1、 1 漳州市 2018 届高中毕业班调研测试 数学 (理科 ) 一、选择题：本题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 .在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A 3|04xx x， B x|2x 4， 则 A B ( ) A.(2， ) B. (4， ) C.4， ) D. 3， 2) 2.若复数 z 满足 z(2 i) 1 7i， 则 |z| ( ) A. 5 B. 10 C.2 2 D.2 3.函数 f(x) x2 cosx在 ， 上的图象大致为 ( ) A B C D 4.已知 |a| 1， |b| 2， 且 a (a b)， 则向量
2、a在 b方向上的投影为 ( ) A.1 B. 2 C.12 D. 22 5.等差数列 an和等比数列 bn的首项均为 1， 公差与公比均为 3， 则 ab1 ab2 ab3( ) A.64 B.32 C.38 D.33 6.执行如图所示的程序框图 ， 若输入的 p 为 16， 则输出的 n， S 的值分别为 ( ) A.4， 18 B.4， 30 C.5， 30 D.5， 45 2 7.某几何体的三视图如图所示 ， 则这个几何体的体积为 ( ) A.193 B. 203 C.163 D.6 8.已知函数 ( ) sin ( ) 0 , 0 , | |2f x A x A 在一个周期内的图象如图
3、所示 ， 则 ()4f ( ) A. 22 B. 22 C. 2 D. 2 9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数 ， 当 x 0 时 ， f(x)为减函数 ， 则不等式133( lo g ( 2 5 ) ) ( lo g 8 )f x f的解集为 ( ) A. 5 41|2 16xxB. 13|2xxC. 5 4 1 1 3|2 1 6 2x x x 或D. 5 4 1 1 3|2 1 6 2x x x 或10.在区间 0， 1上随机取三个数 a， b， c， 则事件 “ a2 b2 c2 1” 发生的概率为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.2 11.已知直线 l 过抛物线 C：
4、 y2 4x 的焦点 ， l 与 C 交于 A， B 两点 ， 过点 A， B 分别作 C的切线 ， 交于点 P， 则点 P 的轨迹方程为 ( ) A.x 1 B.x 2 C.y2 4(x 1) D.y2 4(x 2) 3 12.已知不等式 (ax 3)ex x 0 有且只有一个正整数解 ， 则实数 a 的取值范围是 ( ) A.21 1 33, 2ee B.21 1 33,22ee C. 21 1 33, 2eeD.21 1 33, 22ee 二、填空题：本题共 4 小题 ， 每小题 5 分 ， 共 20 分 . 13.已知 82 axx展开式中常数项为 1 120， 则正数 a _. 14
5、.已知实数 ,xy满足 2000xyxyyk,若 Z x y 的最大值为 4，则 Z 的最小值为 _. 15.设 F 为双曲线 C： 221xyab(a 0， b 0)的右焦点 ， 过 F 且斜率为 ab 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A， B 两点 ， 且 | | 2| |AF BF ， 则双曲线 C 的离心率为_. 16.数列 an为单调递增数列 ， 且 ( 2 3 ) 8 14 , 4 , *l og , 4 ,n tt n t na n Nnn ， 则 t 的取值范围是 _. 三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 .第 17 21 题为
6、必考题 ， 每个试题考生都必须作答 .第 22， 23 题为选考题 ， 考生根据要求作答 . (一 )必考题：共 60 分 . 17.(12 分 ) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 (b c)2 a2 32bc. ( )求 sinA； ( )若 a 2， 且 sinB， sinA， sinC 成等差数列 ， 求 ABC 的面积 . 4 18.(12 分 ) 随着科学技术的飞速发展 ， 手机的功能逐渐强大 ， 很大程度上代替了电脑、电视 .为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性 别有关 ， 某调查小组随机抽取了 30 名男生、20 名女生进行为期一
7、周的跟踪调查 ， 调查结果如下表所示： 平均每天使用手机超过 3 小时 平均每天使用手机不超过 3 小时 合计 男生 25 5 30 女生 9 11 20 合计 34 16 50 ( )能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？ ( )在这 20 名女生中 ， 调查小组发现共有 15 人使用国产手机 ， 在这 15 人中 ， 平均每天使用手机不超过 3 小时的共有 9 人 .从平均每天使用手机超过 3 小时的女生中任意选取 3 人 ，求这 3 人中使用非国产手 机的人数 X 的分布 列和数学期望 . 参考公式： P(K2 k0) 0.500 0.400
