1、第八章 函数主要内容函数的定义与性质l 函数定义l 函数性质函数运算l 函数的逆l 函数的合成双射函数与集合的基数18.1 函数的定义与性质主要内容函数定义与相关概念l 函数定义l 函数相等l 从 A到 B的函数 f:ABl BAl 函数的像与完全原像函数的性质l 单射、满射、双射函数的定义与实例l 构造双射函数某些重要的函数2函数定义定义 8.1 设 F 为二元关系 , 若 x domF 都存在唯一的y ranF 使 xFy 成立 , 则称 F 为 函数 对于函数 F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的值 . 例 F1=, F2=, F1是函数 , F2
2、不是函数 定义 8.2 设 F, G 为函数 , 则 F=G FG GF 如果两个函数 F 和 G 相等 , 一定满足下面两个条件：(1) domF=domG (2) x domF=domG 都有 F(x)=G(x) 函数 F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1不相等 , 因为 domFdomG. 3从 A到 B的函数定义 8.3 设 A, B为集合 , 如果f 为函数 , domf=A, ranfB, 则称 f 为 从 A到 B的函数 , 记作 f： A B.例 f： NN, f(x)=2x 是从 N到 N的函数 , g： NN, g(x)=2 也是从 N到 N的函数 . 定义
3、8.4 所有从 A到 B的函数的集合记作 BA, 符号化表示为 BA = f | f： A B |A|=m, |B|=n, 且 m, n0, |BA|=nmA=, 则 BA=B=A且 B=, 则 BA=A= 4实例例 1 设 A=1,2,3, B=a,b, 求 BA.解 BA= f0, f1, , f7, 其中 f0 = , f1 = , f2 = , f3 = , f4 = , f5 = , f6 = , f7 = ,5函数的像和完全原像定义 8.5 设函数 f： A B, A1A, B1B(1) A1在 f 下的像 f(A1) = f(x) | x A1, 函数的像 f(A) (2) B1
4、在 f 下的完全原像 f 1(B1)=x|x A f(x) B1注意：l 函数值与像的区别：函数值 f(x) B, 像 f(A1)Bl 一般说来 f 1(f(A1)A1, 但是 A1f 1(f(A1)例 设 f： NN, 且令 A=0,1, B=2, 那么有 f(A) = f( 0,1) = f(0), f(1)=0,2f 1(B) = f 1(2)=1,46函数的性质定义 8.6 设 f： A B,(1) 若 ranf=B, 则称 f:A B是 满射 的(2) 若 y ranf 都存在唯一的 x A 使得 f(x)=y, 则称 f:A B是 单射 的(3) 若 f:A B 既是满射又是单射的
5、 , 则称 f:A B是 双射 的例 2 判断下面函数是否为单射 , 满射 , 双射的 , 为什么 ?(1) f:RR , f(x) = x2+2x1(2) f:Z+R , f(x) = lnx, Z+为正整数集(3) f:RZ , f(x) = x(4) f:R R, f(x)=2x+1(5) f:R+R +, f(x)=(x2+1)/x, 其中 R+为正实数集 . 7例题解答解(1) f:RR , f(x)=x2+2x1在 x=1取得极大值 0. 既不是单射也不是满射的(2) f:Z+R , f(x)=lnx是单调上升的 , 是单射的 . 但不满射 , ranf=ln1, ln2, .(3
6、) f:RZ , f(x)= x是满射的 , 但不是单射的 , 例如 f(1.5)=f(1.2)=1(4) f:RR , f(x)=2x+1是满射、单射、双射的 , 因为它是单调函数并且 ranf=R(5) f:R+R +, f(x)=(x2+1)/x 有极小值 f(1)=2. 该函数既不是单射的也不是满射的8实例例 3 对于给定的集合 A和 B构造双射函数 f:A B(1) A=P(1,2,3), B=0,11,2,3(2) A=0,1, B=1/4,1/2(3) A=Z, B=N(4) , B=1,19解答(1) A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3.B=f0, f1, , f7, 其中f0=, f1=,f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=,. 令 f:A B, f()=f0, f(1)=f1, f(2)=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2,3)=f710
