1、 1 / 14 导数 高考题 一、 导数的基本应用 （一）研究含参数的 函数的单调性、极值和最值 基本思路：定义域 疑似极值点 单调区间 极值 最值 基本方法： 一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（ 1）二次函数分析法；（ 2）单调性定义法 第一组 本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧 【例题 1】 已知函数22() ( 1)xbfx x ，求导函数 ()fx ，并确定 ()fx的单调区间 解： 242 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 )() ( 1 )x x b xfx x 32 2 2( 1)xbx 32 ( 1)( 1)xbx 令 ( ) 0fx
2、，得 1xb 当 11b ，即 2b 时， 2() 1fx x ，所以函数 ()fx在 ( 1)， 和 (1 )， 上单调递减 当 11b ，即 2b 时， ()fx 的变化情况如下表： x ( 1)b ， 1b ( 11)b， (1 )， ()fx 0 当 11b ，即 2b 时， ()fx 的变化情况如下表： x ( 1)， (1 1)b， 1b ( 1 )b ， ()fx 0 所以， 2b 时，函数 ()fx在 ( 1)b ， 和 (1 )， 上单调递减，在 ( 11)b， 上单调递增， 2b 时，函数 ()fx在 ( 1)， 和 (1 )， 上单调递减 2b 时，函数 ()fx在 (
3、1)， 和 ( 1 )b ， 上单调递减，在 (1 1)b， 上单调递增 第二组 本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题 2 】 已 知 函 数 32( ) 2f x x m x n x 的图象过点 (1, 6) ，且函数( ) ( ) 6g x f x x的图象关于 y 轴对称 .（）求 mn、 的值及函数 ()y f x 的单调区间；（）若 0a ，求函数 ()y f x 在区间 ( 1, 1)aa内的极值 . 解：（）由 函数 ()fx图象过点 ( 1, 6) ，得 3mn ， 由 32( ) 2f x x m x n x ， 得 2( ) 3 2f x x m
4、 x n ， 则2( ) ( ) 6 3 ( 2 6 )g x f x x x m x n ； 而 ()gx 图象关于 y 轴对称，所以 26023m ，所以 3m ， 2 / 14 代入得 0n .于是 2( ) 3 6 3 ( 2 )f x x x x x . 由 ( ) 0fx 得 2x 或 0x ，故 ()fx的单调递增区间是 ( ,0) ， (2, ) ； 由 ( ) 0fx 得 02x，故 ()fx的单调递减区间是 (0,2) . （）由（）得 ( ) 3 ( 2)f x x x ，令 ( ) 0fx 得 0x 或 2x . 当 x 变化时， ()fx 、 ()fx的变化情况如下表
5、： x ( ,0) 0 (0,2) 2 (2, ) f(x) 0 0 f(x) 增 极大值 减 极小值 增 由此可得：当 01a时， ()fx在 ( 1, 1)aa内有极大值 (0) 2f ，无极小值； 当 1a 时， ()fx在 ( 1, 1)aa内无极值； 当 13a时， ()fx在 ( 1, 1)aa内有极小值 (2) 6f ，无极大值； 当 3a 时， ()fx在 ( 1, 1)aa内无极值 . 综上所述，当 01a时， ()fx有极大值 2 ，无极小值；当 13a时， ()fx有极小值6 ，无极大值；当 1a 或 3a 时， ()fx无极值 . 点评：本题是前面两个例题的变式，同样考
6、查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平 . 【例题 3】已知函数 2( ) 1 lnf x x a xx ， a 0， (I)讨论 ()fx的单调性 ; (II)设 a=3，求 ()fx在区间 1， 2e 上值域 .其中 e=2.71828是自然对数的底数 . 解：（）由于 /22( ) 1 afx xx ,令 1t x 得 /2( ) 2 1 ( 0 )f x t a t t 当 2 80a ，即 0 2 2a 时， /( ) 0fx 恒成立， ()fx在 ( ,0),(0
7、, ) 上都是增函数 . 当 2 80a ，即 22a 时， 由 22 1 0t at 得 2 84aat 或 2 84aat 3 / 14 0x 或 2 82aax 或 2 80 2aax 又由 22 1 0t at 得 228844a a a at ， 2288a ax 综上 ,当 0 2 2a ()fx在 ( ,0),(0, ) 上都是增函数； 当 22a ()fx在 2 8( , 0 ), (0 , )2aa 及 2 8( , )2aa上都是增函数， 在 2288( , )a a a a 是减函数 . （ 2）当 3a 时，由（ 1）知， ()fx在 1， 2上是减函数，在 22, e
