1、期末复习二元一次不定方程 有解的充分必要条件 : 求特解 (方法 ?):辗转相除法 , 分离整数法 . 通解 (公式 ?): 先求得一个特解 (x0, y0),三元一次不定方程 整系数方程 ax by cz d叫做三元一次不定方程，这里 a， b， c， d都是整数，其中 a， b， c都不为零 . 由于三元一次不定方程的 x， y， z可以取正整数或负整数，因此在研究三元一次不定方程时，我们只须讨论 a，b， c， d都是正整数的情况解的存在性 定理 三元一次不定方程ax by cz d (2 4)有整数解的必要且充分条件是 D | d，这里 D (a， b， c)， a,b,c,d都是正整
2、数 推论 在方程 (2， 4)中，如果 d不能被(a， b， c)整除，那么这个不定方程无整数解 (推论的证明请读者自行完成 )例 1 若 k为整数 ,且 10k30 ，试问 k取何值时，下列不定方程无整数解kx ky 91z 100 解 (k， k， 91) (k， 91)， 由于 91 137，100不能被 7或 13整除，所以当是 14， 21，28时， (k， 91) 7， 这时方程无整数解； 同理，当 k 13或 26时， (k， 91) 13， 这时方程也无整数解； 因此，当 k 13， 14， 2l， 26， 28时，原不定方程无整数解例 2 求不定方程 6x+14y 32z 8
3、0的整数解 解 1 因为 (6， 14， 32) 2， 2 | 80，所以原不定方程有整数解，将原方程化简，得3x+7y 16z 40 设 3x+7y t， 利用观察法或辗转相除法可知 x 2， y 1是不定方程 3x 7y 1的一个整数解，因此 3x+7y t的通解为把 3x+7y t代入 ，得 t 16z 40，这个二元一次不定方程的通解为由 ， 可得原不定方程的通解为例 3 求不定方程 2x+4y 5z 3的整数解 解 由于 (2， 4， 5) | 3，因此原方程有整数解考虑到原方程中 x， y的系数的最大公约数 (2， 4) 2，因此应该令 2x+4y2t，即 x+2y t， 这个不定方程的通解为 把 2x+4y 2t代入原方程，得将 t 4 5v代入上面 x， y的表达式，得原方程的通解 为例 4 有三个自然数，其中一数是 2的倍数，一数为 3的倍数，一数为 7的倍数，它们的和为 23，试求这三个数 解 设三个自然数分别 为 2x， 3y与 7Z， 由题意，得2x+3y+7z 23， 根据题目要求，应该求这个三元一次不定方程的正整数解。在 x， y， z的三个系数中， z的系数最大因为 x， y至少取 1，所以 z的取值范围是
