1、数形结合解决问题的定位到定值圆锥曲线的最值问题一直是近几年高考的热点，也是绝大部分考生的难点，突破困难这类问题方法灵活，计算量不小，下面就长话短说，抛砖引玉，介绍几种经典策略，供大家参考 求圆锥曲线的最值问题时，通常先建立一个目标函数，利用函数的性质或重要不等式求最值一般地，目标函数为二次函数，可利用二次函数的图像和单调性来解，若含有参数，则用轴动区间法进行讨论求解；对于分式和高次函数，一般用单调性或高次不等式或求导来解决，常见的题型为： （）圆锥曲线本身的最值问题，记住下面的结论： 椭圆上两点的最大距离是 2a，即长轴长； 双曲线上两点的最小距离是 2a，即实轴长； 椭圆的焦半径的取值范围为
2、a-c，a+c； 抛物线上顶点与抛物线的准线距离最近 （2）距离问题，如圆锥曲线上的点到定点的距离，圆锥曲线上的点到定直线的距离，与距离有关的面积问题等 （3）点在圆锥曲线上的前提下，求相关的目标函数的取值范围 （4）已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数所满足的范围 （5）应用问题的最值 圆锥曲线中的最值问题的求解方法常分为两类，一类是几何法，特别是圆锥曲线的定义和有关结论；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用单调性，均值不等式或三角函数的有界性等知识求解常用的策略有：利用圆锥曲线的对称性求最值；利用重要不等式；利用定义；利用几何性
3、质等 T一、定义转化法 例TK已知点 F 是双曲线 x24-y22=的左焦点，定点 A 的坐标为（，4） ，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为 T解析T如图所示，设 F是双曲线右焦点，根据双曲线定义|PF|-|PF|=4， 即|PF|-4=|PF|又|PA|+|PF|AF|=5， 将|PF|-4=|PF|代入，得|PA|+|PF|-45， 即|PA|+|PF|9，等号当且仅当 A，P，F三点共线， 即 P 为图中的点 P0 时成立，故|PF|+|PA|的最小值为 9 故填 9 小结：根据圆锥曲线的定义列方程；将最值问题转化为距离问题求解 T二、代数法 TK三角函数法 5T
4、例 2TK设 a，bR，a2+2b2=6，则 a+b 的最小值是 A-22B-533C-3D-2 T解法一T利用椭圆的参数方程，化归为三角最值问题，由a2+2b2=6，可设 a=6cos，2b=6sin，则 a+b=3（2cos+sin）=3sin（+arctan2）-3，3，选 C T解法二T利用截距的几何意义，数形结合构建椭圆 a2+2b2=6，与直线 a+b=相切，借助判别式为 0 得-33，选 C 小结：注意参数方程的灵活运用，解题时恰当地引入参数，将复杂的代数运算转化为简单的三角运算，并提供进一步利用函数性质的可能性 TK2 二次函数法 T例 3TK设 F、F2 分别是椭圆 x24+
5、y2=的左、右焦点 （）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 PF?PF2 的最大值和最小值； （）设过定点 M（0，2）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 T解T（）解法一：易知 a=2，b=，c=3， 所以 F（-3，0） ，F2（3，0）设 P（x，y） ，则 PF?PF2=（-3-x，-y）?（3-x，-y） =x2+y2-3=x2+-x24-3=4（3x2-8） 因为 x-2，2，故当 x=0，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF?PF2 有最小值-2 当 x=2，即点 P 为椭圆长轴端点时，PF?PF2
6、有最大值 （）略 T例 4TK在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 C（0，p）作直线与抛物线 x2=2py （p0）相交于 A，B 两点 （）若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点，求ANB 面积的最小值； （）是否存在垂直于 y 轴的直线 l，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 T（）解法T依题意，点 N 的坐标为 N（0，-p） ，可设A（x，y） ，B（x2，y2） ，直线 AB 的方程为 y=kx+p，与 x2=2py， 联立得B（x2=2py， y=kx+pB）消去 y 得 x2-2pkx-2p2=0 由韦达定理
