1、 一：应用题专题 一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差，求这两个数。 方法：（和差） 2 较小数，和 较小数 较大数 方法：（和 差） 2 较大数，和 较大数 较小数 例如：两个数的和是 15，差是 5，求这两个数。 方法： (15 5) 2 5 ， (15 5) 2 10 . （二） 和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系，求这两个数。 方法：和 （倍数 1 ） 1 倍数（较小数） 1倍数（较小数） 倍数 几倍数（较大数） 或 和 1 倍数（较小数） 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为 50，大数是小数的 4倍，求这两个数。 方法： 50 (4 1) 10 10
2、 4 40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数。 方法：差 （倍数 1 ） 1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数） 倍数 几倍数（较大数） 或 和 1 倍数（较小数） 几倍数（较大数） 例如：两个数的差为 80，大数是小数的 5 倍，求这两个数。 方法： 80 (5 1) 20 20 5 100 二、年龄问题 年龄问题的三大规律： 1两人的年龄差是不变的； 2两人年龄的倍数关系是变化的量； 3随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄 大小年龄差 倍数差 小年龄， 几年前年龄 小年龄 大小年龄差 倍数差 三、植树问题 （一）不封
3、闭型（直线）植树问题 1 直线两端植树： 棵数 段数 1全长 株距1 ； 全长 株距 （棵数 1 ）； 株距 全长 （棵数 1 ）； 2 直线一端植树： 全长 株距 棵数； 棵数 全长 株距； 株距 全长 棵数； 3 直线两端都不植树： 棵数 段数 1全长 株距 1 ； 株距 全长 （棵数 1 ）； （二） 封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题 棵数 总距离 棵距； 总距离 棵数 棵距； 棵距 总距离 棵数 四、方阵问题 在方阵问题中，横的排叫做行，竖的排叫做列，如果行数和列数都相等，则正好排成一个正方形，就是所谓的“方阵”。 方阵的基本特点是： 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相
4、同每向里一层，每边上的人数就少 2 ，每层总数就少 8 每边人（或物）数和每层总数的关系： 每层总数 每边人（或物）数 1 4 ； 每边人（或物）数 =每层总数 41 实心方阵：总人（或物）数 =每边人（或物）数每边人（或物）数 五、还原问题 已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原 来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题 还原问题又叫做逆推运算问题解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推 在解题过程中注意两个相
5、反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反 六、盈亏问题 按不同的方法分配物品时，经常发生不能均分的情况如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈亏问题的含义 一般地，一 批物品分给一定数量的人，第一种分配方法有多余的物品 (盈 )，第二种分配方法则不足 (亏 )，当两种分配方法相差 n 个物品时，那就有： 盈数 亏数 人数 n ， 这是关于盈亏问题很重要的一个关系式 解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括： (盈 亏 ) 两次分得之差 人数或单位数， (盈 盈 ) 两次分得之差 人数或单位数， (亏 亏 ) 两次分得之差 人数或单位 数 解盈亏问题的关键是要找到：什么情况下会
6、盈，盈多少？什么情况下“亏”，“亏”多少？找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因 另外在解题后，应进行验算 七、假设问题 鸡兔同笼，这是一个古老的数学问题，在现实生活中也是普遍存在的重点掌握鸡兔同笼问题的解法 假设法，并会将这种方法应用到一些实际问题中 . 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 鸡数 =（每只兔子脚数鸡兔总数 -实际脚数）（每只兔子脚数 -每只鸡的脚数） 兔数 =鸡兔总数 -鸡数 当然，也可以先假设全是鸡，那么就有： 兔数 =（实 际脚数 -每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数 -每只鸡的脚数） 鸡数 =鸡兔总数 -兔数 八、牛吃草问题 （一）牛吃草的由来 在英国伟大的科学家牛顿所著的
