1、3.1.4 空间向量的坐标表示一、学习目标：1能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。重点难点：空间向量的坐标运算； 二、课前自学平面向量的坐标表示：分别取与 轴、 轴方向相同的xy两个单位向量 、 作为基底。任作一个向量 ，由平面ij a向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得，把 叫做向量 的（直角）坐标，记作jyixa),(yxa其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标， 特),(yy别地， ， ，0,1i,j)0,(1、 空间直角坐标系：（1）若 空 间 的 一 个 基 底 的 三 个 基 向 量 互 相 垂 直 ， 且 长
2、为 ， 这 个 基 底1叫 单 位正 交 基 底 ， 用 表 示 ；,ijk（2）在空间选定一点 和一个单位正交基底 ，以点 为原点，O,ijkO分别以 的方向为正方向建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫,ijk xyz坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系 ，点 叫原点，向量O都,ij叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面， 平面， 平面；xOyzzOx（3）作空间直角坐标系 时，一般使 （或 ） ，y135xy4；90z（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，称这个坐标系为右手y z直角坐标系。ykiA(x,
3、y,z)Ojxz2、空间直角坐标系中的坐标： 如图，给定空间直角坐标系和向量 ，设 为坐标a,ijk向量，则存在唯一的有序实数组 ，使123(,)，有序实数组 叫作向量 在空间直123aijaka角坐标系 中的坐标，记作 Oxyz123,在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在xyzA唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数(,)OAiyjzk组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标，(,)xyz x记作A3、空间向量的直角坐标运算律（1）若 ， ，则123(,)a123(,)b，2,ba，13，2(,)(R，其中123/ ,()ab0a（2）若 ， ，则,AxyzBxyz2121()B这就是说： 三、问题探究例 1、 已知 ，求)4,103(),81(ba aba3,例 2、已知空间四点 和 ，求证：四边)10,(),352(),1(CBA)9,48(D形 是梯形ABCDyki B(b1,b2,b3)A(a1,a2,a3)Ojxz例 3、在长方体中 ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,AD=3,AA 1=2,P,Q,R,S 分别是 AA1，D1C1,AB,CC1的中点，用向量知识证明:PQRS点评：利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。四、反馈小结随堂检测：课本 91 页练习 17小结：
