1、二次成本函数模型及其运用摘要：二次成本函数模型在经济学、管理学中广泛应用，但多数使用时都只是直接给予结果 x=（A/B）1/2，没有列出求解的推导过程。为此本文从数学角度并结合经济含义，证明一元二次成本函数 x 的最优解模型，并说明其具体运用。 关键词：二次成本函数；模型；运用 产品成本是指企业为生产和销售一定种类和数量的产品所支出的各种生产费用总和，它反映企业再生产过程中的投入量，并影响生产量的变化。成本与产量客观上存在着函数关系：y=f（x） 。人们通常把这种函数关系称为成本函数。为了掌握和分析成本与产量变化的规律，使成本与产量达到最优配合，降低成本，提高经济效益，人们又常把成本按其性态分
2、为固定成本、变动成本、半固定成本和半变动成本，而半固定成本和半变动成本又可以通过一定的方法分解成为“固定”和“变动”两部分，因此，全部成本最终可以归结为固定成本（a）和变动成本（bx） 。我国管理会计上一般都把成本与产量的关系用一元一次方程式（即直线方程式）表示：y=a+bx。但事实上，在实际生产过程中，当某些因素发生变动（如生产量超过一定的相关范围） ，固定成本总额要发生增减，单位变动成本也要发生变动。根据经典生产函数的生产成本表明，当生产量超过一定的相关范围时，单位固定成本（a/x）和单位变动成本（b）都逐渐上升，使总成本成非直线变化。因此，在生产过程中，成本函数除有线性函数外，还存在二次
3、、三次或指数型函数。本文仅就二次成本函数的数学模型及其运用作些探讨。 一、二次成本函数的数学模型 从财会管理角度来看，一元二次成本函数在工业企业中主要有三种情况产生： 1.追加生产量超过一定相关范围时（即由原来的限度生产量 X0 追加到 X） ，固定成本总额增加 a，单位变动成本也随产量每增加 m%而上升n%，这样产量（X）与单位成本（Y）就存在一元二次函数关系： y=+1+m%n%（1） 2.确定经济生产批量。在生产任务一定下，分批量组织生产时，使总成本达到最低的生产批量，就称为经济生产批量。在一定时期内，企业生产量（X0）一定，每批生产准备费用（a） ，单位产品储存费用（b） ，试确定投产
4、批量（x）为多少时，产品单位成本（y）最低。这就需要建立一元二次成本函数。由于产品入库是完工后一次进行，而出库是根据销售等情况陆续进行，因而库存经常占用的产成品只能用平均数，通常是假设为生产量的一半，即 x/2。这样，就可以建立单位成本的一元二次成本函数如下： y=a+b（2） 3.确定经济采购批量。经济采购批量是指可使企业在存货上所花费用最低的每次采购量。企业在需要采购的原材料等存货一定时（x0） ，每次采购量（x）所需的采购成本（a） ，单位存货的仓储保管等费用（b） ，且采购的物料平均库存量为 x/2，则单位成本函数为： y=a+b（3） 上述三种表达式的地元二次函数，可以用一般表达式反
5、映： Y=A/ x+Bx+C（4） 从纯数学角度上讲，式为一次有理分式函数，但业务量 x0。式可以整理为二次函数式：yx=A+Bx2+Cx。建立二次成本函数的目的在于：通过解方程式求业务量 x 的值，使成本 y 达到最低。由于各种不同情况下建立的二次成本函数关系式构成因素不同，按数学程序逐步求解十分麻烦，就有必要预先求出 x 解的简便实用模式。但是，在一般的管理会计和技术经济教材中，都只是直接给予结果 x=（A/B）1/2，没有列出求解的推导过程，这对教学和实际运用都带来盲然：只知其然，不知其所以然。马克思曾经指出：“一种科学，只有成功地应用数学时，才算达到成功的地步。 ”现从数学角度并结合经
6、济含义，证明一元二次成本函数x 的最优解如下： 证明一：根据抛物线性质证明。 x0，将式两边同乘以 x 后移项得： Bx2-（y-C）x+A=0 配方并整理得： x-2=（y-c）2-（5） （5）式属于“（x-h）2=2p（y-k） ”型抛物线方程，这类抛物线的性质是开口向上，顶点坐标（h，k） ，即 x=h 时，y 的最小值为 k。根据这一性质，式中 B0，当 x=（y-C）2B 时，y 有极小值，代入（4）式得： y=+c 化简得：y=2+c x= 也就是说，当 x=（A/B）1/2 时，Y 有极小值 2（A/B）1/2+C 证明二：根据不等式的性质证明。 x0，B0 （5）式左边0，则
7、右边也必然0，即 （y-C）2-4AB4B20 （y-C）24AB 又 y0 y2（AB）1/2+C 只要 y 取最小值，就有 y=2（AB）1/2+C 。 把 y=2（AB）1/2+C 代入（4）式，有： 2（AB）1/2+C=A/x+Bx+C x2-2（A/B）1/2x+A/B=0 x=（A/B）1/2 证明三：根据绝对不等式性质证明。 根据绝对不等式（a+b）/2（ab）1/2（a0，b0） ，可知（5）式有： y=A/x+Bx+C2（A/xBx）1/2+C=2（AB）1/2+C 只有 A/x=Bx，即 x=（AB）1/2 时（x0） ，不等式中的等号才成立。所以，当 x=（A/B）1/
8、2 时，y 有极小值 2（AB）1/2+C。 证明四：根据一元二次方程的判别式证明。 由（4）式整理为标准的一元二次方程为： Bx2-（y-C）x+A=0 根据一元二次方程判别可知，要使该方程有实数解，则必须有： （y-C）2-4AB0 y2（AB）1/2+C （y0） y=2（AB）1/2+C 时有极小值，将其代入（4）式有： x=（A/B）1/2（解法同前） 。 证明五：根据函数的导数与极值的关系来证明。 函数具有极值的必要条件是一阶导数等于零，充要条件是二阶导数小于零有极大值、大于零有极小值。所以，对（4）式求导数得： y/=-A/x2+B 令 y/=0，则 -A/x2+B=0 x=（A