8、0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19.(12 分 ) 如图 ， 在多面体 ABCDNPM 中 ， 底面 ABCD 是菱形 ， ABC 60， PA 平面 ABCD，AB AP 2， PM AB， PN AD， PM PN 1. ( )求证： MN PC； ( )求平面 MNC 与平面 APMB 所成锐二面角的余弦值 . 5 20.(12 分 ) 已知椭圆 C： 22 1( 0 )xy abab 的一个焦点与抛物线 y2 4 3x 的焦点重合 ， 且过点
9、13,2Q.过点 P(1， 0)的直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点 ， A 为椭圆的左顶点 . ( )求椭圆 C 的标准方程； ( )求 AMN 面积的最大值 ， 并求此时直线 l 的方程 . 21.(12 分 ) 已知函数 f(x) 2ex 3x2 2x 1 b， x R 的图象在 x 0 处的切 线方程为 y ax 2. ( )求函数 f(x)的单调区间与极值； ( )若存在实数 x， 使得 f(x) 2x2 3x 2 2k 0 成立 ， 求整数 k 的最小值 . (二 )选考题：共 10 分 .请考生在第 22， 23 题中任选一题作答 .如果多做 ， 则按所做的第一题记分 ，
10、作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 . 22.选修 4 4：坐标系与参数方程 (10 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 曲线 C 的参数方程是 1 2 cossinxy ( 为参数 )， 以原点 O为极点 ， x 轴正半轴为极轴 ， 建立极坐标系 ， 直线 l 的极坐标方程为 cos 24( )求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程； ( )已知直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点 ， 与 x 轴交于点 P， 求 |PA|PB|. 23.选修 4 5：不等式选讲 (10 分 ) 已知函数 f(x) |2x 1| 2|x 2|. ( )求函数 f(x)
11、的最小值； ( )解不等式 f(x)0， 排除 A， 故选 D. 4.D 【解析】 本题考查向量的基本概念和运算设 a 与 b 的夹角为 ， 则 a (a b) a (a b) 0 a2 ab 0 a2 |a| |b|cos 0， 所以 cos 22 ， 所以向量 a 在 b 方向上的投影为 |a|cos 22 ， 故选 D. 5.D 【解析】 本题考查等差数列和等比数列的通项公式依 题意 ， an 1 3(n 1) 3n 2， bn 3n 1， 则 b1 1， b2 3， b3 9， 所以 ab1 ab2 ab3 a1 a3 a9 1 7 25 33，故选 D. 6.A 【解析】 本题考查含
12、有当型循环结构的程序框图执行程序框图 ， 依次可得 n 1，S 0， S16， 跳出循环 ， 输出 n 4， S 18， 故选A. 7.B 【解析】 本题考查空间几何体的三视图、空间几何体 的体积这个几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个三棱锥而成的 ， 其直观图如图所示 ， 则这个几何体的体积 V 23 13 12 2 2 2 203 ， 故选 B. 8.C 【解析】 本题考查三角函数的图象与性质由题图可知 ， A 2， T 2 2 58 8 ， 所以 2， 2， 解得 2 8 2 2k ， k Z， 即 4 2k， k Z， 因为 |0 的解 ，不符合题意；当 a0 化为 ax 3 x
13、ex， 设 f(x) xex， 则 f(x) 1 xex ， 所以函数 f(x)在 ( ， 1)上是增函数 ， 在 (1， )上是减函数 ， 所以当 x 1 时 ， 函数 f(x)取得最大值 ， 因为不等式 (ax 3)ex x0 有且只有一个正整数解 ， 则a 1 3 1e1，a 2 3 2e2，解得 1e 30， 即 t32 .当 n 4 时 ， an logtn 也必须单调递增 ， t1 .另外 ， 由于这里类似于分段函数的增减性 ， 因而 a35 .方法一：当 325；当 25；当 t52时 ， logt4 2t5， 故 式对任意 t32恒成立 ，综 上，解得 t 的取值范围是 32，
14、 .方法二：由 得 t32， 在此前提下 ， 构造 f(t) logt4 2t 5 t32 ， 则 f(t) 2 ln4tln2t， 令 g(t) tln2t t32 ， 则 g(t) ln2t 2lnt lnt(lnt 2)0， g(t) tln2t 在 32， 上单调递增 ， 且 g(t)0， 从而 f(t)是 32， 上的增函数 ， 可验证 f 32 2 ln432ln232 21 ln3 4ln2 32ln2 32， 即证 ln43ln32 ln32， 即证 ln4ln278 ln32， ln4ln278 ， 0ln278 ln 32， 得证 ， f (2) 2 ln42ln22 2
15、2ln40. f (t) 2 ln4tln2t在 32， 上有唯一零点 ， 设为 m， m 32， 2 ， 易知 m为 f(t)的极小值点 ，也是最小值点 f(t)min f(m) logm4 2m 5.当 m 32， 2 时 ， logm4log24 2， 2m2 323. f(t)min f(m)log24 3 5 0， 即当 t 32， 时 ， f(t)0 恒成立综上 ， t 的取值范围是 32， . 17.【名师指导】 本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列以及三角形面积的计算 解： ( )由 (b c)2 a2 32bc， 得 b2 c2 a2 12bc， (2 分 ) 即 b2 c2
