1、数学史与 数学思想 作为一线的教师已经知道运用数学史的功能进行教学。向学生介绍数学史，可以提高学生的学习兴趣，学习数学名家的数学思想和方法，激励学生的爱国热情和学习积极性。运用数学史消除那些荒诞的想法，诸如数学是静止的、一成不变的、仅仅为男孩设立的一门学科。讲述数学家的故事和趣闻轶事，历史地导入新课题是老师们常用的招式。 1998年 4月 20日在法国马赛由国际数学教育委员会发起举行了题为数学史在数学教育中的作用国际讨论会，各国数学教育家相互研讨了这一问题，取得了许多共识，华东师大张奠宙教授在 “重视科学史在科学教育中的应用 ”中指出：在数学教育中，尤其在中小学数学教学过程中，运用数学史知识是
2、进行素质教育的重要方面。下面我们来看看数学史在小学数学教学中的一些应用 。 从孙子算经谈起 贾宪三角形的应用 鸡兔同笼问题 纵横图趣谈 东家流水入西邻 趣谈图形的拼补 数学名家的思想从孙子算经谈起 孙子算经是我国古代的一部优秀数学著作，成书年代已无从考证。其中有 “物不知其数问题 ”： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 这类问题在我国历史上有不少有趣的名称：鬼谷算、秦王暗点兵、剪管术、隔墙算和神奇妙算及大衍求一术等。 这个问题常用程大位于 1583年在算法统宗中介绍的一首诗“三人同行七十稀，五树梅花 一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。 ”来计算的。然而这
3、里涉及到衍母 70， 21， 15。小学生要想明白这些道理却不太容易！下面我们介绍华罗庚先生给出的一种 “笨方法 ” ：原问题就是求一数，三除余二，五除余三，七除余二。三除余二，七除余二，则二十一除余二，而 23是三、七除余二的最小数，恰好被五除余三。另外还可以如下求解：先在纸上写 2， 2+3=5，5+3=8，它是五除 余三的数，然后， 8+15=23，它已经满足给出的所有条件 。 下面我们再来看一道稍微麻烦一点的问题，它出自于黄宗宪的 “求一术通解 ”：求一数，五除余零，七百十五除余十，二百四十七除余一百四十，三百九十一除余二百四十五，一百八十七除余一百零九。仔细读题后发现： 5除余 0是
4、废话， 247除余 140，余数是 5的倍数，原数是 5的倍数，因此这句话可变为 2475=1235除余 140，同样第四句话可变为 3915=1955除余245。现在从 1955除余 245， 1235除余 140出发： 245， 245+1955=2200， 4155， 6110， 8065， 10020 245， 965， 450， 1170， 655， 140，第二行是第一行除以 1235的余数。依次试除，发现 10020即为所求之数。 问题（杨辉续古摘奇算法）：二除余一，五除余二，七除余三，九除余四，问本数。贾宪 三角形的应用 我国 11世纪的数学家贾宪利用二项式高次幂展开式的各项系
5、数所遵循的规律，制成了 “开方作法本源 ”图，载入其皇帝九章算法细草中，虽然贾宪的著作已失传，但杨辉在详解九章算法一书中保存着这个 “开方作法本源 ”图，而且杨辉说 “出释锁算术，贾宪用此术 ”，下面我们从数学的角度来看看贾宪三角形的应用。 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 891 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210
6、 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 贾宪三角形 贾宪三角形的有趣性质 ：我们从贾宪三角形中可以看出 ：（ 1）的展开式共有 n+1项；（ 2）在的展开式中，与首末两端等远的项的系数相等；（ 3）如果的幂指数 n是偶数，展开式中间一项最大，n是奇数时，中间两项相同且最大；（ 4）贾宪三角形第三条斜线 1， 3， 6， 10 即三角形数中任意相邻二数之和为平方数；（ 5）斜数第三列诸数的平方也恰好是；（ 6）斜数第四条斜线上诸数 1， 4， 10， 20， 35， 即四面体数中相邻两数之和 1+4， 4+10， 10+20， 恰好
