1、 1 课 题 圆周运动典型例题 教 学 目 的 1掌握描述圆周运动的物理量及相关计算公式； 2学会应用 牛顿第二定律解决圆周运动问题 3掌握分析、解决圆周运动动力学问题的基本方法和基本技能 4. 会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题 重 难 点 会分析判断临界时的速度或受力特征 ； 应用 牛顿 第二定律解决圆周运动的动力学问题 教 学 内 容 【基础知识网络总结】 1变速圆周运动特点： （ 1）速度大小变化 有 切向 加速度、速度方向改变 有 向心 加速度 故合加速度不一定指 向 圆心 （ 2）合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向 圆心 2处理圆周运动动力学问题般步骤 （ 1）
2、确定研究对象，进行 受力 分析，画出运动草图 （ 2）标出已知量和需求的物理量 （ 3）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合 （ 4）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解 3火车转弯问题 由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使外轨略高于内轨，从而重力和弹力的合力提供火车拐弯时所需的向心力 铁轨拐 弯处半径为 R，内外轨高度差为 H，两轨间距为 L，火车总质量为 M，则： (1)火车在拐弯处运动的“规定速度”即内外轨均不受压的速度 vP (2)若火车实际速度大于 vP，则外轨将受到侧向压力
3、(3)若火车实际速度小于 vP，则内轨将受到侧向压力 2 4“水流星”问题 绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力。 (1)杯子在最高点的最小速度 vmin (gL)1/2 (2)当杯子在最高点速度为 v1vmin时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度 v2vmin时，水对杯底的压力为多大 ? 5.斜面、悬绳弹力的水平分力提供加速度 a gtan的问题 a斜面体和光滑小球一起向右加速的共同加速度 a gtan 因为 F2 FNcos mg F1 FNsin ma 所以 a gtan b火车、汽车拐弯
4、处把路面筑成外高内低的斜坡，向心加速度和的关系仍为 a gtan ，再用 tan h/L,a v2/R 解决问题 c加速小车中悬挂的小球、圆锥摆的向心加速度、光滑锥内不同位置的小球，都有 a gtan的关系 6.典型的非匀速圆周运动是竖直面内的圆周运动 这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。 1 如图所示，没有物体支撑的小球，在 竖直面内作圆周运动通过最高点 ，弹力只
5、可能向下，如绳拉球。这种情况下有 mgRmvmgF 2 即 gRv ，否则不能通过最高点。 临界条件是绳子或轨道对小球没有力的作用，在最高点 v= Rg 小球能通过最高点的条件是在最高点v Rg 小球不能通过最高点的条件是在最高点 vmg 时，向心力只有一解：F +mg；当弹力 F=mg 时，向 心力等于零。 【重难点例题启发与方法总结】 1、 如图所示，质量为 m=0.1kg 的小球和 A、 B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的 A、 B 两点，其中 A 绳长 LA=2m，当两绳都拉直时， A、 B 两绳和细杆的夹角 1=30， 2=45， g=10m/s2求： （ 1）当细杆转动的角速度在什
6、么范围内， A、 B 两绳始终张紧？ （ 2）当 =3rad/s 时， A、 B 两绳的拉力分别为多大？ 解析 （ 1）当 B绳恰好拉直，但 TB=0 时，细杆的转动角速度为 1， 有： TAcos30 =mg 0210 30s in30s in AA LmT 解得： 1=2 4 rad/s 当 A 绳恰好拉直，但 TA=0 时，细杆的转动角速度为 2， 有： mgTB 045cos 0220 30s in45s in AB LmT 解得： 2=3.15（ rad/s） 要使两绳都拉紧 2.4 rad/s 3.15 rad/s （ 2）当 =3 rad/s 时，两绳都紧 30s in45s i
7、n30s in 2 ABA LmTT mgTT BA 45c os30c os TA=0.27 N， TB=1.09 N 4 2、 如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为 37 .在距转动中心 0.1 m处放一小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘的动摩擦因数为 0.8，木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同 .若要保持木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大值约为 A.8 rad/s B.2 rad/s C. 124 rad/s D. 60 rad/s 解析木块在最低点时容易相对 圆盘滑动，此时木块相对圆盘将要滑动，圆盘的角速度最大，则 mgcos37 m
8、gsin37 =m 2r =rg ）（ 37sin37c o s=1.0 6.08.08.010 ）（ rad/s=2 rad/s 所以，选项 B 正确 . 3、 如 图 所示，在倾角为 =300的光滑斜面上，有一根长为 L=0.8m 的细绳，一端固定在 O 点，另一端系一质量为m=0.2kg 的小球，沿斜面作圆周运动，试计算： （ 1）小球通过最高点 A 的最小速度；（ 2）小球通过最高点的最小速度。 （ 3）若细绳的抗断拉力为 Fmax=10N，小球在最低点 B 的最大速度是多少？ 解析 （ 1）小球在最低点时的等效重力为 G=mgsin 小球在最高点 A 速度最小。 smgLgLv A
