1、1求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合 A 和 B 是非空数集，按照某一确定的对应关系 f，使得集合 A中任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应。则称 f:为 A 到 B 的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是 确定的对应关系（f）,集合 A 的取值范围。由这两个条件就决定了 f(x)的取值范围y|y=f(x),xA。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法” ；
2、一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。4.值域：是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。（1）明白值域是在定义域 A 内求出函数值构成的集合： y|y=f(x),xA 。（2）明白定义中集合 B 是包括值域，但是值域不一定为集合 B。5函数的三种表示方法 解析法、图象法、列表法6分段函数是一个函数而非几个函数分段函数的定义域是各段上“定义域 ”的并集，其值域是各段上“值域”的并集分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况w二、求函数定义域（一）求函数定义域的
3、情形和方法总结1 已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。（1）常见要是满足有意义的情况简总：表达式中出现分式时：分母一定满足不为 0；表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于 0（非负数） 。表达式中出现指数时：当指数为 0 时，底数一定不能为 0.根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于 0.表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有 x，必须满足指数底数大于 0且不等于 1.（01）表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于 0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数
4、上时，要同时满足真数大于 0，底数要大于 0 且不等于 1.（ ）2()log(1)xf注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式2子解集的交集。（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形如：)xf例：已知函数解析式，求定义域的典型题1.求下列函数的定义域 20111(1)4;(2)();(3);32xfxfxfx2.抽象函数（没有解析式的函数）解题的方法精髓是“换元法” ，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：（1）给出了定义域就是给出了所给式子中 x 的取值范围；（2）求抽象函
5、数的定义域个关键在于求 f(x)的取值范围，及括号的取值范围。例 （1）若函数 f(x)的定义域为（-2,6） ，求 的定义域。1()2f（2）若数 求函数 的定义域。(1)fx的 定 义 域 为 -,x（3）若数 求函数 的定义域的 定 义 域 为 0()1fg（4）已知 f(x+1)的定义域为-1,1，求 f（2x-1）的定义域 3|2x3.与函数定义域有关的问题题（恒成立问题）若函数 的定义域为 R，求实数 m 的取值范围。224()(1)xfxm函数 的定义域为 R，求 k 的取值范围。6yk函数 的定义域为 R，求 m 的取值范围。2()8fxx二、求函数值域（一）求函数值域方法和情
6、形总结1.直接观察法（利用函数图象）一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出 y 值的取值范围。32.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以 a函 数 解 析 式 的求 法一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法例 1 设 是一次函数，且 ，求 )(xf 34解：设 ，则ba)0(， 3423212 或 )()( xfxf 或 二、配凑法：已知复合函数 的表达式，求 的解析式， 的g()f()fgx表达式容易配成 的运算形式时，常用配凑法但要注意所求函数()x的定义域不是原复合函数的定义域，而是 的值域()fx
7、 ()gx例 2 已知 ，求 的解析式21x)0(f解： ， ， )()1(xf21x2)(xf三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析()fgx()fx式与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化例 3 已知 ，求 xf2)1()1(f解：令 ，则 ， tt2tx， xf)(,1)()(2ttf， 12)( xxf12)0(x四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法5构造方程组，通过解方程组求得函数解析式例 4 设 求 ,)1(2)(xfxff 满 足 )(f解 显然 将 换成 ，得： ,0xxxff1)(解 联立的方程组，得： 32)(五.判段函数为同一函数的方法：定义域和对应法则例：与 y|x| 为相等函数的是 _(填序号)y ( )2；y ；yError!；yx x2 3x3