16、 a22bc 14， 由余弦定理得 cosA14， (4 分 ) 因为 06.635.(2 分 ) 所以能在犯错误的概 率不超过 0.01 的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关 (4 分 ) ( )X 可取 0， 1， 2， 3.(5 分 ) P(X 0) C36C39521， (6 分 ) P(X 1) C13C26C39 1528， (7 分 ) 9 P(X 2) C23C16C39 314， (8 分 ) P(X 3) C33C39184， (9 分 ) 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 521 1528 314 184 (10 分 ) E(X) 0 521 1 15
17、28 2 314 3 184 1.(12 分 ) 19.【名师指导】 本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的求法 ( )证明 MN 平面 PAC， 从而证得 MN PC； ( )建立空间直角坐标系 ， 分别求出平面MNC 与平面 APMB 的法向量 ， 利用空间向量夹角公式求解 解： ( )证明：作 ME PA 交 AB 于 E， NF PA 交 AD 于 F， 连接 EF， BD， AC. 由 PM AB， PN AD， 易得 ME 綊 NF， 所以四边形 MEFN 是平行四边形 ， 所以 MN EF， (2 分 ) 因为底面 ABCD 是菱形 ， 所以 AC BD， 又易得 EF BD，
18、所以 AC EF， 所以 AC MN， (3 分 ) 因为 PA 平面 ABCD， EF 平面 ABCD， 所以 PA EF， 所以 PA MN， 因为 AC PA A， (4 分 ) 所以 MN 平面 PAC， 故 MN PC.(5 分 ) ( )建立空间直角坐标系如图所示 ， 则 C(0， 1， 0)， M 32 ， 12， 2 ， N 32 ， 12， 2 ， A(0， 1， 0)， P(0， 1， 2)，B( 3， 0， 0)， 所以 CM 32 ， 32， 2 ， CN 32 ， 32， 2 ， AP (0， 0， 2)， AB ( 3， 1， 0)， (7 分 ) 设平面 MNC
19、的法向量为 m (x， y， z)， 则 32 x 32y 2z 0， 32 x 32y 2z 0，令 z 1， 得 x 0， y 43， 所以 m 0， 43， 1 ； (9 分 ) 10 设平面 APMB 的法向量为 n (x1， y1， z1)， 则 2z1 0，3x1 y1 0，令 x1 1， 得 y1 3， z1 0， 所以 n (1， 3， 0)， (10 分 ) 设平面 MNC 与平面 APMB 所成锐二面角为 ， 则 cos |mn|m|n|4 3302 43 2 12 12（ 3） 2 02 2 35 ， (11 分 ) 所以平面 MNC 与平面 APMB 所成锐二面角的余弦
20、值为 2 35 .(12 分 ) 20.【名师指导】 本题考查椭圆的方程、性质、直线与椭圆位置关系的综合问题 解： ( )因为抛物线 y2 4 3x 的焦点为 ( 3， 0)， 所以椭圆 C 的半焦距 c 3， 即 a2b2 3. 把点 Q 3， 12 代入 x2a2y2b2 1， 得3a214b2 1. 由 解得 a2 4， b2 1.所以椭圆 C 的标准方程为 x24 y2 1.(4 分 ) ( )设直线 l 的方程为 x ty 1， 代入 x24 y2 1， 得 (t2 4)y2 2ty 3 0.(5 分 ) 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则有 y1 y2 2tt2 4
21、， y1y2 3t2 4.(7 分 ) 则 |y1 y2| （ y1 y2） 2 4y1y2 2tt2 42 4 3t2 4 4 t2 3t2 4 4 t2 3t2 3 1 4t2 3 1t2 3.(9 分 ) 令 t2 3 m(m 3) 易知函数 y m 1m在 3， )上单调递增 ， 则 t2 3 1t2 3 3 13 4 33 ， 当且仅当 m 3， 即 t 0 时 ， 取等号 (10 分 ) 所以 |y1 y2| 3. 所以 AMN 的面积 S 12|AP|y1 y2| 12 3 3 3 32 ， (11 分 ) 所以 Smax 3 32 ， 此时直线 l 的方程为 x 1.(12 分
22、 ) 21.【名师指导】 本题考查导数的综合应用 解： ( )f(x) 2ex 6x 2， 因为 f(0) a， 所以 a 0， 易得切点 (0， 2)， 所以 b 1.(1 分 ) 易知函数 f(x)在 R 上单调递增 ， 且 f(0) 0. 则当 x0 时 ， f (x) 0；当 x 0 时 ， f (x) 0. 所以 函数 f(x)的单调递减区间为 ( ， 0)；单调递增区间为 (0， ) (2 分 ) 所以函数 f(x)在 x 0 处取得极小值 f(0) 2.(3 分 ) ( )f(x) 2x2 3x 2 2k 0 ex 12x2 52x 1 k 0 k ex 12x2 52x 1， (*)(4 分 )