9、/2s inm i n （ 2）根据动能定理： 22 21212s inAB mvmvLmg 当小球在最高点速度最小时，在最低点速度一定最小 解得最低点速度的最小值是 smvBm /52 （ 3）若绳子的抗断拉力为 10N，根据牛顿第二定律 RvmmgF 2s in 解得 小球在最低点 B 的最大速度是 vBM=6m/s A L O B 图 26 5 4、 在一根长为 L 的不计质量的细杆中点和末端各连一质量为 m 的小球 B 和 C，如图所示，杆可以在竖直平面内绕固定点 A 转动，将杆拉到某位置放开，末端 C 球摆到最低位置时，杆 BC 受到的拉力刚好等于 C 球重的 2 倍求：（ g=10
10、m/s2） （ 1） C 球通过最低点时的线速度； （ 2）杆 AB 段此时受到的拉力 解析 （ 1） C 球通过最低点时，受力如图且作圆周运动 F 向 =TBC-mg 即 2mg-mg= LvmC2 得 c 球通过最低点时的线速度为： vC= gL （ 2）以最低点 B 球为研究对象， 其受力如图 4-3-9 所示， B 球圆周运动的 F 向 =TAB-mg-2mg 即 TAB-3mg= 2/2Lvm B ，且 vB=21 vC 得杆 AB 段此时受到的拉力为： TAB=3 5mg 点评 此题涉及到两个物体，按常规要分别研究各个物体，分别列出方程，此时还不能求解，必须还要找到两个物体联系的量
11、再列一个方程才能求解，因而，找到两个物体物理量间的联系是解题的关键；本题中两球固定在一轻杆 上，它们的角速度相同是个隐含条件 5、 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 30，一条长度为 L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点 O 处，另一端拴着一个质量为 m 的小物体（物体可看质点），物体以速率 v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。 当 v 16gL 时，求绳对物体的拉力； 当 v 32gL 时，求绳对物体的拉力。 解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为 0 ，则有 )2(30s in30 20 分 lmm g tcm 解得 g
12、l630 （ 1） 当)2(03.16 331)2(30s i n30c o s)2(30s i n30c o s30s i n,6120分解得分分有时mgmgTmgNTlmNTgl TAB C A B TBC=2mg mg mg mg N T 6 （ 2）当023 gl时，小球离开锥面，设绳与轴线夹角为 ，则 )2(2)2(30s i ns i n)2(c o s 2 分解得分分 mgTlmTmgT 6、 如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球 A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内 作匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ） A. 球
13、A 的线速度必定大于球 B 的线速度 B. 球 A 的角速度必定小于球 B 的角速度 C. 球 A 的运动周期必定小于球 B 的运动周期 D. 球 A 对筒壁的压力必定大于球 B 对筒壁的压力 F NAG ABG BF NF AF B解析： 对小球 A、 B 受力分析，两球的向心力都来源于重力 mg 和支持力 NF 的合力，其合成如图 4 所示，故两球的向心力 cotmgFF BA 比较线速度时，选用 rvmF 2 分析得 r 大， v 一定大， A 答案正确。 比较角速度时，选用 rmF 2 分析得 r 大， 一定小， B 答案正确。 比较周期时，选用 rTmF 2)2( 分析得 r 大，
14、T 一定大， C 答案不正确。 小球 A 和 B 受到的支持力 NF 都等于 sinmg ， D 答案不正确。 7 【重难点关联练习巩固与方法总结】 1、汽车通过拱 桥颗顶点的速度为 10 m s 时，车对桥的压力为车重的 34 。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ） A、 15 m s B、 20 m s C、 25 m s D、 30m s 2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的 A、 B 两个小物块。 A 的质量为kgA2，离轴心r cm1 20， B 的质量为m kgB1，离轴心r cm2 10， A、 B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其
15、重力的 0.5 倍，试求 （ 1）当圆盘转动的角速度0为多少时，细线上开始出现张力？ （ 2）欲使 A、 B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（g m s10 2/） 解析： （ 1） 较小时， A、 B 均由静摩擦力充当向心力， 增大，F mr2可知，它们受到的静摩擦力也增大，而r r2，所以 A 受到的静摩擦力先达到最大值。 再增大， AB 间绳子开始受到拉力。 由F m rfm 1 02 2，得： 01 111 105 5 Fm mgmr rad sfm . /（ 2） 达到0后， 再增加， B 增大的向心力 靠增加拉力及摩擦力共同来提供， A 增大的向心力靠增加拉
16、力来提供，由于 A 增大的向心力超过 B 增加的向心力， 再增加， B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如 再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如 再增加，就不能维持匀速圆周运动了， A、 B 就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为 1，绳中张力为FT， 对 A、 B 受力分析： 对 A 有F F m rfm T1 1 12 1 对 B 有F m rT fm 2 2 12 2联立解得： 1 1 21 1 2 25 2 707 F Fmr mr rad s rad sfm fm / . /3、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为 R（比细管半径大得多）。在圆管中有两个直径
