1、 Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 江苏省扬州中学高三 模拟考试 数 学 试 题 2013.5.17 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分 .） 1.复数 2+ii 在复平面上对应的点在第 象限 2.已知集合 1 2 , 1A x x B x x ,则 (C )ABR = 3.已知直线 1l ： 2 1 0ax y a 和 2l ： 2 ( 1) 2 0x a y ()aR ，则 12ll 的充要
2、条件是 a 4.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是 31，则判断框中的整数 M 的值是 5.若命题 “ Rx ，使得 2 ( 1) 1 0x a x ”为假命题，则实数 a的范围 6.已知圆锥的母线长为 cm5 ，侧面积为 215 cm ，则此圆锥的体积为 _ 2cm 7.已 知 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，若 7 7S ， 15 75S ，则数列 nSn的前 20 项和为 8.已知奇函数 ()fx的图像关于直线 2x 对称，当 0,2x 时， ( ) 2f x x ，则 (9)f 9.若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上的任意一点，则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为
3、 10.已知 O 为 ABC 的外心，若 3 4 5O A O B O C 0，则 C 等于 11.已知 A， B， P 是双曲线 221xyab上不同的三点，且 A， B 连线经过坐标原点，若直线 PA，PB 的斜率乘积 12PA PBkk，则该双曲线的离心率为 12.已知 ,abc成等差数列，点 ( 1,0)M 在直线 0ax by c 上的射影点为 N ，点 (1,1)P ，则 PN 的最大值为 _ 13.对于实数 x ，将满足 “01y且 xy 为整数 ”的实数 y 称为实数 x 的小数部分，用符号（第 4 题） 开始 结束 A 1, S 1 S S+2A A A+ 1 输出 S N
4、Y A M Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： x 表示已知无穷数列 na 满足如下条件： 1aa ； 11 ( 0 )0 ( 0 )nn nnaa aa 当13a 时，对任意 *nN 都有 naa ，则 a 的值为 14.已知函数 2 13( ) ( 0 )24f x a x x a ，若在任意长度为 2 的闭区间上总存在两点 12,xx，使得12 1( ) ( ) 4f x f x成立，则 a 的最小值为 _ 二、解答题
5、： （ 15、 16 为 14 分， 17、 18 为 15 分 19、 20 为 16 分） 15.己知在锐角 ABC中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc， 且2 2 2tan .abC a b c （ 1） 求角 C 大小； （ 2）当 1c 时，求 22ab 的取值范围 来源 :Z&xx&k.Com来源 :学 +科 +网 来源 :学科网 ZXXK 16.如图 ,在四棱锥 P ABCD 中 ,四边形 ABCD 是菱形 , PA PC ,E 为 PB 的中点 . (1)求证 : PD 面 AEC ； (2)求证 :平面 AEC 平面 PDB . 17在综合实践活动中 ,因制作一个工艺品
6、的需要 ,某小组设计了如图所示的一个门 (该图为轴对称图形 ),其中矩形 ABCD 的三边 AB 、 BC 、 CD 由长 6 分米的材料弯折而成 , BC 边的长为 2t 分米 ( 31 2t )；曲线 AOD 拟从以下两种曲线中选择一种 :曲线 1C 是一段余弦曲线 (在如图所示的平面直角坐C A B D P E 第 16 题 第 17 题 A D C B O x y Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 标系中 ,其解析
7、式为 cos 1yx),此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 1()ht；曲线 2C 是一段抛物线 ,其焦点到准线的距离为 98 ,此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 2()ht. (1)试分别求出函数 1()ht、 2()ht的表达式； (2)要使得点 O 到 BC 边的距离最大 ,应选用哪一种曲线 ?此时 ,最大值是多少 ? 18已知椭圆 )0(12222 babyax 的左右焦点分别为 21,FF ，短轴两个端点为 BA, ，且四边形 BAFF 21 是边长为 2 的正方形 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若 DC, 分别是椭圆长轴的左右端点，动点 M 满足 CDMD ，连
8、接 CM ，交椭圆于点P 证明： OMOP 为定值； （ 3）在（ 2）的条件下，试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 MQDP, 的交点，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 19. 已 知 函 数 321() 3f x x a x b x , 且 10f (1) 试用含 a 的代数式表示 b ， 并求 ()fx的单调区间； （ 2）令 1a ,设函数 ()fx 在 1 2 1 2, ( )x x x x 处取得极值，记点 M ( 1x , 1()fx )，N( 2x , 2()fx )， P( , ( )mf m ), 12x m x
9、 ,若线段 MP 与曲线 f(x)有异于 M， P 的公共点，试确定 m 的 取值范围。 yxPBC DAF 1 O F 2MHttp:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 20.已知直角 ABC的三边长,abc， 满足 （ 1）在,ab之间插入 2011 个数，使这 2013 个数构成以 a为首项的等差数列na，且它们的和 为 2013，求 c 的最小值 ； （ 2）已知 ,abc均为正整数，且 ,abc成等差数列，将满足条件的三角形