8、 上是增函数 . 又 2222( 1 ) 0 , ( 2 ) 2 3 l n 2 0 , ( ) 5 0f f f e e e 函数 ()fx在区间 1， 2e 上的值域为 2222 3 ln 2 , e 5 e . 点评： （ 1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧； （ 2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题 . （ 二 ） 利用函数的单调性、极值 、 最值 ， 求参数取值范围 基本思路：定义域 单调区间、极值、最值 不等关系式 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等 【例题 4
9、】已知函数 32( ) 2 2f x x b x cx 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 5 10yx. （ I）求函数 ()fx的解析式； （ II）设函数 1( ) ( ) 3g x f x m x， 若 ()gx 的极值存在 ，求实数 m 的取值范围以及函数 ()gx取得极值时对应的自变量 x 的值 . 解： （ I）由已知 ,切点为 (2,0),故有 (2) 0f ,即 4 3 0bc 又 2( ) 3 4f x x b x c ，由已知 (2 ) 1 2 8 5f b c 得 8 7 0bc 联立 ，解得 1, 1bc .所以函数的解析式为 32( ) 2 2f x x x x
10、（ II）因为 32 1( ) 2 2 3g x x x x m x 令 2 1( ) 3 4 1 03g x x x m 4 / 14 当函数有极值时，方程 2 13 4 1 03x x m 有实数解 .则 4(1 ) 0m ，得 1m . 当 1m 时， ( ) 0gx 有实数 23x ，在 23x 左右两侧均有 ( ) 0gx ，故 ()gx 无极值 当 1m 时， ( ) 0gx 有两个实数根1211( 2 1 ) , ( 2 1 ) ,33x m x m ( ), ( )g x g x情况如下表： x 1( , )x 1x 12( , )xx 2x 2()x ()gx + 0 - 0
11、 + ()gx 极大值 极小值 所以在 ( ,1)m 时，函数 ()gx 有极值； 当 1 (2 1 )3 xm时， ()gx 有极大值；当 1 (2 1 )3 xm时， ()gx 有极小值； 点评： （ 1） 本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求 . （ 2） 本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大 . 【例题 5】 设 aR ， 函数 23 3)( xaxxf （ ）若 2x 是函数 )(xfy 的极值点，求 a 的值； （ ）若函数 ( ) ( ) ( ) 0 2 g x f x f x x ， ，在 0x 处取得
12、最大值，求 a 的取值范围 解：（ ） 2( ) 3 6 3 ( 2 )f x a x x x a x 因为 2x 是 函数 ()y f x 的极值点 ，所以 (2) 0f ，即 6(2 2) 0a，因此1a 经验证，当 1a 时， 2x 是函数 ()y f x 的极值点 （ ） 由题设， 3 2 2 2( ) 3 3 6 ( 3 ) 3 ( 2 )g x a x x a x x a x x x x 当 ()gx 在区 间 02， 上的最大值为 (0)g 时， (0) (2)gg ，即 0 20 24a 故得 65a 反之，当 65a 时，对任意 02x ， ， 5 / 14 26( ) (
13、3 ) 3 ( 2 )5g x x x x x 23 (2 10)5x xx 3 (2 5)( 2)5x xx 0 ， 而 (0) 0g ，故 ()gx 在区间 02， 上的最大值为 (0)g 综上， a 的取值范围为65 ， 点评： （ 1） 本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度 . （ 2） 本题若用一般方法，则可求出 g(0)=0，将问题转化为 g(x) 0 的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大 . （三）导数的几何意义 【例题 6】 设函数 () bf x ax x，曲线 ()y f x 在点 (2, (2)f 处的切线方程为7 4 1
14、2 0xy . （ ） 求 ()y f x 的解析式； （ ） 证明：曲线 ()y f x 上任一点处的切线与直线 0x 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值 . 解： （ ） 方程 7 4 12 0xy 可化为 7 34yx，当 2x 时， 12y ； 又 2bf x a x，于是1222744baba ，解得 13ab， 故 3f x x x （ ） 设 00,P x y 为曲线上任一点，由 231y x知曲线在点 00,P x y 处的切线方程为 002031y y x xx ，即 00200331y x x xxx 令 0x ，得06y x ，从而得切线与直线 0x 的交