17、与细管内径相同的小球（可视为质点）。 A 球的质量 m1， B 球的质量为 m2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为 v0，设 A 球运动到最低点， B 球恰好运动到最高点。若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么 m1、 m2、R 与 v0 应满足的关系式是。 8 4、如图 39 3 所示，物体 P 用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为，则 ABC A只有超过某一值时，绳子 AP 才有拉力 B绳子 BP 的拉力随的增大而增大 C绳子 BP 的张力一定大于绳子 AP 的张力 D当增大到一定程度时，绳 AP 的张力大于 BP 的张力 5、如图 2 所
18、示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体 A 和 B，它们与盘间的摩擦因数相同当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则 两物体的运动情况将是 【 】 A两物体均沿切线方向滑动 B两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远 C两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动 D物体 A 仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动； 物体 B 发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远 6、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度 v0= gR ，物体甲将 A沿球面下滑至 M 点 B先沿球面下滑至某点 N，
19、然后便离开球面做斜下抛运动 C按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动 D立即离开半圆球做平抛运动 7、长度为 0 5m 的轻质细杆 OA， A 端有一质量为 3kg 的木球，以 O 点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为 2m/s，取 g = 10 m/s2，则此时球对轻杆的力大小是 ，方向向 。 8、如图所示，木板 B 托着木块 A 在竖直平面内作匀速圆周运动，从与圆心相平的位置 a 运动到最高点 b 的过程中 ( ) A、 B 对 A 的支持力越来越大 B、 B 对 A 的支持力越来越小 C、 B 对 A 的摩擦力越来越大 D、 B 对 A 的摩擦力越来越小 9
20、 9、如图所示，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球让它们在光滑的水平面内做匀速圆周运动，其中 O为圆心，两段绳子在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比 T1 T2 为 ( ) A、 1 1 B、 2 1 C、 3 2 D、 3 1 10、如图所示 ,小球 M 与穿过光滑水平板中央的小孔 O 的轻绳相连，用手拉着绳的另一端使 M 在水平板上作半径为 a ，角速度为的匀速圆周运动，求： (1) 此时 M 的速率 .(2)若将绳子突然放松一段，小球运动 t 时间后又拉直，此后球绕 O 作半径为 b 的匀速圆周运动，求绳由放松到拉直的时间 t . 11、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内
21、，环的半径为 R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）， A 球的质量为 m1， B 球的质量为 m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都是 v0，设 A 球运动到最低点时， B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么 m1， m2， R 与 v0应满足的关系。 A B 10 【课后强化巩固练习与方法总结】 1、火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是 ( ) A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损 B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损 C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损 D.以上三种说法都是错误的 2、冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的 k 倍，在水平冰面上沿半径为 R 的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为 （） 3、 如图所示，光滑的水平圆盘中心 O 处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各系一个小球 A 和 B，两球质 量相等，圆盘上的 A 球做半径为 r=20cm 的匀速圆周运动，要使 B 球保持静止状态，求 A球的角速度应是多大 A B O
