1、二元关系和函数二元关系和函数 理学院数学系理学院数学系仝辉仝辉内容提纲1. 集合的笛卡尔积与二元关系2. 关系的运算3. 关系的性质4. 关系的闭包5. 等价关系和偏序关系6. 函数的定义和性质7. 函数的复合和反函数序偶 定义 4.1:由两个元素 x和 y（允许 x=y）按一定的顺序排列成的二元组叫作 有序对 (也称 序偶 ),记作(也可记作 (x,y).其中 x是它的 第一元素 ,y是它的 第二元素 . 例如平面直角的坐标 :,他的特性是 :当 xy时 ,=等充分必要条件是 x=u,y=v. 序偶与集合的关系 , ,但 x,y=y,x有序 n元组 定义 4.2 :一个有序 n元组 (3n)
2、是一个有序对 ,其中第一个元素是一个 有序 n-1元组 ，一个有序 n元组记作 x1, x2, x n,即 x1, x2, x n,=, xn 例如 :,是三元组 . 例如 :n维空间中的点的坐标 . 例如 :n维向量是 n元组笛卡儿积 定义 4.3:设 A,B为集合 ,用 A中的元素为第一元素,B中元素为第二元素，构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做 A和 B的 笛卡尔积 ，记作AxB,符号化表示 为AxB= |xAy B。 例如 :A=a,b,B=0,1,2,则AxB=,;BxA=,. 如果 A中的元素 为 m个元素， B中的元素 为 n个元素， 则 AxB和 BxA中有 mn个元素
3、 x,y AxB,则 xA,yB, x,yAxB,则 x A或 y B笛卡儿积运算具有的性质 (1) 若 A,B中有一个空集 ,则它们的笛卡儿积是空集 ,即 xB=Ax= 当 AB且 A,B都不是空集 时 ,有AxBBxA笛卡儿 积 不适合交 换 律 当 A,B,C都不是空集 时 ,有(AxB)xCAx(BxC)笛卡儿 积 不适合 结 合律 ,z(AxB)xC, Ax(BxC), (AxB)xC.笛卡儿积运算具有的性质 (2) 笛卡儿积运算对 或 运算满足分配律 ,Ax(BC)=(AxB)(AxC)(BC)xA=(BxA)(CxA)Ax(BC)=(AxB)(AxC)(BC)xA=(BxA)(C
4、xA) 证 明 : 对 任意的 Ax(BC)xAy(BC)xA(yByC)(xAyB)(xAyC)(AxB)(AxC)(AxB)(AxC) 所以： Ax(BC)=(AxB)(AxC)成立 .例题 (1) 设 A=1,2,求 P(A)xAP(A)xA= ,1,2,1,2 x1,2=, 判断下列命 题 的真假 若 AC且 BD,则 有 AxBCxD;(真 ) 若 AxBCxD,则 有 AC且 BD.(假 )n阶笛卡儿积 定 义 4.4 设 A1, A2, A n,是集合 (n2),它 们 的 n阶笛卡儿积记作 A1x A2x xA n,其中A1x A2x xA n | x1 A1, x2 A2,., xn An 当 A1 A2 An A时 可 记为 An 例题 :A=a,b,c,则A3=,二元关系 定义 4.5: 如果一个集合为空集或者它的元素都是有序对 ,则称这个集合是一个 二元关系 ,一般记作R,对于二元关系 R,如果 R,则记作 xRy; R,记作 xRy. 本书涉及二元关系，（其它 n元关系不在本书之列），书中涉及的关系全为二元关系
