1、 中小学个性化辅导专家等腰三角形性质：三线合一 ”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。【例题讲解】例 1 如图所示，在等腰ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AD 上。求证：BE=CE。变式练习 1-1 如图，在ABC 中，AB=AC，D 是形外一点，且 BD=CD。求证：AD 垂直平分 BC。变式练习 1-2 已知，如图所
2、示，AD 是ABC，DE、DF 分别是ABD 和ACD 的高。求证：AD 垂直平分 EF。例二：如图ABC 中，ABAC，A36，BD 平分ABC，DEAB 于 E，若 CD4，且BDC 周长为 24，求 AE的长度。 ABBCE D中小学个性化辅导专家例三. 等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为 =_。图 1分析：如图 1，AB=AC，BDAC 于 D，作底边 BC 上的高 AE，E 为垂足，则可知EAC=EAB ，又12，所以 。EACC9090 ， ，A2例四. 已知：如图 2，ABC 中，AB=AC，CEAE 于 E， ，E 在ABC 外，求证：ACE=
3、B。BC1图 2分析：欲证ACE=B，由于 AC=AB，因此只需构造一个与 RtACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。证明：作 ADBC 于 D，AB=AC， BC12又 ，EBD=CE。在 RtABD 和 RtACE 中，ABAC，BD=CE，RtABDRtACE（HL） 。ACE=B中小学个性化辅导专家例五. 已知：如图 3，等边三角形 ABC 中，D 为 AC 边的中点，E 为 BC 延长线一点，CE=CD，DMBC 于 M，求证：M 是 BE 的中点。图 3分析：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DMBC，因此只需证 DB=DE，即证DBE=E，根据等边ABC，BD 是中线
4、，可知DBC=30，因此只需证E=30。证明：联结 BD，ABC 是等边三角形，ABC=ACB=60CD=CE，CDE=E=30BD 是 AC 边上中线，BD 平分ABC，即DBC=30DBE=E。DB=DE又DMBE，DM 是 BE 边上的中线，即 M 是 BE 的中点。巩固练习一：1、已知 的周长为 ，且 ，又 ，D 为垂足， 的周长为 ，那么 AD 的ABCcm36ACBBABcm30长为（ ）A B. C. D. cm6812cm202、如图 2，在ABC 中，AB=AC，BAD=30 ，AD=AE，则EDC=（ ）0A10 B. 12.5 C.15 D.20003、如图，在ABC 中
5、，ABAC，D 是 BC 的中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，则图中全等三角形共有（ ）A、 2 对 B、3 对 C、4 对 D、5 对4 、如图，在等腰直角ABC 中，AD 为斜边上的高，以 D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于 E、F，连结 EF 与 AD 相交于 G，则AED 与AGF 的关系为( )AAEDAGF BAEDAGF CAEDAGF D不能确定5、如图，在ABC 中，AB=AC，BD 平分ABC，且 BD=BE，A=84，则DEC= 6、如图，CE 平分ACB，且 CEBD，DA=DB，又知 AC=18，CDB的周长为 28，那么 BE 的长为 。DAB C
6、E F第 3 题图AB DEC第 2 题图 第 4 题图CABDE ADCBEAAA第 7 题图BAEDF C 第 5 题图 第 6 题图中小学个性化辅导专家7、如图，在等腰ABC 中，ABC=90，D 为 AC 边上中点，过 D 点作 DEDF，交 AB 于 E，交 BC 于 F，若AE=4，FC=3，则ABC 的面积为 8、如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 E 点，若 AC 平分DAB，且 AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：ACBD；BC=DE；DBC= DAB；21ABE 是等边三角形请写出正确结论的序号 (把你认为正确结论的序号都填上)9、已知：如图 2
7、，ABC 中，AB=AC，CEAE 于 E， ，E 在ABC 外，求证：ACE=B。CB1210、如图ABC 中，AB=AC D 为 AC 上任意一点，延长 BA 到 E 使得 AE=AD 连接 DE，求证 DEBC11、已知：如图，中，是上一点，、分别为、上的点，且，为的中点，求证：EDCBA中小学个性化辅导专家12、如图，以ABC 的边 AB，AC 为边分别向形外作正方形 ABDE 和 ACFG，DM、FN 分别垂直直线 BC 于 M、N.若DM=FN,求证： ABC=ACB【巩固练习二】1、 等腰三角形一边等于 5，另一边等于 8，则周长是_。2、 在ABC 中，已知 ABAC，AD 是
8、中线，B70，BC15cm， 则BAC_，DAC_，BD_cm。3、 在ABC 中，BAC90，ADBC 于 D，AB3，AC4，则 AD_。4、 已知ABC 中，A n，角平分线 BE、CF 相交于 O，则BOC 的度数应为（ ）（A）90 （B）90 （C）180n（B）180 n21n21n215、 下列两个三角形中，一定全等的是（ ）（A）有一个角是 40，腰相等的两个等腰三角形（B）两个等边三角形（C）有一个角是 100，底相等的两个等腰三角形（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形6、 已知：如图，ABC 中，AB=AC。小强想做BAC 的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出BAC 的平分线？7、 已知：如图，B、D、E、C 在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。NMGFEDCBAACB D E中小学个性化辅导专家8、 如图，RtABC 中，ABC=90，D 是 AB 上一点，且 BD=BC。DEAB 交 AC 于 E。求证：CDBE。9、 如图，锐角ABC 中，B=2C，AD 为 BC 边上的高，求证：DC=AB+BD。10、 如图 2，BM，CN 分别是ABC 的外角BAD、ACE 的平分线。AMBM，M、N 为垂足。求证：MNCN。
