1、 1 习题 1.1 解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 CBA , 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 CBA , 中的样本点。 解： (正，正 )，（正，反），（反，正），（反，反） A (正，正 )，（正，反） ； B （正，正），（反，反） C (正，正 )，（正，反），（反，正） 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 DCBA , 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事件 DCBABCCABAAB , 中的样本点。 解： )6,6(,),2,6(),1
2、,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( ； )1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB ； )1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( BA ； CA ； )2,2(),1,1(BC ； )4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1( DCBA 3. 以 CBA , 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 CBA , 表示以下事件： （ 1）只订阅日报； （ 2）只订日报和晚报； （ 3）只订一种报； （ 4）正好订两种报； （ 5
3、）至少订阅一种报； （ 6）不订阅任何报； （ 7）至多订阅一种报； （ 8）三种报纸都订阅； （ 9）三种报纸不全订阅。 解：（ 1） CBA ； （ 2） CAB ； （ 3） CBACBACBA ； （ 4） BCACBACAB ; （ 5） CBA ； （ 6） CBA ； （ 7） CBACBACBACBA 或 CBCAB （ 8） ABC ； （ 9） CBA 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 321 , AAA 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果： 2A , 32 AA , 21AA , 21 AA , 321 AAA , 313221 AAAAAA . 解：
4、甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件 CBA , 满足 ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：CBA ， CAB ， ACB . 解： 如图： 2 BCACBCABABBCACBACABACBCCABCABCBACBABCAA B CCABCBACBACBA;6. 若事件 CBA , 满足 CBCA ，试问 BA 是否成立？举例说明。 解： 不一定成立。例如： 5,4,3A ， 3B ， 5,4C ， 那么， CBCA ， 但 BA 。 7. 对于事件 CBA
5、 , ，试问 CBACBA )()( 是否成立？举例说明。 解： 不一定成立。 例如： 5,4,3A ， 6,5,4B ， 7,6C ， 那么 3)( CBA ， 但是 7,6,3)( CBA 。 8. 设 31)( AP ， 21)( BP ，试就 以下三种情况分别求 )( ABP ： （ 1） AB ， （ 2） BA ， （ 3） 81)( ABP . 解： （ 1） 21)()()()( ABPBPABBPABP ； （ 2） 61)()()()( APBPABPABP ； （ 3） 838121)()()()( ABPBPABBPABP 。 9. 已知 41)()()( CPBPAP
6、 ， 161)()( BCPACP ， 0)( ABP 求事件CBA , 全不发生的概率。 CBA CBACBAABCBCACABCBAABCCBA3 解： )(1)( CBAPCBAPCBAP = )()()()()()()(1 A B CPBCPACPABPCPBPAP 83016116104141411 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： A “三个都是红灯” =“全红”； B“全绿”； C “ 全黄”； D “无红”； E “无绿”； F “三次颜色相同”； G “颜色全不相同”； H “颜色不全相同”。 解
7、： 271333 111)()()( CPBPAP ； 278333 222)() EPDP ； 91271271271)( FP ； 92333 !3)( GP ； 98911)(1)( FPHP . 11. 设一批产品共 100 件，其中 98件正品， 2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3次），试求： （ 1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率； （ 2） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。 解： 一次拿 3 件： （ 1） 0588.031 0 012298 C CCP； （
8、2） 0 5 9 4.031001982229812 C CCCCP； 每次拿一件，取后放回，拿 3 次： （ 1） 0 5 7 6.031 0 098232 P ； （ 2） 0 5 8 8.01 0 098133 P ； 每次拿一件，取后不放回，拿 3 次： （ 1） 0588.039899100 97982 P ； （ 2） 0594.09899100 9697981 P 12. 从 9,2,1,0 中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率： 501 与三个数字中不含A ， 502 或三个数字中不含A 。 4 解： 157)( 310381 CCAP； 15142)( 31038