7、得 x+x2=2pk，xx2=-2p2 于是 SABN=SBCN+SACN=2?2p|x-x2| =p|x-x2|=p（x+x2）2-4xx2 =p4p2k2+8p2=2p2k2+2， 所以当 k=0 时， （SABN）in=22p2 T解法 2T前同解法，再由弦长公式得 |AB|=+k2|x-x2| =+k2?（x+x2）2-4xx2=+k2?4p2k2+8p2 =2p+k2?k2+2 又由点到直线的距离公式得 d=2p+k2 从而 SABN=2?d?|AB| =2?2p+k2?k2+2?2p+k2=2p2k2+2， 所以当 k=0 时， （SABN）in=22p2 （）略 小结：函数法是我
8、们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数，三角函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不容忽视上述三例解题过程均是将圆锥曲线最值转化为讨论二次函数在区间上的最值，此时应注意其定义域是否受题设条件限制，是否需要分类讨论 T三、数形结合（切线法）T T例 5TK求椭圆 x22+y2=上的点到直线 y=x+23 的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标 T解T设椭圆的切线方程为 y=x+b， 代入椭圆方程，得 3x2+4bx+2b2-2=0 由 =（4b）2-43（2b2-2）=0，得 b=3 当 b=3 时，直线 y=x+3 与 y=x+23 的距离
9、d=62，将 b=3 代入方程3x2+4bx+2b2-2=0，解得 x=-233，此时 y=33，即椭圆上的点（-233，33）到直线 y=x+23 的距离最小，最小值是 62 当 b=-3 时，直线 y=x-3 到直线 y=x+23 的距离 d2=362，将 b=-3 代入方程 3x2+4bx+2b2-2=0，解得 x=233，此时 y=-33，即椭圆上的点（233，-33）到直线 y=x+23 的距离最大，最大值是 362 小结：当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：求与直线平行的圆锥曲线的切线；求出两平行线的距离即为所求的最值 T四、均值不等式法 T例 6TK已知椭圆 C
10、： x2a2+y2b2=（ab0）的离心率为 63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3 （）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 32，求AOB 面积的最大值 T解T（）设椭圆的半焦距为 c，依题意B（ca=63， a=3B） 所以 b=，所以所求椭圆方程为 x23+y2= （）设 A（x，y） ，B（x2，y2） （）当 ABx 轴时，|AB|=3 （2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y=kx+ 由已知|+k2=32，得 2=34（k2+） 把 y=kx+代入椭圆方程，整理得 （3k2+）x2+6kx+
11、32-3=0， 所以 x+x2=-6k3k2+，xx2=3（2-）3k2+ 所以|AB|2=（+k2） （x2-x）2 =（+k2）36k22（3k2+）2-2（2-）3k2+ =2（k2+） （3k2+-2） （3k2+）2=3（k2+） （9k2+） （3k2+）2 =3+2k29k4+6k2+=3+29k2+k2+6 （k0） 3+223+6=4 当且仅当 9k2=k2，即 k=33 时等号成立 当 k=0 时，|AB|=3 综上所述|AB|ax=2 所以当|AB|最大时，AOB 面积取最大值 S=2|AB|ax32=32 小结：利用均值不等式定理求解圆锥曲线最值问题时，要先将目标函数配凑成积（或和）为定值的形式，这种恒等变形是使用最值定理的重要前提 综上所述，解决圆锥曲线中的最值问题，要注意联系圆锥曲线的定义和性质，重视运用数形结合，将问题转化为一定的函数关系或不等式进行讨论概括来说：先根据题设条件，恰当选择某个与目标密切相关的自变量，并确定目标函数的解析式；在充分考虑函数的定义域、不等式的最值条件等前提下，应用函数的单调性、均值不等式定理及其推论等进行分类讨论此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、规范合理、结果准确
