1、1 昌平区 2017 2018 学年第 一 学期高 三 年级期末质量抽测 数学试卷 (理科 ) 2018.1 本试卷共 5 页，共 150 分 . 考试时长 120 分钟 . 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效 . 第 一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 若集合 | 2 1A x x ， | ( 3) 0B x x x ， 则 AB A. | 1 3x x x或 B. | 2 1xx C. | 2 0 3x x x 或 D. | 2 0xx 2 1+i|i A. 2 B. 2 C
2、. 1 D. 1 3. 执行如图 所示 的程序框图，输出的 S 值 为 A 43 B. 55 C. 61 D. 81 开始 否 是 1, 24Sn 输出 S S S n 6nn 0n 结束 2 4设 ,xy满足 1,1,0,xyxyx则 22xyz 的最大值为 A 14B. 2 C. 4 D. 16 5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥 的 四个 侧面中，面积 的最小值 为 A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 6.已知函数 ( ) e e ,xxfx 则 函数 ()fx A是偶函数，且在 ( ,0) 上是增函数 B. 是奇函数，且在 ( ,0) 上是增函数 C. 是偶函数，且在 (
3、,0) 上是减函数 D. 是奇函数，且在 ( ,0) 上是减函数 7. 设 02x， 则 “ 2cosxx ”是 “cosxx ”的 A 充分 而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场），每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，平局双方各得 1 分 . 比 赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中 可能出现的 最少 平局场数是 A 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 主视图 左视图 俯视图 1 1 2 3 第 二部分 （非选择题 共 110分 ） 二、 填空题共 6 小题，每小题
4、5分，共 30分 9. 7(1 )x 的二项展开式中2x的系数为 10. 已知 曲线 C 的 极坐标方程为 sin2 ， 以 极点为原点， 极轴 为 x 轴 的正半轴，建立 平面直角坐标系， 那么 曲线 C 的直角坐标方程为 . 11. 已知 直线 : 4 3 5 0l x y ， 点 P 是圆 22( 1) ( 2 ) 1xy 上 的 点， 那么 点 P 到直 线 l 的距离 的 最小值是 . 12. 已知 RtABC ， 1AB AC,点 E 是 AB 边上的动点，则 CEACuur uuur 的 值 为 ；CECBuur uur 的 最大值 为 . 13. 某商业街 的同侧 有 4 块
5、广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求 任意 相邻两块 牌的底色不都为红色，则不同的配色方案 有 种 . 14 若函数 4 , 3,()lo g , 3axxfx xx （ 0a且 1a），函数( ) ( )g x f x k. 若1a， 函数()gx无零点，则实数 k的取值范围 是 ； 若 有最小 值，则实数 a的取值范围是 三、 解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明， 演算步骤或 证明过程 . 15. （本小题 13 分） 已知等差数列 na 的公差 d 为 1，且 1 3 4,a a a 成等比数列 . （ ） 求数列 na 的通项公式； （ ） 设数列 52 nan
6、bn， 求数列 nb 的 前 n 项和 nS . 4 分钟/天0.0300.0250.0200.0150.010605040300.00520频率/组距 10O0.0350.0300.0250.0200.0150.010605040300.00520频率/ 组距 分钟/ 天10O16. （本小题 13 分） 在 ABC 中， 3 sin cosa C c A （ ）求角 A 的 大小 ； （ ）若 3ABCS ， 2 2 3bc ， 求 a 的值 17. （本小题 13 分） 随着“中华好诗词”节目的播出， 掀起 了 全民诵读传统诗词经典的热潮 .某社团为调查大 学生对于“中华诗词”的喜好，从