9、/B）1/2 x0， 取 x=（A/B）1/2 又 y=2A/x30（ A0，x0） y 有极小值 2（AB）1/2+C。 从上述证明说明，只要成本与产量的关系符合 y=A/x+Bx+C 的一元二次成本函数，就可以直接用 x=（A/B）1/2 数学模式来求成本最低的解，这样比根据方程式来解要简便得多。一元二次成本函数中的 C 是常数，对产量（x）没有影响，只对成本（y）产生影响，因而在确定最佳生产量时，可以不考虑。在使用本数学模型时，对那些复杂的二元一次成本函数，必须先化简成为标准形式，否则不能直接使用。 二、二次成本函数应用举例 例一：某厂生产一种甲产品，年产量为 10 000 件时，单位变
10、动成本为 20 元，年固定成本为 200 000 元。由于该产品属于供不应求，且企业又有扩大生产的能力，因而企业决定追加生产量。根据实际测定：产量每增加 10%，单位变动成本上升 5%，年固定成本增加 10 000 元。试确定企业年生产时为多少时，单位成本最低？ y=+20（1+10%5%） 设：单位成本为 y，单位成本最低时的年产量为 x，则有成本函数： 则：A=210000，B=0.001，C=10 验算：假设年产量安排 14492 件，则单位成本 x=14491（件） y=2+C=2+10=38.98275349（元） y=2100014492+0.00114492+10=38.9827
11、5352（元） 假设年产量安排 14490 件，则单位成本 y=2100014490+0.00114490+10=38.98275362（元） 由此看出，企业年生产量为 14491 件时，单位成本最低：38.98275349 元。 例二：设某企业生产中需要 S 零件的年产量为 10 000 件，该零件由辅助生产车间自制，每件生产成本 1.50 元（企业规定辅助生产费用按计划成本分配，S 零件计划单位成本为 1.50 元） ，一批零件投入生产需花准备费用 15 元，零件单位储存费用为生产成本的 20%。在生产期内，每天生产量为领用量的 4/3 倍。问一次投产的最优批量应为多少？ 设：一次投产最优
12、批量为 x 件，在最优批量下全年准备费用和储存费用为 y。根据题意有： 产品生产入库量为：x（1-34）=0.25x 平均库存量为：0.25x2=0.125x 单位变动成本 b=1.5020%=0.30（元） y=（1000015）x+0.125x0.30 =150000/x+0.0375x 即：A=150000， B=0.0375， C=0 x=（AB）1/2=（1500000.0375）1/2=2000（件） y=2（AB）1/2+C=2（1500000.0375） 1/2+0=150（元） 这就是说，每批按 2000 件（即全年分 5 批）组织生产，准备费用和储存费用可达最低 150 元
13、。 验算：按 4 批组织生产（x=100004） ，准备费用为 60 元（415） ，储存费用为 93.75 元（25000.0375） ，总费用为 153.75 元；按 6 批组织生产（x=100006） ，准备费用为 90 元，储存费用为 62.50 元，总费用为 152.50 元。 例三：某企业产品生产中需要某种外购半成品全年 1000 件，单位订货成本为 20 元，储存费用中变动成本每件 0.25 元。问经济订货量应为多少？最低单位成本为多少？ 设：最低成本为 y，经济订货量为 x，假设库存平均占用量为购入量的一半，则 y=（100020）x+0.25x2 =20000/x+0.125
14、x 即：A=20000，B=0.125，C=0 x=（AB）1/2=（200000.125）1/2=400（件） y=2（AB）1/2+C=2（200000.125）1/2+0=100（元） 验算：假设每次订货量为 500 件，则单位成本为 102.50 元（20000500+0.125500） ；如果每次订货量为 200 件，则单位成本为125 元（20000200+0.125200） 。所以，最优订货量为每次 400 件，最低单位成本可达 100 元。 参考文献： 1Harold Bierman，Jr./Thomas.P.Dycbman Managerial Cost Accounting
15、Collier Macmillan Publishers 1971. 2吴敬业等译.生产经济学理论与应用M，农业出版社，1984. 3沈达尊主编.实用农业技术经济学M.农村读物出版社，1987. 4谭文峰.介绍一个简捷实用的数学模式J.安徽财会，1986（10）. 5回忆马克思恩格斯M.人民出版社，1959. 6中国矿业学院数学教研室编.数学手册M.科学出版社，1980. *本论文获西华大学“企业管理”四川省重点学科建设项目资助（SZD0801-09-1） ， “会计学”重点学科建设项目资助（XZD0909-09-1） 。 （作者单位：章道云，西华大学管理学院院长；田祺，西华大学2012 级会计学专业硕士研究生；叶雨薇，西华大学企业会计专业 2010 级硕士研究生）
