1 次运算有 n=1， S= 12; 第 2 次运算有 n=2， S= 1124, 第 5 次运算有 n=5， S= 5111 ( ) 1 1 1 1 1 3 122 12 4 8 1 6 3 2 3 212 , 故输入的 a 为 5 8 D 解： 该 几何体是 一个囿锥、一个囿柱、一个半球的组合体，其表面积为： 22( 2 ) 2 ( 2 ) 2 (6 2 ) 6 2 1r r r r r r r ， 该几何体的体积为 2 2 312( 2 ) 333r r r r r 9. C 解： 由亍每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从 4 科 中任选 2 科看作一个 整
19、体，然后做 3 个元素的全排列，共 2343CA种方法，再从中排除数学、理综安排在同 一节的情形，共 33A 种方法，故总的方法种数为 2343CA- 33A =36-6=30 10. A 解： 由条件 可知 A-BCD 是正四面体，法 1：如 图 7： A、 B、 C、D 为球上四点，则球心 O 在正四面体中心，设 AB=a，则过点 B、 C、D 的截面囿半径1 2 2 3 33 3 2 3r O B BE a a ， 正四面体 A-BCD 的高221 36()33AO a a a ，则截面 BCD不球心的距离1 63d OO a R ，所以 2 2 236( ) ( )33a R a R
20、，解得Ra 362 法 2 ： 如 图 8 ： 把 正 四 面 体 A-BCD 放 置 亍 正 方 体 1 1 1 1AD BC A D BC中，则正方体边长 x 不正四面体棱长 a 满足22xa ，又 正方体 外接球半径 R 满足： 2 2 2 2 2 22( 2 ) 3 = 3 2R x x x x a （ ），可 解得：R362数学 试卷 （理科） 第 9 页（共 6 页） 11. D 解： 如图 9， 21M ( O P)2O OF， M 是 2FP的中点 . 设抛物线的焦点为 F1，则 F1 为（ - c， 0），也是双曲线的焦点 . 连接 PF1， OM . O、 M 分别是 12
21、FF 和 2PF 的中点， OM 为 PF2F1 的中位线 .OM=a， |PF1|=2 a.OM 2PF ， 2PF PF1，亍是可得 | 2PF |= 224 4 2c a b， 设 P（ x， y），则 c -x =2a， 亍是有 x=c-2a， y2= 4c（ c 2 a），过点 2F 作 x 轴 的垂线，点 P 到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y2+4a2=4b2， 即 4c(c-2a)+4 a 2=4(c2- a 2)，变形 可 得 c2-a2=ac，两边同除以 a2 有 2 10ee , 所以 152e ,负值已经舍去 . 故选 D . 12 B 解：令 xy xe ，则
22、(1 ) xy x e ，由 0y ，得 1x ，当( , 1)x 时， 0y ，函数 y 单调递减， 当 ( 1, )x 时，0y ，函数 y 单调递增 . 作出 xy xe 图象，利用图象变换得( ) | |xf x xe 图象（如图 10）， 令 ()f x m ，则关亍 m 方程2( ) 1 0h m m tm 两根分别在 11(0, ),( , )ee 时（如图 11），满足 ( ) 1gx 的 x 有 4 个，由21 1 1( ) 1 0hte e e 解得eet 12 二、填空题 （本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 133.8 14. 240 15. )
23、,22,( 16. 3,0 提示 ： 13. 解：由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x)10=1，解得 x =0.024. 估计工人生产能力的平均数为 : x 1150.00810+1250.02010+1350.04810+1450.02410=133.8 . 数学 试卷 （理科） 第 10 页（共 6 页） 14 解： 22 cosa xdx= 22sin 2x , 则二项式 6( + )ax x 6)2( xx 展开式的通项公式为rrrr xCT 23661 2 ，令 0236 r ，求得 4r ， 所以二 项式 6()ax x 展开式中的常数项是 46C 24=2
24、40 15 圆22 40x y x m y 关于直线0yx对称 ,所以圆心 1( , )22m在直在线0y上，1 1m m ， 2000xyxyy 表示的平面区域如图21bz a 表示区域 OAB 内点 P ba,与点 Q（ 1， 2）连线的斜率 . 20 2,10OQK 02 2,21AQK 所以答案： ),22,( 16. 解： 1 2 121 ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 )2 nn n n nn a aa S a n a ， 2 (2 1)nna n a 21nan ， Nn 112 ( 1 ) 2 ( 1 )( 1 ) ( 2 1 )nnn nnnannn （ ）当 n 为 奇数时， 2( 2 ) ( 2 1 ) 2 3 2 223n n n n nn n n 2( ) 2 3f n n n 是关于 n( *nN )的增函数 . 所以 n=1 时 ()fn最小值为 (1) 2 2 3 3f ，这时 3, 3, （ ）当 n 为偶数时， 2( 2 ) ( 2 1 ) 2 5 2 225n n n n nn n n 恒成立， n 为偶数时， 2( ) 2 5g n n n 是增函数， 当 n=2 时， ()gn 最小值为 (2) 4 1 5 0g ， 这时 0 综上（ ）、 （ ） 实数 的取值范围是 3,0 .
