1、 1 平行线的性质与判定的证明 练习题 温故而知新 ： 1.平行线的性质 （ 1）两直线平行，同位角 相等 ； （ 2）两直线平行，内错角 相等 ； （ 3）两直线平行，同旁内角 互补 . 2.平行线的判定 （ 1）同位角 相等 ，两直线平行； （ 2）内错角 相等 ，两直线平行； （ 3）同旁内角 互补 ，两直线平行互补 . 例 1 已知如图 2-2， AB CD EF，点 M， N， P 分别在 AB， CD， EF 上， NQ 平分 MNP（ 1）若 AMN=60， EPN=80，分别求 MNP， DNQ 的度数； （ 2）探求 DNQ 与 AMN， EPN 的数量关系 解析：根据两直线
2、平行，内错角相等及角平分线定义求解 . （标注 MND= AMN， DNP= EPN） 答案：（标注 MND= AMN=60， DNP= EPN=80 ） 解：（ 1） AB CD EF， MND= AMN=60， DNP= EPN=80， MNP= MND+ DNP=60 +80 =140， 又 NQ 平分 MNP， MNQ=12 MNP=12 140 =70， DNQ= MNQ- MND=70 -60 =10， 2 MNP， DNQ 的度数分别为 140， 10 .(下一步 ) （ 2） （标注 MND= AMN， DNP= EPN） 由（ 1）得 MNP= MND+ DNP= AMN+
3、EPN， MNQ=12 MNP=12 （ AMN+ EPN）， DNQ= MNQ- MND =12 （ AMN+ EPN） - AMN =12 （ EPN- AMN）， 即 2 DNQ= EPN- AMN. 小结 ： 在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补 . 例 2 如图， AGD ACB,CD AB,EF AB,证明： 1 2. 解析： （标注： 1 2= DCB， DG BC， CD EF） 答案： （标注： 1 2= DCB） 证明：因为 AGD= ACB， 所以 DG BC， 所以 1 DCB， 又
4、因为 CD AB,EF AB， 所以 CD EF， 所以 2 DCB， 所以 1= 2. 3 小结 ： 在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系 . 例 3 （ 1）已知：如图 2-4，直线 AB ED，求证： ABC+ CDE= BCD； （ 2）当点 C 位于如图 2-4所示时， ABC， CDE 与 BCD 存在什么等量关系？并证明 （ 1） 解析： 动画 过点 C 作 CF AB 由平行线性质找到角的关系 .(标注 1= ABC， 2= CDE) 答案：证明： 如图，过点 C 作 CF AB， 直线 AB ED， AB CF DE，
5、 1= ABC， 2= CDE. BCD= 1+ 2， ABC+ CDE= BCD； （ 2） 解析：动画 过点 C 作 CF AB, 由平行线性质找到角的关系 . （标注 ABC+ 1=180， 2+ CDE=180） 答案： ABC+ BCD+ CDE=360 证明：如图，过点 C作 CF AB， 直线 AB ED， AB CF DE， 4 ABC+ 1=180， 2+ CDE=180 . BCD= 1+ 2， ABC+ BCD+ CDE=360 小结 ： 在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化 . 例 4 如图 2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第
6、一次拐的角 A是 120，第二次拐的角 B是 150，第三次拐的角是 C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么C 应为多少度？ 解析： 动画 过点 B 作 BD AE， 答案： 解：过点 B作 BD AE， AE CF， AE BD CF， A= 1， 2 C=180 A=120， 1+ 2= ABC=150， 2=30， C=180 -30 =150 小结 ： 把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答 . 5 举一反三： 1.如图 2-9， FG HI,则 x 的度数为（ ） A.60 B. 72 C. 90 D. 100 解析： AEG=180 -120
7、=60 ,由外凸角和等于内凹角和有 60 +30 +30 x+48，解得x=72 . 答案 :B. 2. 已知如图所示， AB EF CD， EG 平分 BEF， B+ BED+ D=192， B- D=24，求GEF 的度数 . 解析： 解 : AB EF CD, B= BEF, DEF= D. B+ BED+ D=192 , 即 B+ BEF+ DEF+ D=192 , 2( B+ D)=192 , 即 B+ D=96 . B- D=24 , B=60 , 6 即 BEF=60 . EG 平分 BEF, GEF=12 BEF=30 . 3.已知：如图 2-10， AB EF， BC ED，
8、 AB， DE 交于点 G 求证： B= E 解析： 标注 AB EF， BC ED 答案：证明： AB EF， E= AGD. BC ED， B= AGD， B= E. 例 5 如图 2-6，已知 AB CD，试再添上一个条件，使 1= 2 成立，并说明理由 解析： 标注 AB CD， 1= 2 答案： 方法一： （标注 CF BE） 解：需添加的条件为 CF BE ， 理由： AB CD， DCB= ABC. CF BE， FCB= EBC， 1= 2； 7 方法二 ：（标注 CF， BE， 1= 2= DCF= ABE） 解： 添加的条件为 CF， BE 分别为 BCD，CBA 的平分线
9、 理由 ： AB CD， DCB= ABC. CF， BE 分别为 BCD， CBA 的平分线， 1= 2 小结： 解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因 . 例 6 如图 1-7，已知直线 1l 2l ，且 3l 和 1l 、 2l 分别交于 A、两点，点 P 在 AB 上， 4l 和 1l 、 2l 分别交于 C、 D 两点，连接 PC、 PD。 （ 1） 试求出 1、 2、 3之间的关系，并说明理由。 （ 2） 如果点 P在 A、 B两点之间运动时，问 1、 2、 3 之间的关系是否发生变化。 （ 3） 如果点 P在 AB 两点的外侧运动时，试探究 1、
10、 2、 3 之间的关系（点 P 和 A、 B 不重合） 解：（ 1）解析： 在题目中直接画出辅助线 3= 1+ 2。理由：如图（ 1）所示 8 过点 P作 PE 1l 交 4l 于 E，则 1= CPE， 又因为 1l 2l ，所以 PE 2l ，则 EPD= 2， 所以 CPD= 1+ 2，即 3= 1+ 2 （ 2）解析 : 点 P在 A、 B两点之间运动时， 3= 1+ 2 的关系不会发生改变。 （ 3）解析：如图（ 2）和（ 3）所以，当 P 点在 A、 B 两点外侧运动时，分两 种情况： 4.如图 2-11， CD 平分 ACB， DE AC， EF CD， EF 平分 DEB 吗？
11、请说明理由 解析：标注 CD 平分 ACB， DE AC， EF CD 答案：标注 CDE= ACD= DCE= DEF= BEF 解： EF 平分 DEB理由如下： DE AC， EF CD， CDE= ACD， CDE= DEF， BEF= DCE. 9 CD 平分 ACB， DCE= ACD， DEF= BEF， 即 EF 平分 DEB 5.如图 1-12， CD EF, 1+ 2= ABC, 求证： AB GF 解析：如图，作 CK FG,延长 GF、 CD 交于 H，则 H+ 2+ KCB=180 .因为 CD EF，所以H= 1,又因为 1+ 2 ABC，所以 ABC+ KCB=180，所以 CK AB,所以 AB FG. 6.如图 2-13，已知 AB CD， ECD=125， BEC=20，求 ABE 的度数 解析：（ 过 E点作 EF CD）标注 AB EF CD 答案： 解：过 E点作 EF CD， ECD+ CEF=180， 10 而 ECD=125， CEF=180 -125 =55， BEF= BEC+ CEF=20 +55 =75 . AB CD， AB EF， ABE= BEF=75
