1、文献综述数学与应用数学发散级数的性质及其应用一级数中的发散级数自从级数诞生以来，发散级数就困扰着数学家们。比如为人所熟知的调和级数，调和级数是发散的，这是一个令人困惑的事情，事实上调和级数以令人不耐烦地慢向无穷大靠近，调和级数的和要想达到51那么它需要有2的100次方那个多项才OK。而2的100次方这个项是一个大到我们能够处理范围以外的数字，在计算机元科学领域，这属于一个不可解的数。雅各布伯努利还曾写过一首数学短诗，大意是无穷小中竟然蕴含这巨大，因为1/N是趋与0的，而这些趋于0的数之和竟然是无穷大的，确实让人震惊。这些在可惜意义下不可收敛的级数却常常要应用的。数学家们开始给他们定义各种正则和
2、，比如齐查罗和，阿贝尔和等，这些和对于收敛级数来说仍然是有效的，对发散级数却有着重大意义。二发散级数中的渐近级数随着生产力发展的需要，人们必须深入到非线性研究领域中，在这一领域中，叠加原理不再适用，原来的那一套数学方法失效了，我们必须寻找新的途径，渐近方法中的奇异摄动理论是解决非线性问题行之有效的方法之一。尤其在数学物理中，渐近方法可分为两大部分1渐近分析包括渐近级数，积分的渐近展开，微分方程的渐近解。2奇异摄动理论，它的应用领域涉及波动，稳定性，粘性流，气泡运动等方面。这些理论最最基础的就是渐近级数了，数学家庞加莱在解决天文问题时就遇到了渐近级数，这也是我们了解渐近级数的一般定义。联系发散级
3、数的求和问题，渐近级数在近似求解方面也大有作为，当然在计算机时代这些好像微不足道，实际上理论上的研究对于实际计算中遇到的问题是很有作用。比如正态概率积分用收敛级数和渐近级数得到的近似解具有完全不同的功效，X越来越大时，收敛级数的误差越来越大，渐近级数却越来越精确。三收敛级数与渐进级数的区别若函数F（X）可以展开成在X0附近的渐近级数，1）收敛级数X固定，N项部分和当N趋于无穷大时有极限FX；渐近级数N固定，N项部分和当X趋于X0时有极限FX；2）收敛级数函数与级数的部分和之差的绝对误差趋于零；渐近级数函数与级数的部分和之差的相对误差趋于零；3）收敛级数级数的项当N趋于无穷大时一定趋于零；渐近级
4、数级数的项当N增大时不一定趋于零渐近级数经常是发散的四渐近级数的展开为了应用于计算数值积分，我们必须解决一个首要问题，怎样将一个函数展开成渐近级数。简单的函数和一些常见的函数可以利用分部积分展开，大部分函数必须通过鞍点法和欧拉迈克劳林公式。参考文献1杨禄源幂级数与渐近级数M长沙国防科技大学出版社20012李家春周显初数学物理中的渐近方法M长沙科学出版社19983戴世强渐近分析系列讲座R上海上海大学上海市应用数学和力学研究所20044颜士龙调和级数仍是一个发散级数J山东山东商业职业技术学院20085蒋晓云调和级数悖论剖析J广西桂林师专数学与计算机科学系20086陈文生关于无穷级数求和的研究及其应用J黑龙江大庆师范学院报20107张慧既发散又收敛的无穷级数J陕西陕西科技大学学报20048余文卿一些发散级数的求和法R台湾国立中正学数学系9EDWARDCHLEBUSANPROXIMATEFORMULAFORAPARTIALSUMOFDIVERGENTPSERIESUSADEPARTMENTOFCOMPUTERSCIENCE,LLLINIOSINSTITUTEOFTECHNOLOGY200810SLSKOROKHODOVADVANCEDTECHNIQUESFORCOMPUTINGDIVERGENTSERIESRUSSIARUSSIAACADEMYOFSCIENCE2003