15、点坐标为060, x； 令 yx ，得 02y x x ，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为 002 ,2xx； 所以点 00,P x y 处的切线与直线 0,x y x所围成的三角形面积为0016262 xx； 6 / 14 故曲线 y f x 上任一点处的切线与直线 0,x y x所围成的三角形面积为定值 6. 二 、 导数应用 的变式与转化 （一） 函数的零点 存在与分 布 问题 问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法： 通性通法：函数最值控制法 特殊方法：（ 1）二次函数判别式法；（ 2）零点存在性定理 第一组 二次函数 （ 1） 本组题旨在加深对二次函数零
16、点存在性与分布问题的认识； （ 2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （ 3） 研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做方法上的铺垫 . 【例题 7】设函数 329( ) 62f x x x x a （ 1）略 ； （ 2）若方程 ( ) 0fx 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围 . 解：因为 当 1x 时 , ( ) 0fx ;当 12x时 , ( ) 0fx ;当 2x 时 , ( ) 0fx ; 所以 当 1x 时 , ()fx取极大值 5(1) 2fa; 当 2x 时 , ()fx取极小值 (2) 2fa ; 故
17、当 (2) 0f 或 (1) 0f 时 , 方程 ( ) 0fx 仅有一个实根 . 解得 2a 或 52a . 点评：本题是零点问题的方程形式，用函数最值控制法解答，属于本类问题的原型题 . 【例题 8】 已知二次函数 )(xgy 的导函数的图像与直线 2yx 平行 ， 且 )(xgy 在 x = 1 处取得最小值 m 1(m 0 ).设函数 xxgxf )()( （ 1）若曲线 )(xfy 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 ； （ 2） )( Rkk 如何取值时 ,函数 kxxfy )( 存在零点 ,并求出 零点 . 解：（ 1）设 2g x ax bx c
18、 ，则 2g x ax b ； 又 gx 的图像与直线 2yx 平行 22a，解得 1a 又 gx在 1x 取极小值， 12b ， 解得 2b 7 / 14 1 1 2 1g a b c c m ，解得 cm ； 所以 2gx mf x xxx ， 设 ,ooP x y ，则 22 2220 0 0 002 mP Q x y x x x 2220 202 2 2 2 2mxmx 22 2 2 4m ,解得 22m ； w. w. w. k.s.5.u.c.o.m （ 2）由 1 2 0my f x k x k x x ，得 21 2 0k x x * 当 1k 时，方程 * 有一解 2mx ，
19、函数 y f x kx有一零点 2mx ； 当 1k 时，方程 * 有二解 4 4 1 0mk ， 若 0m ， 11k m ， y f x kx有两个零点 2 4 4 1 1 1 12 1 1m k m kx kk ； 若 0m ， 11k m ， y f x kx有两个零点 2 4 4 1 1 1 12 1 1m k m kx kk ； 当 1k 时，方程 * 有一解 4 4 1 0mk ，即 11k m , y f x kx有一零点11x k 点评： （ 1） 本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思 维难度不大； （ 2） 第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程
20、的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原型问题和重点问题 . 【例题 9】已知 a 是实数，函数 axaxxf 322 2 ，如果函数 xfy 在区间 1,1 上有 零点 ，求 a 的取值范围 . 解：若 0a , ( ) 2 3f x x ,显然函数在 1,1 上没有零点 . 若 0a ，令 24 8 3 8 2 4 4 0a a a a , 解得 372a 当 372a 时 , y f x 恰有一个零点在 1,1 上 ; 当 05111 aaff ，即 15a时， y f x 在 1,1 上也恰8 / 14 有一个零点 . 当 y f x 在 1,1 上有两个零点时 , 则 208 24
21、4 011121010aaaaff 或 208 24 4 011121010aaaaff 解得 5a 或 352a ，综上，所求实数 a 的取值范围是 1a 或 352a . 点评：本题以 二次函数为载体，设定在区间范围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二次方程根的分布研究、零点存在性定理 . 是原型问题和重点题 . 【例题 10】 已知函数 32( ) (1 ) ( 2 )f x x a x a a x b ( , )abR （ II）若函数 ()fx在区间 ( 1,1) 上 不单调 ，求 a 的取值范围 解 ： （ ）函数 )(xf 在区间 )1,1( 不单 调，
