1、第 23 届全国中学生物理竞赛复赛 试卷 一、（ 23 分）有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动 。 现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置 。 每隔一相等的确定的时间间隔 T 拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计 。 从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置 。 求小球开始下落处离玻璃管底部 距 离（用 H 表示）的可能值以及与各 H 值相应的照片中小球位置离 玻璃管底部 距 离 的可能值。 二、（ 25 分） 如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长
2、为 2l ，两端和中心处分别固连着质量为 m 的小球 B、 D 和 C，开始时静止在光滑的水平桌面上 。 桌面上另有一质量为 M 的小球 A，以一给定速度 0v 沿垂直于杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞 。 求刚碰后小球 A,B,C,D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况 。 三、（ 23 分）有一带活塞的气缸，如图 1 所示。 缸内盛有一 定质量的气体 。 缸内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸到气缸外，外界可使轴和叶片一起转动，叶片和轴以及气缸壁和活塞都是 绝热的，它们的热容量都不计 。 轴穿过气缸处不漏气 。 如果叶片和轴不转动，而令活塞缓慢移动，则在这种过程中，由实验测得，
3、气体的压强 p 和体积 V 遵从以下的过程方程式 图 1 kpVa 其中 a ,k 均为常量 , a 1（其值已知） 。 可以由上式导出，在此过程中外界对气体做的功为 1112 111 aa VVa kW式中 2V 和 1V ,分别表示末态和初态的体积 。 如果保持活塞固定不动，而使叶片以角速度 做匀 角速转动，已知在这种过程中，气体的压强的改变量 p 和经过的时间 t 遵从以 图 2 下的关系式 LVatp 1 式中 V 为气体的体积， L 表示气体对叶片阻力的力矩的大小 。 上面并没有说气体是理想气体，现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温度有关的知识，求出图 2 中气体原来
4、所处的状态 A 与另一已知状态 B 之间的内能之差（结果要用状态 A 、 B 的压强 Ap 、 Bp 和体积 AV 、 BV 及常量 a 表示） 图 1 四、（ 25 分）图 1 所示的电路具有把输人的交变电压变成直流电压并加以升压、输出的功能，称为整流倍压电路 。 图中 1D 和 2D 是理想的、点接触型二极管（不考虑二极管的电容）， 1C 和 2C 是理想电容器，它们的电容都为 C，初始时都不带电， G 点接地 。 现在 A、 G 间接上一交变电源，其 电压 Au ，随时间 t 变化的图线如图 2 所示试分别在图 3 和图 4 中准确地画出 D 点的电压 Du 和 B 点的电压 Bu 在
5、t 0 到 t=2T 时间间隔内随时间 t 变化的图线， T 为交变电压 Au 的周期 。 图 2 图 3 图 4 五、（ 25 分）磁悬浮列车是一种高速运载工具 。 它具有两个重要系统 。 一是悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与轨道脱离接触 。 另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中，通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力 。 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题 。 设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度 B 随时间 t 和空间位置 x 变化规律为 )c
6、o s (),( 0 kxtBtxB 式中 0B 、 、 k 均为已知常量，坐标轴 x 与轨道平行 。 在任一时刻 t，轨道平面上磁场沿 x方向的分布是不均匀的，如图所示 。 图中 Oxy 平面代表轨道平面，“ ”表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸里，“ ”表示磁场的方向垂直 Oxy 平面指向纸外 。 规定指向纸外时 B取正值 。 “ ”和“ ”的疏密程度表示沿着 x轴 B 的大小分布 。 一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩形框 MNPQ 处在该磁场中，已知 与轨道垂直的金属框边 MN 的长度为 l ，与轨道平行的金属框边 MQ 的长度为 d，金属框的电阻为 R，不计金属框的电感 。
7、1试求在时刻 t，当金属框的 MN 边位于 x 处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿 x 轴正方向移动的速度为 v 。 2.试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系 。 六、（ 23 分）有一种被称为直视 分光镜的光谱学仪器 。 所有光学元件均放在一直长圆筒内 。 筒内有：三个焦距分别为 1f 、 2f和 3f 的透镜 1L , 2L , 3L ， 321 fff ；观察屏 P，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的 图 1 分光元件（如图 1 所示），棱镜分别用折射率 不 同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行 。 圆筒的一端
