1、 绝密启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （湖南卷） 数学（文科） 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量 120 分钟，满分 150 分。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知 2(1 ) 1i iz （ i 为虚数单位），则复数 z A.1i B.1i C. 1i D. 1i 2.在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图 1 所示 若将运动员按成绩由好到差编为 1-35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 139,151上
2、的运动人数是 A.3 B.4 C.5 D.6 3.设 xR ，则 “ 1x ” 是 “ 3 1x ” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若变量 ,xy满足约束条件 则 2z x y的最小值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 5.执行如图 2 所示的程序框图，如果输入 3n ， 则输出的 S A. B. C. D. 6. 若双曲线 221xyab的一条渐近线经过点（ 3， -4），则此双曲线的离心率为 A. 73 B.54 C.43 D.53 7. 若实数 ,ab满足 12 abab ，则 ab 的最小值为 A. 2 B.2 C.2 2 D
3、.4 8. 设函数 ( ) ln (1 ) ln (1 )f x x x ，则 ()fx是 A.奇函数，且在（ 0,1）上是增函数 B.奇函数，且在（ 0,1）上是减函数 C.偶函数，且在（ 0,1）上是增函数 D.偶函数，且在（ 0,1）上是减函数 9. 已知点 ,ABC 在圆 221xy上运动，且 AB BC，若点 P 的坐标为（ 2,0），则 |PA PB PC的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9 10. 某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率 = 新工件的体积
4、 /原工件的体积） A. 89 B. 827 C. 324 2 1 D. 38 2 1二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11. 已知集合 U=1,2,3,4， A=1， 3， B=1,3,4，则 ()UAB _ 12. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴建立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为 2sin ，则曲线 C 的直角坐标方程为 _ 13. 若直线 3 4 5 0xy 与圆 2 2 2 ( 0)x y r r 相交于 ,AB两点，且 120AOB（ O 为坐标原点），则 r _. 14. 若函数 ( ) | 2 2 |xf x b 有两
5、个零点，则实数 b 的取值范围是 _ 15. 已知 0 ，在函数 2sinyx 与 2cosyx 的图像的交点 中 ，距离最短的两个交点的距离为 23，则 =_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是：从 装 有 2 个红球 12,AA和 1 个 白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 12,aa和 2 个白球 12,bb的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖。 （ ）用球的标号列出所有可能的摸出结果 ； （
6、）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。 17. （本小题满分 12 分） 设 ABC 的内角 ,ABC 的对边分别为 , , , tana b c a b A . （）证明： sin cosBA ； （）若 3sin sin c o s 4C A B，且 B 为钝角，求 ,ABC . 18.（本小题满分 12 分） 如图 4，直三棱柱 1 1 1ABC ABC 的底面是边长为 2的正三角形，,EF分 别是 1,BCCC 的中点 . （）证明：平面 AEF平面 11BBCC ； （）若直线 1AC 与平面 11AABB 所成的角为 45，
7、求三棱锥F AEC 的体积 . 19 （本小题满分 13 分） 设数列 na 的前 n 项和为 nS ， 已知 121, 2aa， 且 *213 3 ,n n na S S n N . （） 证明： 2 3nnaa ； （） 求 nS 。 20.（本小题满分 13 分） 已知抛物线 21 :4C x y 的焦点 F 也 是 椭圆 222 : 1 ( 0 )yyC a bab 的一个焦点 ， 1C 与 2C的公共弦的长为 2 6 .过点 F 的直线 l 与 1C 相交于 ,AB两点，与 2C 相交于 ,CD两点，且 AC 与BD 同向。 （） 求 2C 的方程； （） 若 | | | |AC B
8、D ，求直线 l 的斜率。 21.（本小题满分 13 分） 已知 0a ，函数 ( ) c o s ( 0 , ) )xf x a e x x 。记 nx 为 ()fx的从小到大的第 *()nn N 个极值点。 （）证明：数列 ( )nfx 是等比数列； （）若对一切 * , | ( ) |nnn N x f x恒成立，求 a 的取值范围。 参考答案 一、选择题： 1. D 2.B 3.C 4.A 5.B 6.D 7.C 8.A 9.B 10.A 二、填空题： 11. 1， 2， 3 12. 2220x y y 13. 2 14. （ 0， 2） 15. 2三、解答题： 16解： （）所有可能
9、的摸出结果是 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 , , , , , , , , , , , ,A a A a A b A b A a A a 2 1 2 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , .A b A b B a B a B b B b （） 不正确。理由如下： 由 （） 知，所有可能的摸出结果共 12 种， 其中摸出的 2 个球都是红球的结果为 1 1 1 2 2 1 2 2 , , , , , , , ,A a A a A a A a 共 4 种，所以中奖的概率为 4112 3 ，不中奖的概率为 1 2 11 333 ，故这种说法不正确。 17.