9、392 C CCAP或15141)( 310182 CCAP13. 从 9,2,1,0 中任意选出 4 个不同的数字，计算它们能组成一个 4 位偶数的概率。 解：904145 4102839 P PPP14. 一个宿舍中住有 6 位同学，计算下列事件的概率： （ 1） 6 人中至少有 1 人生日在 10月份； （ 2） 6 人中恰有 4 人生日在 10 月份； （ 3） 6 人中恰有 4 人生日在同一月份； 解： （ 1） 41.01211166 P ； （ 2） 0 0 0 6 1.012 116246 CP ； （ 3） 0 0 7 3.012 116246112 CCP 15. 从一副扑
10、克牌（ 52 张）任取 3 张（不重复），计算取出的 3 张牌中至少有 2张花色相同的概率。 解： 602.0352 1392131431314 C CCCCCP 或 6 0 2.01 352 11311311334 C CCCCP 5 习题 1.2 解答 1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%， 30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。 解： 令 iA “取到的是 i 等品”， 3,2,1i 329.0 6.0)( )()( )()( 313 3131 AP APAP AAPAAP。 2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所
11、取 2 件产品中有 1 件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。 解： 令 A “两件中至少有一件不合格”， B “两件都不合格” 511)(1)()()()|(2102621024CCCCAPBPAPABPABP 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使 用时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II仍有效的概率为 0.85，求 （ 1） 两种报警系统 I 和 II 都有效的概率； （ 2） 系统 II 失灵而系统 I 有效的概率； （ 3） 在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。
12、解： 令 A “系统（）有效” ， B “系统（）有效” 则 85.0)|(,93.0)(,92.0)( ABPBPAP （ 1） )()()()( BAPBPBABPABP 8 6 2.085.0)92.01(93.0)|()()( ABPAPBP （ 2） 0 5 8.08 6 2.092.0)()()()( ABPAPABAPABP （ 3） 8 2 8 6.093.01 0 5 8.0)( )()|( BP BAPBAP4. 设 1)(0 AP ，证明事件 A 与 B 独立的充要条件是 )|()|( ABPABP 证： ： A 与 B 独立， A 与 B 也独立。 )()|(),()|
13、( BPABPBPABP )|()|( ABPABP ： 1)(01)(0 APAP 又)( )()|(,)( )()|( AP BAPABPAP ABPABP 而由题设)( )()( )()|()|( AP BAPAP ABPABPABP 6 即 )()()()()(1 ABPBPAPABPAP )()()( BPAPABP ，故 A 与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都是 41 ，求 )(AP 和 )(BP . 解： 41)()( BAPBAP ， 又 A 与 B 独立 41)()(1)()()( BPAPBPAPBAP
14、41)(1)()()()( BPAPBPAPBAP 41)()(),()( 2 APAPBPAP 即 21)()( BPAP 。 6. 证明 若 )(AP 0， )(BP 0，则有 （ 1） 当 A 与 B 独立时， A 与 B 相容； （ 2） 当 A 与 B 不相容时， A 与 B 不独立。 证明： 0)(,0)( BPAP （ 1）因为 A 与 B 独立，所以 0)()()( BPAPABP ， A 与 B 相容。 （ 2）因为 0)( ABP ，而 0)()( BPAP ， )()()( BPAPABP ， A 与 不独立。 7. 已知事件 CBA , 相互独立，求证 BA 与 C 也
15、独立。 证明： 因为 A 、 B 、 C 相互独立， )()( BCACPCBAP )()()()()()()()()()()()()()()()(CPBAPCPABPBPAPCPBPAPCPBPCPAPA B CPBCPACP BA 与 C 独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为 0.7， 0.8 和 0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解： 令 321 , AAA 分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾， 那么 9.0)(,8.0)(,7.0)( 321 APAPAP 令 B 表示最多有一台机床需要工人 照顾， 7 那
16、么 )()( 321321321321 AAAAAAAAAAAAPBP 9 0 2.01.08.07.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0)()()()( 321321321321 AAAPAAAPAAAPAAAP 9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 )10( pp ，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。 解： 令 A “系统（）正常工作” B “系统（）正常工作” iA “第 i 个元件正常工作”， ni 2,2,1 ni AAAPAP 221 ,)( 相互独立。 那么 )()()( 22121 nnnn AAAA
17、AAPAP )2(2)()()()()()(22121122122121nnnnniinniiniinnnnnPPPPAPAPAPAAAPAAAPAAAP )()()( 22211 nnnn AAAAAAPBP nnniniiniininiiniPPPPAPAPAPAPAAP)2(2)()()()()(121110. 10 张奖券中含有 4 张中奖的奖券，每人 购买 1 张，求 （ 1） 前三人中恰有一人中奖的概率； （ 2） 第二人中奖的概率。 解： 令 iA “第 i 个人中奖”， 3,2,1i (1) )( 321321321 AAAAAAAAAP 注：利用第 7 题的方法可以证 明 )