7、普通算术一书中有一道非常有名的关于牛在牧场上吃草的题目：“ 12 头牛 4 周吃牧草 133格尔 (格尔：牧场面积单位 )，同样的牧草， 21 头牛 9周吃 10 格尔问 24 格尔牧草，多少头牛吃 18 周吃完？”后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也称为“牛吃草”问题 （二）牛吃草的解题步骤 同一片牧场中的“牛吃草”问题 ，一般的解法可总结为： 设定 1 头牛 1天吃草量为“ 1”； 草的生长速度 (对应牛的头数 较多天数 对应牛的头数 较少天数 ) (较多天数 较少天数 )； 原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数； 吃的天数 原来的草量 (牛的头数 草的生长速度
8、)； 牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度 （三）牛吃草的变式题 “牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题 （四）多块草地的牛吃草问题 多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变得统一，一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数，这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一般把面积统一为“ 1”相对会简单些。 九 、工程问题 工 程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。 1.解题
9、关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率工作时间 =工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。 2.利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题 答案，一般情况下，工程问题求的是时间。 有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。 十、浓度问题 将糖溶于水就得到了糖水，糖水甜的程
10、度是由糖与糖水二者重量的比值决定的糖与糖水重量的比值叫糖水的浓度，这个比值一般我们将它写成百分数其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液不光是糖水中存在着浓度，我们日常生活中的盐水、酒精等溶液只能够都存在着浓度的问题 浓度问题相关公式： 溶 液 溶 质 溶 剂 ；1 0 0 % 1 0 0 % 溶 质 溶 剂溶 质 溶 质浓 度 溶 液 常用方法： 抓不变量：一般情况下在经济问题中成本是不变量，浓度问题中溶剂是不变量，我们可以用画图来分析； 方程法：对于经济浓度问题，采用方程来求解是简便、有效的方法； 十字交叉法： (甲溶液浓度大于乙溶液浓度 )；形象表达： 浓度三角：浓度三角在解决浓度问题时非常有
11、用 十一、利润问题 商店出售商品时，为了获得最大的利润，商家总是“低进高出”，只有这样才能赚取差价，这个差价就会产生利润实际上，在商品贸易上的 许多数学问题都会涉及到三个量：成本、利润及定价 成本 购进商品所需的本钱，又叫进价或成本价； 定价 商品出售的价格，又叫售价或卖卖价； 利润 产品定价中高于成本以上的那一部分 为了衡量获得利润的大小，通常采用：“利润百分数”或“利润率”这个量： 1 0 0 % 1 0 0 % 1 1 0 0 % 售 价 成 本售 价 成 本 利 润 ， 利 润 率 利 润 售 价成 本 成 本 成 本由上面的公式还可以引申出下面两个公式： 1售 价 =成 本 （ +利
12、 润 率 ）， 售 价成 本 1+利 润 率 二：习题 1.商店进了 300 支钢笔，每售出 1 支，可 获 40% 的利润当这批钢笔售出芸时，共获得利润 750 元，求每支钢笔的进货价 . 2.商场以每个 3.2 元的价格购进了一批文具盒，每个售价 5 元，还剩下 80 个没售出时，除了成本已经获利500 元问这批文具盒一共有多少个 ? 3.人民商厦运来一批彩电，按定价出售可以获利 2.8 万元，如果按定价的九五折出售，则仍可获利 2000元问彩电的成本价共是多少元 ? 4.红星商场进了 一批玩具，六月一日这天以定价的八折出售，当天售出的玩具仍可获得 10% 的利润，问这批玩具定价时的利润是
13、百分之几 ? 5.一批商品，按照能获得 50% 的利润定价，结果只销掉了 70% 的商品为尽快将剩下的商品销售出去，商店决定打折出售，这样所获得的全部利润是原来能获利润的 82% 问剩下的商品打了多少折出售 ? 6.有 300 克浓度为 10% 的盐水现在要将这盐水的浓度变为 8% ，问应加入多少克水 ? 7.要从含糖 16% 的 20 千克糖水中蒸去水分，制出含糖20% 的糖水，问应当蒸去多少千克水分 ? 8.要配制浓度为 20% 的硫酸溶液 1000 克，需要用浓度为 18% 和 23% 的硫酸溶液各多少克 ? 9.大瓶酒精溶液是小瓶酒精溶液的 2 倍，大瓶酒精溶液的浓度为 20% ，小瓶