7、甲、乙两所大学各随机抽取了 40 名 学生 ， 记录 他们每天学习 “中华诗词” 的 时间 ， 并 整理 得到如下 频率分布直方图： 图 1： 甲大学 图 2： 乙 大学 根据学生每天 学习 “中华诗词” 的 时间，可以 将 学生对于“中华诗词” 的 喜好程度分为三个等级 : 学习时间 t (分钟 /天 ) 20t20 50t 50t 等级 一般 爱好 痴迷 ( )从 甲大 学中 随机选出一 名学生 ， 试估计其“爱好” 中华诗词 的概率； ( )从 两组“ 痴迷 ”的同学中 随机选出 2 人，记 为选出的两人中 甲 大学 的人数，求 的分布列和数学期望 E ； ( )试判断 选出的 这 两组
8、 学 生 每天学习 “中华诗词” 时间的平均值 X甲 与 X乙 的大小 ，及 方差 2S甲 与 2S乙 的大小 (只需写出结论 ) 5 18.（ 本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是 边长为 2 的 菱形， ABC 60， PAB 为正三角形 ， 且侧 面 PAB 底面 ABCD， E 为 线段 AB 的中点， M 在线段 PD 上 . （ I） 当 M 是 线段 PD的 中点 时 ， 求证： PB / 平面 ACM； （ II） 求证： PE AC ； （ III）是否存在点 M ，使 二面角 M EC D的大小为 60，若存在，求出 PMPD的值；若不存
9、在，请说明理由 19.（本小题 14 分） 已知函数 ( ) ln( 1)f x ax x ， a R . （ I） 当 a = 2 时，求 曲 线 y = ()fx在点 ( 0， f (0) )处的切线方程 ； （ II）求函数 ()fx在区间 0 , e -1上的最小值 . 20.(本小题 13 分 ) 已知数列 1， 1， 2， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 8， 1， 2， 4， 8， 16， L ，其中第一项是 20，接下来的两项是 20， 21，再接下来的三项是 20， 21， 22， 依此类推 . 设该数列的前 n 项和为 nS , 规定： 若 m*N ,使得 2pmS （
10、 p N ） ，则称 m 为该数列的“佳 幂数” . （ ）将 该数列的 “佳幂数 ”从小到大排列，直接写出前 3 个 “佳幂数 ”； （ ） 试判断 50 是否为 “佳幂数 ”，并说明理由； （ III）（ i） 求满足 m 70 的最小 的 “佳幂数 ”m ; （ ii） 证明：该数列的 “佳幂数 ”有无数个 . MPEDCBA6 昌平区 2017 2018 学年第 一 学期高 三 年级期末质量抽测 数学试卷 (理科 )参考答案 一 、 选择题 (共 8 小题，每小题 5 分，共 40分 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C C B C A B 二、填空题 (共 6
11、小题，每小题 5 分，共 30 分 ) 9. 21 10. 22( 1) 1xy 11. 2 12. 1 ; 2 13. 6 , 7 , 8 答对一个即可给满分 14. 1,1) ； (1,3 三、解答题 (共 6 小题，共 80 分 ) 15.（ 共 13 分 ） 解： （ ） 在 等差数列 na 中，因为 1 3 4,a a a 成等比数列 ， 所以 23 1 4a aa ， 即 221 1 1+2 ) 3a d a a d（ ， 解 得 21 40ad d. 因为 1,d 所以 1 4,a 所以数列 na 的通项公式 5nan. 6 分 （ ）由（ ）知 5nan, 所以 522na n
12、nb n n . 得 1 2 3231( 2 2 2 2 ) (1 2 3 )2 (1 2 ) (1 )=1 2 2( 1 )222nnnnnS b b b bnnnnn 13 分 7 16. （ 共 13 分） 解： （ I）因为 3 sin cosa C c A ， 所以 cos 0A ， 由正弦定理 sin sin sina b cA B C， 得 3 s in s in s in c o sA C C A 又 因为 (0, )C， sin 0C ， 所以 3tan 3A 又 因为 (0, )A， 所以 6A 6 分 （ II） 由 11s i n 324ABCS b c A b c ，
13、得 43bc ， 由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 得 2 2 2 2 c o s 6a b c b c ， 即 2 2 2( ) 2 3 ( ) 8 3 1 2a b c b c b c b c ， 因为 2 2 3bc ， 解得 2 4a . 因为 0a ， 所以 2a . 13 分 17. （ 共 13 分） 解： ( ) 由图知，甲大学随机选取的 40 名 学生 中， “爱好” 中华诗词 的 频 率 为(0 .0 3 0 0 .0 2 0 0 .0 1 5 ) 1 0 0 .6 5 ， 所以 从 甲大 学中 随机选出一 名学生 ， “爱好” 中华诗词 的