7、为； (7)如果 p为质数，则第 p行的数可以被 p整除（两端的 1除外）；（ 8）把虚线上的数相加可以得到 Fibonacci数列： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， ；（ 9）第行的所有数字都是奇数。 贾宪三角形的几何特性： 隐藏在贾宪三角形中的几何性质更是令人拍案叫绝，这是波兰数学家 Waclaw Sierpinski（1882-1969） 三角形带给我们的享受，这是最有意义的分形图之一。画一个三角形，把它的三条边的中点相连，得到一个与原三角形相似的三角形，把这个三角形移走，留下3个小三角形，其边长是原三角形的一半，从这三个三角形中再移走三个更小
8、的三角形，这样就得到了 9个边长为原三角形的四分之一的小三角形。从理论上讲，这一过程可以无限进行下去，产生了一个越来越空的和自相似的图形，它不是直线即它不是一维的，也没有面积即它不是二维的，介于一维到二维之间。现在我们建立一个由多行组成的贾宪三角形，偶数用黑体表示，如果把奇数去掉就出现三角形形状的洞，这样贾宪三角形就变成了 Waclaw Sierpinsk三角形，行数越多就越接近。如果把被 3整除的数用同一种颜色表示，就会得到一个新的完全由数字构成的三角形 。 鸡兔同笼问题 我国古代数学著作孙子算经中有一道著名的 “鸡兔同笼问题：鸡兔同笼，总体一数，有头 30，脚 72，问鸡兔数。小学算术大全
9、中给出了公式解法：鸡数 =（头数 4-脚数） 2，兔数 =脚数 2-头数。学生不知这些公式怎样得来，一律死记公式。现在我们给出 算术妙解 1：设想把鸡变为兔，看看发生了什么，一个换一个，每换一次，头数不变，脚却增加 2个，即头数仍为 30，脚数为 120，增加了 120-72=48只脚，可见换了 48 2=24次，即换了 24只鸡。算术总式的产生过程为 24=48 2 （ 48何来？） =（ 120-72） 2 （ 120何来？）=（ 30 4-72） 2 即鸡数 =（头数 4-脚数） 2。反过来，如果把兔换为鸡，则得算术总式 6=12 2=（ 72-60） 2=（ 72-30 2） 2，即兔
10、数 =脚数 2-头数。 算术妙解 2： 设想鸡兔受过专门的训练，主人一声令，鸡兔排成一行，主人一挥手，鸡单脚站立，兔双脚直立，此时，头数30，脚数 36=72 2，主人一声喝，鸡腾空飞去，图单脚站立，此时，立地脚数为 6=36-30。于是有算术总式 6=36-30=72 2-30即兔数 =脚数2-头数。问题 ：钞票一叠，五元十元，笼统一数，张数 23，总额 195元，各有几张？ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？答：鸡二十三，兔一十二。术曰：上置三十五头，下置九十四足，半其足得四十七，以少减多，再命之。上三除下四，上五除下七，下有一除上三，下有二除上五，即得。又术曰：上置
11、头，下置足，以头除足，以足除头，即得。若从现在的观点看，孙子在解决这个问题时，很可能利用了方程。设鸡兔数分别为 x,y， 则 “上置头 ” x+y=A x+y=A “下置足 ” 2x+4y=B 半其足 x+2y=B/2 “以头除足 ”y=B/2-A(兔） , “以足除头 ”x=A-y（ 鸡） 结合我国古算题多用筹算的特点： 头 35 35 35 23 鸡 足 94 半其足 47 以头除足 12 以足除头 12 兔 代数解法 ：设想问题已解，未知存在且已求出，因此可用字母表示，并与已知同等看待，一起塞入方程之中！设鸡、兔分别有 x,y只，头数、脚数分别为 a,b。 接着搞翻译： “有头 a”译为
12、 x+y=a,”有脚 b”译为 2x+4y=b， 于是得到 x=(4a-b)2,y=(b-2a) 2。 由此可见代数法解应用题有代数设想、代数翻译和解代数方程等步骤：代数设想的主要内容是 设想问题已解，未知存在，用字母表示。 尽量用字母表示已知 平等看待已知和未知量，允许施行代数运算。其目的为翻译打基础。代数翻译是将题目的条件用数学的关系表示出来，找出未知与已知间的联系，常常表现为从不同的角度看待同一个量。接下来的代数解法是不太难的了。 目前有两个极端 ：其一是在小学高年级大搞应用战术，这样回养成学生死背公式的恶习或使学生今后害怕数学。其二是完全抛弃算术应用题，一开始就向小学生介绍方程解法，这样学习的代数将成无源之水！另外就是 算术与代数的脱离 ，学生看不出算术的缺点和代数的优点，很难学好代数！