14、酒精溶液的浓度为 35% 将两瓶酒精溶液混合后，酒精溶液的浓度是多少 ? 10. 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占 48% 、 62.5% 和 23已知三缸酒精溶液总量是100 千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量三缸溶液混合后，听含纯酒精的百分数将达 56% ，那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克 ?(1997 年小学数学奥林匹克预赛 C 卷第 12 题 ) 11. 甲瓶中有纯酒精 11 升，乙瓶中有水 15升，第一次将甲瓶中的一部分酒精倒入乙瓶中，使酒精和水混合第二次将乙瓶中的一部分混合液倒入甲瓶中这样，甲瓶中的纯酒精含量为 62.5% ，乙瓶中的纯酒精含量为
15、25% 问第二次从乙瓶倒人甲瓶的混合液是多少升 ? 12. 李明和王林在周长为 400米的环形跑道上练习跑步，李明每分钟跑 200 米，是王林每分钟跑的 98 ，如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇 ? 13. 从 360 米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步，甲每分钟跑 305 米，乙每分钟跑 275 米，两人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处 ? 14. 绕湖一周是 21.1 千米，小明和小华从湖边同一地点同时相背而行小明以每小时 4.6 千米的速度每走 1小时后就休息 5分钟，小华以每小时 5.4 千米的速度每走 50 分钟后就休息 10 分钟，问
16、两人出发后多少小时相遇 ? 15. 12 点整时，钟面上的时针、分针和秒针刚好重合那么，再过多长时间，钟面上的时针和分针再次重合 ?重合时，时针、分针分别走了几圈几格 ?(钟面一圈分成 60格 ) 16. 有一个台式钟，在 3月 29 日零时比标准时间慢 4分半，它一直走到 4 月 5日上午 7 时，比标准时间快 3 分钟，那么这个台钟所指时间是正确的时刻在几月几日几时 ? 17. 小红和妈妈的年龄加在一起是 40岁 ,妈妈年龄是小红年龄的 4 倍 ,小红有 _岁 ,妈妈有 _岁 . 18. 甲、乙、丙、丁四个人一共做了 370个零件 ,如果把甲做的个数加 2,乙做的个数减 3,丙做的个数乘2
17、,丁做的个数除以 2,四个人做的零件个数正好相等 ,问四个人各做多少个零件 ? 19. 叔叔比小华大 20 岁，明年叔叔的年龄是小华的 3倍， 小华今年 _岁 . 20. 女儿今年 (1994年 )12岁，妈妈对女儿说：“当你有我这么大岁数时，我已经 60 岁喽 !”问：妈妈 12岁时，是哪一年？ 21. 五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大 6 岁，已知他们的平均年龄为 85 岁，其中年龄最大的一位老人为 _. 22. 今年父亲的年龄为儿子的年龄的 4倍， 20 年后父亲的年龄为儿子的年龄的 2倍，儿子今年 _岁。 23. 今年爷爷 78 岁，三个孙子的年龄分别是 27 岁，
18、23 岁， 16 岁，经过年后爷爷的等于三个孙了的年龄的和。 24. 四个人年龄之和是 77 岁，最小的 10 岁，他与最大的年龄之和比另外二人年龄之和大 7 岁，那么最大的岁数是 _。 25. 有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的 2倍时，丙是 22 岁；当乙的年龄是丙的 2 倍，甲是 31岁；当甲 60 岁时，丙是 _岁。 26. 甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是 64 岁，甲21 岁时，乙 17岁；甲 18 岁时，丙的年龄是丁的 3倍，丁现在的年龄的 _岁。 27. 今年，小明的父母年龄之和是小明的 6 倍， 4 年后小明的父母亲年龄之和是小明的 5 倍，已知小明的父亲比他的 母亲大 2
19、 岁，那么，今年小明父亲_岁。 28. 有甲、乙、丙三人，丙的年龄是甲年龄的 163 ，乙今年 14 岁，又知丙的年龄是甲、乙年龄之差的 31 ，丙今年 _岁。 29. 爸爸在过 50 岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的年龄时，那时我和哥哥的年龄之和正好等于那时爸爸的年龄。”那么哥哥现在 _岁。 30. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才5 岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数 时，你将 50，”那么甲现在 _岁，乙现在 _岁。 31. 六年级同学乘汽车到某地旅游，买车票 99 张，共花 28 元，其中单程票每张 0.2 元，往返票每张 .4元。那么单程票和往返票相差 _张