14、概率 为 0.65 . 3 分 ( ) 甲大学随机选取的 40 名 学生 中 “ 痴迷 ”的 学生 有 40 0.005 10 2 人， 乙 大学随机选取的 40 名 学生 中 “ 痴迷 ”的 学生 有 40 0.015 10 6 人， 所以，随机变量 的 取值为 0,1,2 . 所以， ( 0)P 022628CC 1528C ， 8 ( 1)P 112628CC 12 328 7C ， ( 2)P 202628CC 128C . 所 以 的 分布列为 0 1 2 P 1528 37 128 的 数学期望为 1 5 3 1 1( ) 0 1 22 8 7 2 8 2 E . 10 分 ( )
15、 X甲 X乙 ; 2s n 2sn . 13 分 18. （ 共 14 分） （ I） 证明 ： 连接 BD 交 AC 于 H 点 ，连接 MH， 因为 四边形 ABCD 是菱形 ， 所以 点 H 为 BD 的 中点 . 又因为 M 为 PD 的中点 ， 所以 MH / BP. 又 因为 BP 平面 ACM, MH 平面 ACM. 所以 PB / 平 面 ACM. 4 分 （ II）证明 ： 因为 PAB 为正三角形 ， E 为 AB 的中点 ， 所以 PE AB . 因为 平 面 PA B 平 面 ABCD， 平 面 PAB 平 面 ABCD=AB， PE 平面 PAB， 所以 PE 平面
16、ABCD. 又 因为 AC 平面 ABCD ， 所以 PE AC . 8 分 ( ) 因为 ABCD 是菱形， ABC 60， E 是 AB 的中点 ， 所以 CE AB . 又 因为 PE 平面 ABCD， 以 E为原点，分别以,EB EC EP为,xyz轴 ， 建立空间直角坐标系xyz， 则 0,0,0，1,， D A B C P E z x y HMPEDCBA9 0,0, 3P， 0 3,0C ,， 2, 3,0D 10 分 假设 棱 PD上存在点 M，设点 坐标为 ,xyz， 01P M P D ， 则 , , 3 2 , 3 , 3x y z ， 所以 2 , 3 , 3 (1 )
17、 ， 所以 2 , 3 , 3 (1 )EM ， 0, 3,0EC ， 设平面 CEM的 法向量为 ,x y zn， 则 2 3 3 (1 ) 030E M x y zE C y nn，解得02 3(1 )y xz 令 2z ， 则 3(1 )x ， 得 3 (1 ), 0, 2n 因为 PE 平面 ABCD， 所以平面 ABCD 的 法向量 0,0,1m， 所以2 2 222c os | | | 4 3 ( 1 ) 7 6 3 nmn , m n | m 因为二面角 M EC D的大小为 60， 所以2 2127 6 3 ， 即 23 2 1 0 ， 解得 13，或 1 （舍去） 所以在棱
18、PD 上 存在点 M， 当 13PMPD 时，二面角 M EC D的大小为 60 14 分 19. （ 共 14 分） 解：（ I） f (x)的 定义域为 ( 1, ) . 1 分 因为 1( ) 1f x a x ， a = 2， 所以 (0) 2 1 1f ， (0) 0f . 所以 函数 f (x)在点 (0, (0)f 处的切线方程 是 yx . 4 分 （ II） 由题意可得 1( ) 1f x a x . （ 1） 当 0a 时， ( ) 0fx ， 所以 ()fx在 ( 1, ) 上为减函数， 所以在区间 0,e 1 上， m in( ) ( e 1 ) ( e 1 ) 1f
19、x f a . 6 分 10 (2) 当 0a 时 , 令 1( ) 01f x a x ，则 1 11x a ， 当 1 10a ，即 1a 时， 对于 (0,e 1)x， ( ) 0fx ， 所以 f (x)在 (0,e 1) 上为 增 函数， 所以 min( ) (0) 0f x f. 当 1 1 e 1,a ，即 10ea时， 对于 (0,e 1)x， ( ) 0fx ， 所以 f (x)在 (0,e 1) 上为 减 函数， 所以m in( ) ( e 1 ) ( e 1 ) 1f x f a . 当 10 1 e 1,a 即 1 1e a时， 当 x 变化时 ， ()fx， ()fx的 变化 情况 如下 表 ： x 0 1(0, 1)a 11a 1( 1,e 1)a e1 ()fx - 0 + ()fx 极小值 所以 m i n 1 1 1( ) ( 1 ) ( 1 ) l n 1 l nf x f a a aa a a . 13 分 综上， 当 1ea时 ，m in( ) (e 1) 1f x a ； 当 1 1e a时， m in( ) 1 lnf x a a ； 当 1a 时，min( ) 0fx. 14 分