8、有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为 S，缝平行于棱镜的底面当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱 。 已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为 589.3 nm，称为 D 线）位于圆筒轴与观察屏相 交处 。 制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠 D 线的折射率 Dn 1.5170;另一种为火石玻璃，它对钠 D 线的折射率 Dn =1.7200。 1.试在图 2 中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用 。 2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角 的数值 。 图 2 七、（ 16 分）串列静电加速器是加速质子、重离
9、子进行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备，右图是其构造示意图 。 S 是产生负离子的装置，称为离子源；中间部分 N 为充有氮气的管道，通过高压装置 H 使其对地有 61000.5 V 的高压 。 现将氢气通人离子源 S， S 的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢原子粘附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子 。氢负离子（其初速度为 0)在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流，氢负离子束射 入 管道 N 后将与氮气分子发生相互作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子 。 已知氮气与带电粒子的相互作用不会改
10、变粒子的速度 。 质子在电场的作用下由 N 飞向串列静电加速器的终端靶子 T。 试在考虑相对论效应的情况下，求质子到达 T 时的 速度 v 。 电子电荷量 191060.1 q C，质子的静止质量 270 10673.1 m kg。 第 23 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答及评分标准 一、参考解答 ： 解法一 小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离 h随时间 t变化的关系如图所示设照片拍摄到的小球位置用 A 表示， A 离玻璃管底部的距离为 hA，小球开始下落处到玻璃管底部的距离 为 H.小球可以在下落的过程中经过 A 点，也可在上升的过程中经过 A 点 .现以 表示小球从最高点（
11、即开始下落处）落到玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间）， 1 表示小球从最高点下落至 A 点所需的时间（也就是从 A 点上升至最高点所需的时间）， 2 表示小球从 A点下落至玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升至 A 点所需的时间） .显然， 12 .根据题意，在时间间隔 的起始时刻和终了时刻小球都在 A 点用 n 表示时间间隔 内（包括起始时刻和终了时刻）小球位于 A 点的次数（ n 2） .下面分两种情况进行讨论： 1 A 点不正好在最高点或最低点 当 n 为奇数时有 121 1 1T n n n 3,5,7,n （ 1） 在（ 1）式中，根
12、据题意 1 可取 10 中的任意值，而 21 （ 2） 当 n 为偶数时有 2 1 1 222T n n n n 2,4,6,n （ 3） 由（ 3）式得 12 （ 4） 由（ 1）、（ 3）、（ 4）式知，不论 n 是奇数还是偶数，都有 1Tn 2,3,4,n （ 5） 因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为 t H O hA T h 22112 2 1n TH g g n 2,3,4,n （ 6） 若用 nH 表示与 n 对应的 H 值，则与 nH 相应的 A 点到玻璃管底部的距离 2112Anh H g2,3,4,n （ 7） 当 n 为奇数时， 1 可取 10 中的任意值，
13、故有 0 AnhH 2121n THgnn=3,5,7, （ 8） 可见与 nH 相应的 Ah 的可能值为 0 与 nH 之间的任意值 当 n 为偶数时，1 12，由（ 6）式、（ 7）式求得 nH 的可能值 34AnhH2121n THgnn=2,4,6, （ 9） 2 若 A 点正好在最高点或最低点 无论 n 是奇数还是偶数都有 21Tn n=2,3,4, （ 10） 22112 2 2 1n TH g g n n=2,3,4, （ 11） AnhH 212 2 1n THg n n=2,3,4, （ 12） 或 0Ah （ 13） 解法二 因为照相机每经一时间间隔 T 拍摄一次时，小球都
