1、第五章 函 数5.1 函数基本概念5.2 函数类型5.3 函数运算5.4 基 数退出退出5.1 函数基本概念函数也常称为映射或变换，其定义如下：定义 5.1.1 设 A和 B是任意两个集合，且 F是从 A到 B的关系，若对每一个 xA， 都存在唯一的 yB， 使 F， 则称 F为从 A到 B的函数，并记作 F:AB。 A称为函数 F的定义域，即D(F)=A， B称为函数 F的陪域， R(F)称为函数 F的值域，且 R(F)B。 有时也用 F(A)表示函数 F的值域，即F(A)=R(F)=y|yB(x)(xAy=F(x)并称 F(A)为函数 F的像。对于 F:AB来说，若 F， 则称 x为函数的
2、自变元，称 y为函数因变元，因为 y值依赖于 x所取的值，或称 y是 F在 x处的值，或称 y为 F下 x的像。通常把 F记作 F(x)=y。从本定义可以看出，从 A到 B的函数 F和一般从 A到 B的二元关系之不同有以下两点： A的每一元素都必须是 F的有序对之第一分量。 若 F(x)=y， 则函数 F在 x处的值是唯一的，即F(x)=yF(x)=zy=z考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符号 F改为小写字母 f。定义 5.1.2 设 f:AB， g:CD， 若 A=C，B=D， 且对每一 xA都有 f(x)=g(x)， 则称函数 f和 g相等，记为 f=g。本定义表明了，两函数相等，它们必
3、须有相同的定义域、陪域和有序对集合。有时需要缩小所给函数的定义域，或扩大所给函数的定义域以创建新的函数，为此有下面定义。定义 5.1.3 设 f:AB， 且 CA， 若有g=f(CB)则称 g是 f到 C的缩小，记为 f|c， 即 g为 C到 B的函数：g:CBg(x)=f(x)或 f|c(x)=f(x)定义 5.1.4 设 f:CB， g:AB， 且 CA，若 g|c=f， 则称 g是 f到 A的扩大。下面讨论由集合 A和 B， 构成这样函数f:AB会有多少呢？或者说，在 AB的所有子集中，是全部还是部分子集可以定义函数？令BA表示这些函数的集合，即BA=f|f:AB设 |A|=m， |B|
4、=n， 则 |BA|=nm。 这是因为对每个自变元，它的函数值都有 n种取法，故总共有 nm种从 A到 B的函数。上面介绍一元函数，下面给出多元函数的定义。定义 5.1.5 设 A1,A2,An和 B为集合，若 f: AiB为函数，则称 f 为 n元函数。在上的值用 f(x1,x2,xn)表示。一元函数中概念对 n元函数几乎完全适用，在这里不多讨论了。5.2 函数类型根据函数具有的不同性质，可以将函数分成不同的类型。本节将定义这些函数，并给出相应的术语。定义 5.2.1 设 f:AB是函数，若 R(f)=B， 或对任意 bB， 存在 aA， 使得 f(a)=b， 或形式表为：(y)(yB(x)(xAf(x)=y)则称 f:AB是满射函数，或称函数 f:AB是满射的。本定义表明了，在函数 f的作用下， B中每个元素 b， 都至少是 A中某元素 a的像，因此，若A和 B是有穷集合，存在满射函数 f:AB， 则|A|B|。