20、。 32. 三种昆虫共 18 只，它们共有 20 对翅膀 116条腿，其中每只蜘蛛是无翅 8 条腿，每只蜻蜓是 2 对翅膀6 条腿，蝉是 1 对翅膀 6 条腿，问这三种昆种各多少只？ 33. 启蒙书社五天内卖出 和 共 120 本。 第本 5 元， 每本 3.75 元，营业员统计的 结果表明：这五天所卖 的收入比卖 的收入多 162.5 元，这五天内启蒙书社卖出的 和 各多少本？ 34. 王村小学举行数学竞赛，共 10 道题，每做对一道题得 10 分，每做错一道题倒扣 2 分，小明得了 64分，他做错了几道题？ 35. 某次数学竞赛，共有 20 道题，每道题做对得 5分，没做或做错都要扣 3
21、分，小聪得了 60 分，他做对了 _道题。 36. 某小学举行一次数学竞赛，共 15 道题，每做对一题得 8 分，每做错一题倒扣 4分，小明共得 72 分，他做对了 _道题。 37. 春风小学 3 名云参加数学竞赛，共 10 道题，答对一道题得 10 分，答错一道题扣 3分，这 3 名同学都回答了所有的题，小明得了 87 分，小红得了 74 分，小华得了 9 分，他们三人一共答对了 _道题。 38. 箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的 3 倍多 2 只，每次从箱子里取出 7只白球， 53 只红球，那么，箱子里原有红球数 _只。 39. 原有男、女同学 325 人，新学年男生增加 25
22、 人，女生减少 5% ，总人数增加 16 人，那么现有男 同_人。 40. 一根木料长 21 米，把它据成 3 米长的一段，每据一段用 6 分钟，共用 _分钟。 41. 科学家进行一项实验，每隔五小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟时针恰好指向 9，问做第一次记录时，时针指向几？ 42. 从运动场一端到另一端全长 96 米，从一端起到另一端每隔 4 米插一面小红旗。现在要改成每隔 6 米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？ 43. 有一块三角形地，三条边分别为 120米、 150 米、80 米，每 10 米种一颗树，那么三条边上共种_棵树。 44. 园林工人要在周长 300 米的圆
23、形花坛边等距离地栽上树。他们先沿着花坛的边每隔 3 米挖一个坑，当挖完 30 个坑时，突然接到通知：改为每隔 5米栽一颗树。这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？ 45. 四年级三班上操正好排成人数相等的三行，小明排在中间一行，从前从后数都是第八个。那么这个班有学生 _人。 46. 四年级三个班的同学在河堤上种了一排树共 80棵。从左往右数，第 58 棵起往右数都是一班种的；从右往左数，第 63 棵起往左都是三班种的；那么二班种了 _棵。 47. 在田径运动 会上，甲、乙、丙三人沿 400 米环形跑道进行 800 米跑比赛当甲跑完 1 圈时，乙比甲多跑 17 圈，丙比甲少跑 17 圈如果他们各
24、自跑步的速度始终不变那么，当乙到达终点时，丙离终点还有 _米 . 48. 六 (1)班和六 (2)班同学买同一种电影票六 (1)班 48 人共付 1654 元，六 (2)班共付了 1543 元，问六年级两班共有多少人 ? 49. 某运输队运一批大米第一天运走总数的 51 多 60袋，第二天运走总数的 41 少 60 袋还剩下 220 袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？ (只列式，不计算 ) 50. 某市派出 60 名选手参加 1998 年“贝贝杯”少年田径邀请赛，其中女选手占 14正式比赛时，有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的 211正式参赛的女选手只 有 名 第三
25、篇：参考答案 2、提高篇 31. 7.5 32. 500 33. 49.2 34. 37.5 35. 8 36. 75. 37. 4 38. 400 39. 25 40. 12 41. 6 42. 16 43. 60 44. 2 45. 56511分钟， 5511格， 1 圈 5511格 46. 4 月 2 日 9时 47. 32 48. 41,80,85,164 49. 9 50. 1970 51. 88 52. 10 53. 6 54. 90 55. 32 56. 8 57. 37 58. 6 59. 25 60. 20 61. 17 62. 蜘蛛 4 只，蝉 8只，蜻蜓 6只 63 70 64 3 65 15 66 11 67 20 68 106 69 170 70 36 71. 2 72. 9 73. 35 74. 54 75. 45 76. 39 77. 200 78. 93 79. 112 2 0 6 0 6 0 154 （ ） （ ）80. 10 3、竞赛篇 81 150 82. 20:39 83. 57 84. 7 85. 7 86. 3 ， 15 87. 80.2 兆 88. 50% 89. 6 90. 2 91. 102 92. 99 93. 753 94. 17 95. 34 96. 10 97. 12.25 98. 60 99. 3 100. 2.70