18、( ini AA 与 )( jnj AA ji 时独立。 系统 I 1 2 n n+1 n+2 2n 系统 II 1 n+1 2 n+2 n 2n 8 )()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP )|()|()( )|()|()()|()|()( 213121 213121213121 AAAPAAPAP AAAPAAPAPAAAPAAPAP 21859410684951068596104 或213102614 CCCP（ 2） )|()()|()()( 1211212 AAPAPAAPAPAP 529410693104 11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检
19、查出 95%的真实患者，但也有可能将 10%的人误诊。根据以往的记录，每 10 000 人中有 4 人患有肝癌，试求： （ 1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率； （ 2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。 解： 令 B “被检验者患有肝癌”， A “用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么， 0 0 0 4.0)(,10.0)|(,95.0)|( BPBAPBAP （ 1） )|()()|()()( BAPBPBAPBPAP 1 0 0 3 4.01.09 9 9 6.095.00 0 0 4.0 （ 2）)|()()|()( )|()()|( BAPBPBAPBP B
20、APBPABP 0 0 3 8.01.09 9 9 6.095.00 0 0 4.0 95.00 0 0 4.0 12. 一大批产品的优质品率为 30%，每次任取 1 件，连续抽取 5 次，计算下列事件的概率： （ 1）取到的 5 件产 品中恰有 2 件是优质品； （ 2） 在取到的 5 件产品中已发现有 1 件是优质品，这 5 件中恰有 2 件是优质品。 解： 令 iB “ 5 件中有 i 件优质品”， 5,4,3,2,1,0i （ 1） 3 0 8 7.0)7.0()3.0()( 32252 CBP （ 2）)( )()|()|( 0 0202512 BPBBPBBPBBPi i 3 7
21、1.0)7.0(1 3 0 8 7.0)(1 )( 502 BPBP9 13. 每箱 产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中任取 1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误， 1 件正品被误检是次品的概率是 2%， 1 件次品被误判是正品的概率是 5%，试计算： （ 1）抽取的 1 件产品为正品的概率； （ 2）该箱产品通过验收的概率。 解： 令 A “抽取一件产品为正品” iA “箱中有 i 件次品”， 2,1,0i B “该箱产品通过验收” （ 1） 9.0101031)|()()( 2 02 0 ii ii iAAPAPAP（ 2）
22、 )|()()|()()( ABPAPABPAPBP 8 8 7.005.01.098.09.0 14. 假设一厂家生产的仪器，以概率 0.70 可以直接出厂，以概率 0.30 需进一步调试，经调试后以概率 0.80 可以出厂，并以概率 0.20 定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了 )2( nn 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： （ 1）全部能出厂的概率； （ 2）其中恰有 2 件不能出厂的概率； （ 3）其中至少有 2 件不能出厂的概率。 解： 令 A “仪器需进一步调试” ； B “仪器能出厂” A “仪器能直接出厂” ； AB “仪器经调试后能 出厂” 显然 ABAB ，
23、 那么 8.0)|(,3.0)( ABPAP 24.08.03.0)|()( ABPPAABP 所以 94.024.07.0)()()( ABPAPBP 令 iB “ n 件中恰有 i 件仪器能出厂”， ni ,1,0 （ 1） nnBP )94.0()( （ 2） 2222222 )06.0()94.0()06.0()94.0()( nnnnnn CCBP （ 3） nnnnnnk k CBPBPBP )94.0()94.0(06.01)()(1)(11120 15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为 p ，试求以下事件 的概率： （ 1）直到第 r 次才成功； （ 2）第 r 次
24、成功之前恰失败 k 次； （ 3）在 n 次中取得 )1( nrr 次成功； 10 （ 4）直到第 n 次才取得 )1( nrr 次成功。 解： （ 1） 1)1( rppP （ 2） krr kr ppCP )1(1 1 （ 3） rnrrn ppCP )1( （ 4） rnrrn ppCP )1(11 16. 对飞机进行 3 次独立射击，第一次射击命中率为 0.4，第二次为 0.5，第三次为 0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为 0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为 0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。 解： 令 iA “恰有 i 次击中飞机”， 3,2,1,0i B “飞机被击落” 显然： 09.0)7.01)(5.01)(4.01()( 0 AP 36.0 7.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)( 1 AP41.0 7.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)( 2 AP14.07.05.04.0)( 3 AP 而 0)|( 0 ABP ， 2.0)|( 1 ABP ， 6.0)|( 2 ABP ， 1)|( 3 ABP 所以 4 5 8.0)|()()( 3 0 i ii ABPAPBP ； 542.0458.01)(1)( BPBP