22、等价于 导函数 )(xf 在 )1,1( 既能取到大于 0 的实数，又能取到小于 0 的实数 即函数 )(xf 在 )1,1( 上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1( ff ，即： 0)2()1(23)2()1(23 aaaaaa 整理得： 0)1)(1)(5( 2 aaa ，解得 15 a 第二组 三次函数 （ 1） 本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （ 2） 本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （ 3） 本组题旨在加深对二次函数、三次函数零点分布问题的认识，进而深化对导数方法、极值、最值的理解 . 【例题 11】 已知函数 3( ) 3 1, 0f
23、x x a x a （ I） 求 ()fx的单调区间； （ II） 若 ()fx在 1x 处取得极值，直线 y=m 与 ()y f x 的 图象有三个 不同的交点 ， 求 m 的取值范围 . 解：（ 1） 2 2( ) 3 3 3 ( ) ,f x x a x a 当 0a 时，对 xR ，有 ( ) 0,fx 所以 ()fx的单调增区间为 ( , ) 9 / 14 当 0a 时，由 ( ) 0fx 解得 xa 或 xa ， 由 ( ) 0fx 解得 a x a ， 所以 ()fx的单调增区间为 ( , ), ( , )aa ， 单调减区间为 ( , )aa . （ 2）因为 ()fx在 1x
24、 处取得极大值， 所以 2( 1 ) 3 ( 1 ) 3 0 , 1 .f a a 所以 3 2( ) 3 1 , ( ) 3 3 ,f x x x f x x 由 ( ) 0fx 解得 121, 1xx . 由（ 1）中 ()fx的单调性可知， ()fx在 1x 处取得极大 值 1，在 1x 处取得极小 值 -3. 因为直线 ym 与函数 ()y f x 的图象有三个不同的交点， 所以 m 的取值范围是 ( 3,1) . 点评： （ 1） 本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题，涉及图象交点向函数零点的转化关系； （ 2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最 值）控制法
25、； （ 3） 在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利用导数研究函数性质 . （二） 不等式 恒成立与存在 解 问题 问题设置：当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范围 基本思路： 转化为函数最值与参数之间的不等关系问题 基本 方法 ： 通性通法：变量分离法、 变量转换、最值控制 法 特殊方法：二次函数判别式法 、二次函数根的分布研究 【例题 12】 设函数 323( ) ( 1 ) 1 ,32af x x x a x a 其 中为实数 . （ ） 若 2( ) 1f x x x a
26、 对任意 (0, )a 都成立，求实数 x 的取值范围 . 解： 法一 （变量转换，最值控制法） ： 223 ( 1 ) 1a x x a x x a 对任意 (0, )a 都成立 . 即 22( 2 ) 2 0a x x x 对任意 (0, )a 都成立 10 / 14 设 22( ) ( 2 ) 2 ( )g a a x x x a R ，则对任意 xR ， ()ga 为单调递增函数()aR 所以对任意 (0, )a ， ( ) 0ga 恒成立的充分必要条件 是 (0) 0g . 即 2 20xx ， 20x ， 于是 x 的取值范围是 | 2 0xx 法二 （变量分离法） ：由题设知：
27、223 ( 1 ) 1a x x a x x a 对任意 (0, )a 都成立， 即 22( 2 ) 2 0a x x x 对任意 (0, )a 都成立 . 于是 22 22xxa x 对任意 (0, )a 都成立，即 22 2 02xxx . 解得 x 的取值范围是 | 2 0xx . 点评： 变量分离法可以任何一个变量分离出来，例如本题也可以求出二次方程的根，这样就是将变量 x 分离出来了，但过程较复杂，不宜在此处选用 . 【例题 13】 已知定义在正实数集上的函数 21( ) 22f x x ax， 2( ) 3 lng x a x b，其中0a 设两曲线 ()y f x ， ()y g
28、 x 有公共点，且在该点处的切线相同 （ I）用 a 表示 b ，并求 b 的最大值；（ II） 求证： f(x ) g(x) ，其中 x 0 解：（ ）设 ()y f x 与 ( )( 0)y g x x在公共点 00()xy， 处的切线相同 ( ) 2f x x a ， 23() agx x ，由题意 00( ) ( )f x g x ， 00( ) ( )f x g x 即220 0 02001 2 3 ln232x a x a x baxax ，由 20 032 axax得： 0xa ，或 0 3xa （舍去） 即有 2 2 2 2 2152 3 l n 3 l n22b a a a a a a a 令 225( ) 3 ln ( 0 )2h t t t t t ，则 ( ) 2 (1 3 ln )h t t t 于是当 (1 3ln ) 0tt，即 130 te 时， () 0ht ；当 (1 3ln ) 0tt，即 13te 时，() 0ht