10、解： （） 由 tana b A 及正弦定理，得 sin sincos sinA a AA b B ，所以 sin cosBA （） 因为 s i n s i n c o s s i n 1 8 0 ( ) s i n c o sC A B A B A B s in ( ) s in c o sA B A B s i n c o s c o s s i n s i n c o sA B A B A B cos sinAB 所以 3cos sin 4AB 由 （） sin cosBA ，因此 2 3sin 4B 。又 B 为钝角，所以 3sin 2B ，故 120B 。 由 3cos sin 2
11、AB知 30A 。从而 1 8 0 ( ) 3 0C A B 综上所述， 3 0 , 1 2 0 , 3 0A B C 18. 解： （）如图 a ，因为三棱柱 1 1 1ABC ABC 是直三棱柱，所以 1AE BB ， 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 AE BC 因此 AE 平面 11BBCC 而 AE 平面 AEF ，所以，平面 AEF 平面 11BBCC （）设 AB 的中点为 D ，连结 1 ,ADCD 因为 ABC 是正三角形，所以 CD AB 又三棱柱 1 1 1ABC ABC 是直三棱柱，所以 1CD AA 因此 CD 平面 11AABB ，于是 1CAD
12、 为直线 1AC 与平面 11AABB 所成的角 由题设， 1 45CAD，所以1 3 32A D C D A B 在 1Rt AAD 中 ， 2211 3 1 2A A A D A D ，所以11222FC AA故三棱锥 F AEC 的体积 1 1 3 2 63 3 2 2 1 2AECV S F C 19解： （） 有条件，对任意 *nN ，有 2133n n na S S ， 因而对任意 *nN ， 2n ，有 1133n n na S S 两式相减，得 2 1 13n n n na a a a ，即 2 3 , 2nna n 又 121, 2aa，所以 3 1 2 1 1 2 13 3
13、 3 ( ) 3 3a S S a a a a 故对一切 *nN ， 2 3nnaa （） 由 （） 知， 0na ，所以 2 3nnaa ，于是数列 21na 是首项 1 1a ，公比为 3 的等比数列； 数列 2na 是首项 2 2a ，公比为 3 的等比数列，因此 112 1 23 , 2 3nnnnaa 于是 2 1 2 2.nnS a a a 1 3 2 1 2 4 2( . . . ) ( . . . )nna a a a a a 11(1 3 . . . 3 ) 2 (1 3 . . . 3 )nn 13(1 3 . 3 )n 3(3 1)2n 从而 122 1 2 2 3 (
14、3 1 ) 32 3 ( 5 3 1 )22n nnn n nS S a 综上所述，3223 ( 5 3 1 ) ,23 3 - 1 ,2nn nnSn 当 是 奇 数 ，（ ） 当 是 偶 数 .20解： （） 由 21 :4C x y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) ，因为 F 也是椭圆 2C 的一个焦点，所以 221ab 又 1C 与 2C 的公共弦的长为 26， 1C 与 2C 都关于 y 轴对称，且 1C 的方程为 2 4xy ，由此易知 1C 与 2C 的公共点的坐标为 3( 6, )2 ，所以 229614ab 联立得 229, 8ab，故 2C 的方程为 22198yx （
15、） 如图 b ，设 1 1 2 2 3 3 4 4( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )A x y B x y C x y D x y 因 AC 与 BD 同向，且 | | | |AC BD ，所以 AC BD ，从而 3 1 4 2x x x x ，即1 2 3 4x x x x ，于是 221 2 1 2 3 4 3 4( ) 4 ( ) 4x x x x x x x x 设直线 l 的斜率为 k ，则 l 的方程为 1y kx 由21,4y kxxy 得 2 4 4 0x kx ，而 12,xx是这个方程的两根，所以 1 2 1 24 , 4x x k x x 由 2
16、21,189y kxxy 得 22( 9 8 ) 1 6 6 4 0k x kx ，而 34,xx是这个方程的两根，所以 3 4 3 4221 6 6 4,9 8 9 8kx x x xkk 将代入，得 222 2 21 6 4 6 41 6 ( 1 ) ( 9 8 ) 9 8kk kk ，即 222221 6 9 ( 1 )1 6 ( 1 ) ( 9 8 )kk k ， 所以 22(9 8 ) 16 9k ，解得 64k ，即直线 l 的斜率为 64 21解： （） ( ) s in c o sa x a xf x a e x e x ( sin co s )axe a x x 2 1 si
17、n( )axa e x 其中 1tan , 0 2a 令 ( ) 0fx ，由 0x 得 xm ，即 *,x m m N 对 kN ，若 2 ( 2 1)k x k ，即 2 ( 2 1 )k x k ，则 ( ) 0fx ； 若 ( 2 1 ) ( 2 2 )k x k ，即 ( 2 1 ) ( 2 2 )k x k ，则 ( ) 0fx 因此，在区间 ( 1) , )mm 与 ( , )mm 上， ()fx 的符号总相反，于是 当 *()x m m N 时， ()fx取得极值，所以 *()nx n n N 此时 ， ( ) 1 ( )( ) s i n ( ) ( 1 ) s i na n
18、 n a nnf x e n e ，易知 ( ) 0nfx ，而 2 ( 1 ) 11 ( )() ( 1 ) sin( ) ( 1 ) sinn a n ann a nnfx e ef x e 是常数，故数列 ( )nfx 是首项为 ()1( ) sinaf x e ，公比为 ae 的等比数列。 （） 对一切 * , | ( ) |nnn N x f x恒成立，即 343242 nxane 恒成立，亦即 34234nxea n恒成立（因为 0a ） 设 ( ) ( 0)eg t tt，则2( 1)() etgt t ，令 () 0gt 得 1t 当 01t 时， () 0gt ，所以 ()gt 在区间（ 0,1）上单调递减； 当 1t 时， () 0gt ，所以 ()gt 在区间 (1, ) 上单调递增。 因为 1 (0,1)x ，且当 2n 时， 1(1, ),n n nx x x ，所以 4m i n 1 2 54 ( ) m i n ( ) , ( ) m i n ( ) , ( ) ( )4 4 4ng x g x g x g g g e 因此， | ( )|nnx f x 恒成立，当且仅当 424ea 解得 424ae 。故 a 的取值范围是 42 , )4 e 。