10、的面积从小到大排成一列 nSSSS , 321 ，且nnn SSSST )1(321 ，求满足不等式12 26 nnT的所有 n的值 ； （ 3）已知 ,abc成等比数列，若数列 nX满足5 ( )nnn caX n Nac ，证明： 数列 nX中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且 nX是正整数 . 附加题部分 21 选做题 在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2 题 ,每小题 10 分 ,计 20 分 .请把答案写在答题纸的指定区域内 . A.（选修 41：几何证明选讲） 如图， O 的半径 OB 垂直于直径 AC ， D 为 AO 上一点， BD 的延长线交 O 于点 E
11、 ，过 E 点的圆的切线交 CA 的延长线于 P . 求证： 2PD PA PC. A B C P O E D Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： B（选修 42：矩阵与变换） 已知矩阵 110 1, 202 01 AB，若矩阵 AB 对应的变换把直线 l ： 20xy 变为直线l ，求直线 l 的方程 . C（选修 44：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆 C 的方程为 4 2 cos( )4，以极点为坐标原点，极轴为
12、x 轴的正半轴建立平面直 角坐标系，直线 l 的参数方程为 11xtyt （ t 为参数），求直线 l 被 C 截得的弦 AB 的长度 . D.（选修 45：不等式选讲） 已知 x y z、 、 均为正数，求证：2 2 23 1 1 1 1 1 1()3 x y z x y z . 必做题 第 22、 23 题 ,每小题 10 分 ,计 20 分 .请 把答案写在答题纸的指定区域内 . 22.由数字 1， 2， 3， 4组成五位数 1 2 3 4 5aaaaa ，从中任取一个 （ 1）求取出的数满足条件： “对任意的正整数 15jj ，至少存在另一个正整数 (1 5kk ，且 )kj ，使得
13、jkaa ”的概率； （ 2）记 为组成该数的相同数字的个数的最大值，求 的概率分布列和数学期望 Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 23.记 )21()21)(21( 2 nxxx 的展开式中， x 的系数为 na ， 2x 的系数为 nb ,其中 *Nn (1)求 na （ 2）是否存在常数 p,q(p1 时 , 1 2 1a 当 x 变化时， ()fx与 ()fx的变化情况如下表： x ( ,1 2 )a (1 2 ,
14、 1)a( 1, ) ()fx + + ()fx 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数 ()fx的单调增区间为 ( ,1 2 )a 和 ( 1, ) ，单调减区间为 (1 2 , 1)a。 当 1a 时， 1 2 1a 此时有 ( ) 0fx 恒成立，且仅在 1x 处 ( ) 0fx ，故函数()fx的单调增区间为 R 当 1a 时， 1 2 1a 同理可得，函数 ()fx的单调增区间为 ( , 1) 和 (1 2 , )a ，单调减区间为 ( 1,1 2 )a 综上：当 1a 时，函数 ()fx的单调增区 间为 ( ,1 2 )a 和 ( 1, ) ，单调减区间为(1 2 , 1)a；
15、 当 1a 时，函数 ()fx的单调增区间为 R； 当 1a 时，函数 ()fx的单调增区间为 ( , 1) 和 (1 2 , )a ，单调减区间为 ( 1,1 2 )a . （ 2）由 1a 得 321( ) 33f x x x x ， 2( ) 2 3 0f x x x ，得 121, 3xx 由（ 1 ）得的 ()fx 单调增区间为 ( , 1) 和 (3, ) ，单调减区间为 (1,3) ，故M( 51,3 ).N( 3, 9 )。 直线 MP 的方程为 224 5 4 .33m m m myx Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网
16、 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 由22324 5 4331 33m m m myxy x x x 得 3 2 2 23 ( 4 4 ) 4 0x x m m x m m 线段 MP 与曲线 ()fx有异于 M， P 的公共点等价于上述 方程在 ( 1,m)上有根 ,即函数 3 2 2 2( ) 3 ( 4 4 ) 4g x x x m m x m m 在 (-1,m)上有零点 . 因为函数 ()gx 为三次函数 ,所以 ()gx 至多有三个零点 ,两个极值点 . 又 ( 1) ( ) 0g g m .因此 ,
17、 ()gx 在 ( 1, )m 上有零点等价于 ()gx 在 ( 1, )m 内恰有一个极大值点和一个极小值点 ,即 22( ) 3 6 ( 4 4 ) 0 (1 , )g x x x m m m 在内有两不相等的实数根 . 等价于222223 6 1 2 4 4 03 ( 1 ) 6 ( 4 4 ) 03 6 ( 4 4 ) 01mmmmm m m mm （ ） 即 152 1 , 2 51mm m mm 或 解 得 又因为 13m ,所以 m 的取值范围为 2,3 20. 解 ： （ 1）na是等差数列， 20132 )(2013 ba，即 2ba. 2 分 所以2222 bac， c 的
18、最小值为 ； 4 分 （ 2）设,abc的公差为()d d Z，则2 2 2( ) ( 2 )a a d a d 3ad 5 分 设三角形的三边长为3 ,4 ,5d d d，面积21 3 4 6 ( )2dS d d d d Z ，26nSn， )2(432162222223212 nSSSST nn nnn 612)24321(6 2 . 7 分 由12 26 nnT得nnn 2212 ， 当 5时， nnnnnnnnn 21)(222 )1(1 22 ，经检验 当4,3,2n时，nnn 2212 ，当 1n时，nn 2212 . 9 分 综上所述，满足不等式12 26 nnT的所有 n的值为 2、 3、 4. 10 分