14、位于相片上同一位置，所以小球经过该位置的时刻具有周期性，而且 T 和这个周期的比值应该是一整数下面我们就研究小球通过某个位置的周期性 设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为 ，从最高点下落至相片上小球所在点 （ A 点）所需时间为 1 ，从 A 点下落至管底所需时间为 2 ，则 12 （ 1） （小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是 、 1 和 2 ） 从小球在下落过程中经过 A 点时刻开始，小球经过的时间 22 后上升至 A 点，再经过时间 12 后又落到 A 点，此过程所需总时间为 122 2 2 以后小球将重复这样的运动小球周期性重复出现在 A 点
15、的周期是多少？ 分两种情况讨论： （ 1） 12 ， 1 和 2 都不是小球在 A 点重复出现的周期，周期是 2 （ 2） 12 ，小球经过时间 22 回到 A 点，再经过时间 12 又回到 A 点，所以小球重复出现在 A 点的周期为 下面就分别讨论各种情况中 H 的可能值和 A 点离管底的距离 Ah 的可能值（如果从小球在上升过程中经过 A 点的时刻开始计时，结果一样，只是 1 和 2 对调一下） 1 H 的可能值 （ 1）较普遍的情况， 12 T 与 2 的比值应为一整数， 的可能值应符合下式 2T k， 1,2,3,k （ 2） 由自由落体公式可知，与此相应的 kH 的数值为 22112
16、 2 2k TH g g k 1,2,3,k （ 3） （ 2） 12 的可能值应符合下式 T k 1,2,3,k （ 4） 故 kH 的可能值为 221122k TH g g k 1,2,3,k （ 5） 当 k 为偶数时，即 2,4,6,k 时，（ 5）式与（ 3）式完全相同可见由（ 3）式求得的 H 的可能值包含了 12 的全部情 况和 12 的一部分情况当 k 为奇数时，即 1,3,5,k 时，由（ 5）式得出的 H 的可能值为 212k THgk 1,3,5,k （ 6） 它们不在（ 3）式之内，故（ 3）式和（ 6）式得出的 H 合在一起是 H 的全部的可能值 2与各 H 值相应的
17、 Ah 的可能值 a.与 kH 相应的 Ah 的可能值 由于在求得（ 3）式时未限定 A 点的位置，故 Ah 的数值可取 0 和 kH 之间的任意值，即 0 AkhH 2122k THgk1,2,3,k （ 7） b. 与 kH （ k 为奇数） 相应的 Ah 的可能值 这些数值与 A 位于特定的位置，122，相对应，所以对于每一个 kH 对应的 Ah是一个特定值，它们是 21122Ak Th H g k 212k THgk1,3,5,k （ 8） 评分标准： 本题 23 分 二、 参考解答： 1 求刚碰撞后小球 A、 B、 C、 D 的速度 设刚碰撞后，小球 A、 B、 C、 D 的速度分别
18、为 Av 、 Bv 、 Cv 、 Dv ，并设它们的方向都与 0v 的方向相同由于小球 C 位于由 B、 C、 D 三球组成的系统的质心处，所以小球 C 的速度也就是这系统的质心的速度因 碰撞前后 四小球组成的 质点组 的 动量守恒， 故有 0 A C3M M mv v v （ 1） 碰撞前后质点组的角动量守恒，有 CD02ml mlvv （ 2） 这里 角动量的参考点设在与 B 球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有 2 2 2 2 20 A B C D1 1 1 1 1+2 2 2 2 2M M m m v v mv v v（ 3） 因
19、为杆是刚性杆，小球 B 和 D 相对于小球 C 的速度大小必相等，方向应相反，所以有 B C C Dv v = v v （ 4） 解（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）式，可得两个解 Cv =0 （ 5） 和 C0456MMm vv（ 6） 因为 Cv 也是刚碰撞后由 B、 C、 D 三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（ 5）式不合理，应舍去取（ 6）式时可解得刚碰撞后 A、 B、 D 三球的速度 A056Mm vv（ 7） B01056MMm vv（ 8） D0256MMm vv（ 9） 2讨论碰撞后各小球的运动 碰撞后，由于 B、 C、
20、D 三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C 将以（ 6）式的速度即C0456MMm vv沿 0v 方向作匀速运动由（ 4）、（ 8）、（ 9）式可知，碰撞后， B、 D 两小球将绕小球 C 作匀角速度转动，角速度的大小为 0656B Ml M m Cv v vl（ 10） 方向为逆时针方向由（ 7）式可知，碰后小球 A 的速度的大小和方向与 M、 m 的大小有关，下面就 M、 m 取值 不同而导致运动情形的不同进行讨论： （ i） A 0v=，即碰撞后小球 A 停住，由（ 7）式可知发生这种运动的条件是 5 6 0Mm 即 65Mm（ 11） （ ii） A 0v但 ACvv，即碰撞后小球 A 沿 0v 方向作匀速直线运动，但其速度小于小球 C 的速度 由 （ 7）式和（ 6）式，可知发生这种运动的条件是 5 6 0Mm和 mMM 654 即 6 65 m M m （ 13） （ iv） ACvv，即碰撞后小 球 A 仍沿 0v 方向运动，且其速度大于小球 C 的速度，发生
