1、第二章关系1在现实生活中 , 集合与集合之间还存在着某种联系，如同学关系、朋友关系等。这些关系正是各门学科所要研究的主要内容。离散数学从集合出发，主要研究集合之间的关系。本章内容主要研究二元关系。2本章主要内容：n 关系的基本概念n 关系的表示方法 n 关系的运算 n 关系的性质 n 关系的闭包n 等价关系与划分n 偏序关系32.1关系的基本概念为了讨论关系，首先引入有序对和笛卡儿积两个概念。由两个元素 a, b组成的集合 a, b中， a和 b是没有次序的。有时需要考虑有次序的两个元素，所以需要由两个元素组成新的东西，并且两个元素是有次序的。定义 2.1两个元素 a, b 有次序地放在一起，
2、称为一个有序对 或 序偶 ，记为 (a, b)。在有序对 (a, b)中， a 称为 第一元素 ， b称为 第二元素 。且 (a1, b1) = (a2, b2)当且仅当 a1 = a2 且 b1 = b2。4定义 2.2 设 A, B 是两个集合，集合 (x, y) | x A 且 y B称为 A 和 B 的 笛卡儿积 ，也称 卡氏积 ，记为 AB。用属于关系来表示就是： (x, y) AB 当且仅当 x A 且 y B和 (x, y)AB 当且仅当 xA或 y B。其中 A 称为 第一集合 ， B 称为 第二集合 。 5例 2.1 设 A=1,2,3, B=a,b， 求 AB。由笛卡儿积的
3、定义可知有 A=A= 。又由有序对的性质可知，一般没有ABBA。 AB也是一个集合，所以可以和另一集合 C作笛卡儿积 (AB)C，类似地有 A(BC)。但是，一般没有(AB)C=A(BC)，且 AB中的元素既不是 A 中的元素，也不是 B中的元素。6定理 2.1 如果 B1A1， B2A2，则B1 B2 A1 A2。7证明 对 (x, y) B1B2，有 x B1 且 y B2，又因为 B1 A1 ， B2 A2 ，则 x A1 且 y A2，所以 (x, y) A1A2，即 B1B2 A1A2。 8定理 2.2 A, B, C 是任意集合，则：(1) A(B C) = (AB) (AC)，(
4、B C)A = (BA) (CA)。(2) A(BC) = (AB)(AC)， (BC)A = (BA)(CA)。(3) A(B -C) = (AB)- (AC)，(B -C)A = (BA) - (CA)。9证明 (1) 对 (x, y) A(B C)，有 x A 且y B C，因此 x A 且 (y B 或 y C)，当 y B 时，由 x A 和 y B 得 (x, y) AB，当y C 时，由 x A 和 y C 得 (x, y) AC，所以 (x, y) (AB) (AC)，即 A(B C) (AB) (AC)。因为 A A， B B C 和 C B C 得 AB A(B C)和 AC A(B C)，因此(AB) (AC) A(B C)。因此 A(B C) = (AB) (AC)成立。同理可证 (B C)A = (BA) (CA)。10
