1、题目：数域的判定研究问题：数域方法：定义法例题：例 1.证明两个数域之交是一个数域设 A和 B是两个数域，若存在两个数 x,yAB,且 y0,则由于 x,yA,x/yA;x,yB,x/yB,所以 x/yAB.即 AB 是一个数域.例 2.证明两个数域“之并”未必是数域.如：A=x|x=a+b2,a,bQB=x|x=a+b3,a,bQ看它们的并集中分别取 A、B 中一个元素相加,看还在并集里吗?事实证明是不一定的，所以两个数域“之并”未必是数域例 3.判断下列说法是否正确。（1）自然数集 N及整数集 Z都不是数域。解：对的，自然数集和整数集不是数域，有理数集是数域，因为自然数和整数不一定存在逆元
2、 a*a（-1）=1 不满足这一条。（2）奇数集不是数域。解：对的例 4.证明多项式 f(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-n)在有理数域上不可约。方便起见,不妨改为证明 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3).(x-n)-1不可约.用反证法,假设 f(x) = g(x)h(x),其中 g(x),h(x)都是次数不小于 1的有理系数多项式.由 Gauss引理,不妨设 g(x)与 h(x)都是首 1的整系数多项式.依次带入 x = 1,2,.,n,可知 g(k)h(k) = f(k) = -1,对 k = 1,2,.,n.而 g(k)与 h(k)都是整数,可知 g(k)和 h(
3、k)只能是1.且 g(k) = 1时 h(k) = -1,而 g(k) = -1时 h(k) = 1.因此总有 g(k)+h(k) = 0,对 k = 1,2,.,n.多项式 g(x)+h(x)有 n个不同的根,但其次数 n (g(x)与 h(x)的次数都小于 n),于是 g(x)+h(x)恒等于 0,但这与 g(x),h(x)的最高次项系数为 1矛盾.所以 f(x)不可约.例 5.设 A为数域 P上的 n阶矩阵,数 a为 A的 n重特征值,证明 A=aE为数量矩阵由已知,存在可逆矩阵 Q满足 Q-1AQ = diag(a,a,.,a) = aE所以 A = Q(aE)Q-1 = aQQ-1
4、= aE例 6.设 A是数域 P上的 n阶矩阵,数 a为 A的 n重特征值,如果 A在 P上相似于对角矩阵,证明 A=aE为数量矩阵由于 A可对角化,故 A的最小多项式无重根（这是个定理）又由于 a为 A的 n重特征根,故 A有 n个初等因子,都为 -a故 A的若当标准型为 diag(a,a,.,a)故存在可逆矩阵 P使得 P(-1)AP=diag(a,a,.,a)=aE（此也为定理）故 A=PaEP(-1)=aE例 7.设 A 是数域 P 上一个 N*N 阶矩阵,证明 A 与 AT 相似设 x1 x2 .xn 为 A的特征值 a1,a2,.,an对应的特征向量,记 X=x1,x2,.,xn
5、其是可逆的则有 X(-1)AX=diag(a1,a2,.,an)又有 XAX(-1)=diag(a1,a2,.,an)故有 XAX(-1)=X(-1)AX进而有 (XX)A(XX)(-1)=A故有 A和 A 相似例 8.设 A 是数域 F上的 n阶方阵,并且有 n个特征值.证明,存在数域 F上的可逆矩阵 T使得 T-1AT为上三角矩阵.证明：设 1,.,s 为 A的所有不同的实特征根,且可知 A与某一 Jordan标准型矩阵 J相似,即存在可逆实矩阵 P使得 P(-1)AP=J,其中,J1 i 1J2 iJ= .Ji=.1Jn 为 Jordan标准型,而 i ,i=1,2,.,s由于 i 都为
6、实数,所以 J为上三角形实矩阵.又由 QR分解原理,矩阵 P可以分解为 TS,其中 T为正交矩阵,S 为上三角形矩阵,则有P(-1)AP=S(-1)T(-1)ATS=J,即 T(-1)AT=SJS(-1)由于 S,J,S(-1)均为上三角形矩阵,故结论成立.证毕.例 9.设 V是有理数域上的线性空间，V 的维数是 n，A 与 B是 V的线性变换，B 可对角化，AB-BA=A,证：存在正整数 m，使得 A的 m次幂是零变换证明：对 B的任何一个特征向量 X, 设 BX = X, 即 X是 B的属于特征值 的特征向量.由 AB-BA = A, 有 ABX-BAX = AX, 故 AX-BAX =
7、AX, B(AX) = (-1)AX.若 AX非零, 则 AX是 B的属于特征值 -1 的特征向量.重复上述过程, 若 AX非零, 则 AX是 B的属于特征值 -2 的特征向量.依此类推, 直至第 n次: 若(An)X 非零, 则(An)X 是 B的属于特征值 -n 的特征向量.但 V的维数为 n, B不可能有 n+1个特征值 , -1,., -n.所以对某个 k n, 有(Ak)X = 0, 从而也有(An)X = 0.由 B可对角化, 其特征向量构成 V的一组基.An在 V的一组基上都取 0, 所以 An = 0.例 10.设 A为数域 P上的线性空间 V的线性变换，证明：A 可逆则 A无
8、 0特征值；A 可逆，则 A1 与 A有相同的特征向量，若 0 为 A的特征值，则 0-1 为 A-1 的特征值证明：（1）用反证法。若 0 是特征值， 是对应的特征向量，那么：A0于是，一方面：A(-1)A=A(-1)0=0另一方面：A(-1)A=A(-1)A=0这就得出矛盾。因此，A 可逆则 A无 0特征值。（2）设 是 0 对应的特征向量，那么： A0两边作用 A(-1)得：A(-1)A=A(-1)00A(-1)=A(-1)=(1/0)即：0-1 为 A-1 的特征值注意事项及反思：数域是高等代数中多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间、欧式空间、双线性函数等都是在一定数域的基础上建立起来的，所以做题时一定要注意是哪种数域。
