1、满分晋级三角形 9 级全等三角形的经典模型（二）三角形 8 级全等三角形的经典模型（一）三角形 7 级倍长中线与截长补短秋季班第四讲秋季班第三讲秋季班第二讲作弊？漫画释义3全等三角形的经典模型（一）DC BA45 45CBA知识互联网思路导航等腰直角三角形数学模型思路：利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或 ）.如图 1；9045， ，常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图 2；补全为正方形.如图 3，4.图 1 图 2图 3 图 4 题型一：等腰直角三角形模型ABCOMNABCOMN典题精练【例 1】 已知：如图所示，RtABC 中，AB=AC， ，O 为 BC 的中点，90BAC
2、写出点 O 到ABC 的三个顶点 A、B、C 的距离的关系（不要求证明）如果点 M、N 分别在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断 OMN 的形状，并证明你的结论.如果点 M、N 分别在线段 CA、AB 的延长线上移动，且在移动中保持 AN=CM，试判断 中结论是否依然成立，如果是请给出证明【解析】 OA= OB=OC连接 OA,OA=OC AN=CM45BAOCANOCMOON=OM NM 90BN 90OMN 是等腰直角三角形ONM 依然为等腰直角三角形，证明：BAC=90，AB =AC， O 为 BC 中点BAO=OAC=ABC=ACB=45，AO=BO=OC，在
3、ANO 和 CMO 中，ANCMBOANOCMO（SAS）ABCOMNFEDCB ANM1 2AB CDEF3ON=OM，AON= COM，又COM AOM=90，OMN 为等腰直角三角形【例 2】 两个全等的含 ， 角的三角板 和三角板 ，如306ADEBC图所示放置， 三点在一条直线上，连接 ，取 的,EACD中点 ， 连接 ， 试判断 的形状，并说明理MM由【解析】 是等腰直角三角形 E证明：连接 由题意，得A,90,90.DCBDAB 为等腰直角三角形. ，M ,45AM ，105E D C ,A又 90ED ，ME 是等腰直角三角形【例 3】 已知：如图， 中， ， ， 是 的中AB
4、C A90BCDAC点， 于 ，交 于 ，连接 FDEF求证： 【解析】 证法一：如图，过点 作 于 ，交 于 NM ， ，ABC90 345M ， 3 ，FD1BAE ， 90BA290 12在 和 中， CMED CBAMED CBAM12AB CDEF3PCB A PCB AD123ABC MF AC在 和 中，D AC F DB证法二：如图，作 交 的延长线于 CMAM ， ，AF3290 ，90 ，12 在 和 中，AC BD390M ，ADBC ， 在 和 中，CF 45MD MCDF ABCF【例 4】 如图，等腰直角 中， ， 为 内部一点，满 90BA， PBC足 P，求证：
5、 15C【解析】 补全正方形 ，连接 DP，ACBD易证 是等边三角形， ， ，P 60AP45BD ， ， ，15307C BC【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例 4 为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选 1】如图，RtABC 中，BAC=90，AB=AC，M 为 AC 中点，连结 BM，作ADBM 交 BC 于点 D，连结 DM，求证:AMB =CMD 21NFAB CDM
6、EEMD CBA【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰 RtBFC，延长 AD 交 CF 于点 N，ANBM，由正方形的性质，可得 AN=BM，易证 RtABM RtCAN，AMB =CND，CN=AM，M 为 AC 中点， CM=CN，1=2，可证得CMDCND，CND=CMD，AMB=CMD【探究二】判定三角形形状【备选 2】如图，RtABC 中，BAC= 90，AB=AC，AD=CE，ANBD 于点 M，延长BD 交 NE 的延长线于点 F，试判定DEF 的形状 AB CDEFNM KHMNFED CB A【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 对称的等腰 RtBHC，可
7、知四边形 ABHC 为正方形，延长 AN 交 HC 于点 K，AKBD，可知 AK=BD，易证:RtABD RtCAK，ADB=CKN，CK=AD，AD=EC，CK= CE，易证CKNCEN，CKN= CEN，易证EDF=DEF ，DEF 为等腰三角形【探究三】利用等积变形求面积【备选 3】如图，RtABC 中，A=90，AB=AC ，D 为 BC 上一点，DE AC ，DF AB，且 BE=4，CF =3，求 S 矩形 DFAE GMNFEDCBAFEDCBA【解析】 作等腰 RtABC 关于 BC 的对称的等腰 RtGCB，可知四边形 ABGC 为正方形，分别延长 FD、ED 交 BG、C
8、G 于点 N、M，可知 DN=EB=4，DM =FC=3，由正方形对称性质，可知 S 矩形 DFAE=S 矩形 DMGN=DMDN=3 4=12【探究四】求线段长【备选 4】如图，ABC 中，AD BC 于点 D，BAC=45，BD=3，CD=2，求 AD 的长 GF EDC BADC BA【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形，但BAC =45，若分别以 AB、AC 为对称轴作 RtADB 的对称直角三角形和 RtADC 的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为 90的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之
9、转化为正方形【解析】 以 AB 为轴作 RtADB 的对称的 RtAEB，再以 AC 为轴作 RtADC 的对称的 RtAFC可知 BE=BD=3，FC= CD=2，延长 EB、FC 交点 G，BAC=45，由对称性，可得EAF=90，且 AE=AD=AF，易证四边形 AFGE 为正方形，且边长等于 AD，设 AD=x，则 BG=x3，CG =x2，在 RtBCG 中，由勾股定理，得 ，2235x解得 x=6，即 AD=6【探究五】求最小值【备选 5】如图，RtABC 中，ACB=90，AC=BC =4， M 为 AC 的中点，P 为斜边 AB 上的动点，求 PM+PC 的最小值MPDBCAM
10、 PBCA【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作 RtACB 关于 AB 对称的 RtADB，可知四边形 ACBD 为正方形，连接 CD，可知点 C 关于 AB 的对称点 D，连接 MD交 AB 于点 P，连接 CP，则 PM+PC 的值为最小，最小值为 :PM+PC=DM=245思路导航常见三垂直模型例题精讲题型二：三垂直模型C1AB EDDE(C)BAC1C1AB CEDC1ABCEDEDCBA 21【引例】 已知 ABBD ，ED BD，AB=CD，BC =DE，求证：ACCE ；若将CDE 沿 CB 方向平移得到 等不同情形， ， 1CD其余条件不变，试判断 AC C1E 这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由. 【解析】 ABBD，EDBD 90BD在 与 中AC EBD （SAS）ACE 1 290 ,即 ACCEACE 图 四种情形中，结论永远成立，证明方法与完全类似，只要证明1BD 1ACE 190190CEAB
